In questo appunto vediamo come note le coordinate del centro ed il raggio è possibile determinare l’equazione della circonferenza. In particolare vedremo:
Accenno sulla definizione di circonferenza e relazione algebrica
Diamo in questo paragrafo un breve accenno sulla definizione di circonferenza e ne ricaveremo la relazione algebrica necessaria per calcolare l’equazione della circonferenza in questo tipo di esercizi. Ricordiamo dunque che:
“La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che sono equidistanti da un punto detto centro della circonferenza. Tale distanza è detta raggio della circonferenza “
Se ricordiamo la formula della distanza tra due punti, la definizione di sopra può essere tradotta algebricamente. Consideriamo una circonferenza avente centro di coordinate C(p,q) ed un raggio r. Per determinarne l’equazione otteniamo la definizione di circonferenza in forma algebrica ponendo la distanza di qualsiasi punto P(x,y) ad essa appartenente dal centro pari al raggio r.
\sqrt{\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2}} = r
elevando al quadrato entrambi i membri otteniamo:
\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2} = r^{2}
Quest’ultima è la relazione che utilizzeremo per risolvere gli esercizi quando sono date le coordinate del centro e il raggio di una circonferenza.
Metodo 2: risoluzione con sistema di equazioni
Poiché l’equazione della circonferenza in forma canonica è dipendente da ben tre coefficienti (a,b e c) occorrono in generale tra informazioni indipendenti per poterla ricavare. Nel nostro caso conoscere le coordinate del centro fornisce ben due informazioni. Ricordiamo infatti che le coordinate del centro possono essere scritte anche nella forma:
C(p,q) \Rightarrow C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)
Il che significa avere 2 informazioni:
p=-\frac{a}{2} \\\,\\ q=-\frac{b}{2}
e che il raggio porta con se una terza informazione. Ricordiamo infatti la formula del raggio:
r= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
E’ possibile dunque risolvere questo tipo di esercizi costruendo il sistema di tre equazioni:
\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
r= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
\end{matrix}\right.
Tra i due metodi presentati il primo forse è il più elegante in quanto si basa sulla definizione stessa di circonferenza.
Esempi
Vediamo qui di seguito una serie di esempi di esercizi in cui sono date le coordinate del centro ed il raggio di una circonferenza.
Esempio 1
Determinare l’equazione della circonferenza date le seguenti informazioni: C(2,1) e raggio 2
Per determinare l’equazione della circonferenza con i dati forniti, applichiamo la formula vista precedentemente:
\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2} = r^{2} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \left(x-2\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2} = 2^{2} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ x^{2}-4x+4+y^{2}-2y+1=4 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \mathbf{x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0}
Metodo 2
Risolviamo lo stesso esercizio applicando il secondo metodo. Otteniamo dunque:
\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
r= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
\end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{\begin{matrix}
2=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
1=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
2= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
\end{matrix}\right.
Dalla prima relazione ricaviamo semplicemente che a=-4 mentre dalla seconda che b=-2. Adesso occorre risolvere la terza equazione e ricavare di conseguenza il valore di c. Sostituiamo dunque a questa i valori di a e b appena ottenuti:
2= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} \Rightarrow \\\,\\ 2= \frac{1}{2}\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}-4c} \Rightarrow \\ \, \\ 4= \frac{1}{4}(16+4-4c)) \Rightarrow \\ \, \\ 16= 20-4c \Rightarrow \\ \, \\ 4c=4 \Rightarrow \\ \, \\ c=1
Otteniamo dunque il valore c=1. L’equazione della circonferenza ottenuta è:
\mathbf{x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0}
esattamente uguale a quella calcolata con il primo metodo
Esempio 2
Determinare l’equazione della circonferenza date le seguenti informazioni: C(-1,3) r= 4
Applichiamo la formula:
\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2} = r^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \left(x+1\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2} = 4^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2} +2x+1+y^{2}-6y+9 = 16 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \mathbf{x^{2} +y^{2}+2x-6y-6 =0}
Metodo 2
Costruiamo il sistema di equazioni:
\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
r= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
\end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{\begin{matrix}
-1=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
3=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
4= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
\end{matrix}\right.
Dalle prime due equazioni ricaviamo che a=2 e b=-6. Risolviamo la terza equazione:
4= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\4= \frac{1}{2}\sqrt{(2)^{2}+(-6)^{2}-4c}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\16 = \frac{1}{4}(4+36-4c) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\64 = 40-4c \\\,\\\Rightarrow \\\,\\4c=-24 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ c=-6
Otteniamo ancora una volta l’equazione:
\mathbf{x^{2} +y^{2}+2x-6y-6 =0}
Esempio 3
Determinare l’equazione della circonferenza date le seguenti informazioni: C(-2,-5) r=4
Applichiamo ancora una volta la formula:
\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2} = r^{2} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \left(x+2\right)^{2}+\left(y+5\right)^{2} = 4^{2} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ x^{2}+4x+4+y^{2}+10y+25=16\\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \mathbf{x^{2}+y^{2}+4x+10y+13=0}
Metodo 2
Costruiamo il sistema:
\left\{\begin{matrix}
p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
r= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
\end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{\begin{matrix}
-2=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
-5=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\
4= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
\end{matrix}\right.
Dalle prime due equazioni ricaviamo a=4 e b=10. Risolviamo la terza equazione:
4= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ 4= \frac{1}{2}\sqrt{(4)^{2}+(10)^{2}-4c} \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ 16= \frac{1}{4}(16+100-4c) \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ 64= 116-4c \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ 4c = 52 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ 16= \frac{1}{4}(16+100-4c) \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ c=13
Otteniamo dunque l’equazione:
\mathbf{x^{2}+y^{2}+4x+10y+13=0}
