In questo breve appunto vediamo come calcolare l’equazione di una circonferenza note e coordinate degli estremi di un diametro. In particolare vedremo:
- Passaggi necessari per calcolare l’equazione di una circonferenza note le coordinate degli estremi di un diametro
- Esempi di esercizi
Passaggi necessari per calcolare l’equazione di una circonferenza note le coordinate degli estremi di un diametro
E’ possibile calcolare l’equazione di una circonferenza note le coordinate degli estremi di un diametro? La risposta è molto semplice ed è si. Il motivo sta nel fatto che il diametro ha due caratteristiche importanti:
- La sua lunghezza è il doppio della lunghezza del raggio
- Il suo punto medio è il centro della circonferenza
Ricorda infatti che qualsiasi diametro passa infatti per il centro della circonferenza. Adesso, sappiamo che l’equazione di una circonferenza è facilmente calcolabile se note le coordinate del centro C(p,q) ed il suo raggio r:
\sqrt{\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2}} = r \\ \Rightarrow \\
\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2} = r^{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1.1)
Adesso il punto è riuscire a recuperare queste informazioni dalle coordinate degli estremi di un diametro. Allora consideriamo un diametro con estremi A e B aventi rispettivamente coordinate:
A(x_{A},y_{A}) \\\, \\ \,\\ B(x_{B},y_{B})
Adesso, poiché il centro C(p,q) della circonferenza è punto medio del diametro AB, allora le sue coordinate saranno la media aritmetica delle coordinate di A e di B:
p = \frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\\,\\\,\\\,\\q = \frac{y_{A}+y_{B}}{2}
la lunghezza del diametro è data da:
\overline{AB} = \sqrt{\left(x_{A}-x_{B}\right)^{2}+ \left(y_{A}-y_{B}\right)^{2}}
per cui il raggio sarà:
r= \frac{1}{2}\overline{AB} = \sqrt{\left(x_{A}-x_{B}\right)^{2}+ \left(y_{A}-y_{B}\right)^{2}}
a questo punto possiamo sostituire le coordinate del centro e la formula del raggio nell’equazione 1.1 Otteniamo:
\left(x-\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)^{2} = \sqrt{\left(x_{A}-x_{B}\right)^{2}+ \left(y_{A}-y_{B}\right)^{2}}
risolvendo la quale otterremo l’equazione della circonferenza. I passaggi fondamentali son dunque:
- Calcolare le coordinate del centro
- Calcolare il raggio della circonferenza
- Utilizzare l’equazione 1.1
Metodo 2
Un secondo metodo che può essere utilizzato è quello che considera le relazioni tra i coefficienti dell’equazione di una circonferenza e le coordinate del centro e la relazione che impone il passaggio della circonferenza per uno degli estremi del diametro (nel nostro caso consideriamo A)
\left\{\begin{matrix} p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\ q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\ x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0
\end{matrix}\right.
adesso utilizziamo le relazioni di p q ed r individuate nel paragrafo precedente. il sistema diventa:
\left\{\begin{matrix} a= -x_{A}-x_{B}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\ b=-y_{A}-y_{B}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\ x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c =0\end{matrix}\right.
sostituendo il valore di a ed il valore di b alla terza equazione del sistema abbiamo dunque:
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+(-x_{A}-x_{B})x_{A}+(-y_{A}-y_{B})y_{A}+c =0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{A}^{2}-x_{A}x_{B}-y_{A}^{2}-y_{A}y_{B} + c = 0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ c= x_{A}x_{B} + y_{A}y_{B}
Abbiamo così ottenuto una relazione per ognuno dei coefficienti dell’equazione della circonferenza:
x^{2}+y^{2} +(-x_{A}-x_{B})x + (-y_{A}-y_{B})y +x_{A}x_{B} + y_{A}y_{B} = 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1.2)
questa relazione consente di calcolare molto più semplicemente l’equazione della circonferenza. Tuttavia è sempre consigliabile apprendere i passaggi logici più che una formula.
Esempi di esercizi
Esempio 1
Calcolare l’equazione della circonferenza il cui diametro AB è tale che A(2,-2) B(3,0)
Metodo 1
Calcoliamo le coordinate del centro:
p = \frac{x_{A}+x_{B}}{2} = \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2} \\\,\\q = \frac{y_{A}+y_{B}}{2} = \frac{-2+0}{2} = -1
il raggio invece sarà:
r= \frac{1}{2}\overline{AB} = \frac{1}{2}\sqrt{\left(x_{A}-x_{B}\right)^{2}+ \left(y_{A}-y_{B}\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\left(2-3\right)^{2}+ \left(-2-0\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{1+4}=\frac{\sqrt{5}}{2}
applichiamo la definizione di circonferenza (equazione 1.1):
\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2} = r^{2} \\\,\\\Rightarrow\\\,\\\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2} = \frac{5}{4} \\\,\\\Rightarrow\\\,\\x^{2}+\frac{25}{4}-5x+y^{2}+1+2y = \frac{5}{4} \\\,\\\Rightarrow\\\,\\x^{2}+y^{2}-5x+2y+6 = 0
dunque l’equazione della circonferenza è:
\mathbf{x^{2}+y^{2}-5x+2y+\frac{9}{4} = 0}
Metodo 2
In questo caso possiamo o sviluppare il sistema:
\left\{\begin{matrix} p=-\frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\ q=-\frac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \\ x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0
\end{matrix}\right.
oppure applicare direttamente l’equazione della circonferenza con le relazioni dei coefficienti che da essa derivano (eq 1.2):
x^{2}+y^{2} +(-x_{A}-x_{B})x + (-y_{A}-y_{B})y +x_{A}x_{B} + y_{A}y_{B} = 0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ x^{2}+y^{2} +(-2-3)x + (2-0)y +(2)(3) + (-2)(0)= 0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \mathbf{x^{2}+y^{2} -5x + 2y +6= 0}
I due metodi hanno dato la stessa soluzione.
Esempio 2
Calcolare l’equazione della circonferenza note le coordinate degli estremi di un suo diametro A(-1,2) e B(3,-4)
Metodo 1
Calcoliamo le coordinate del centro:
p = \frac{x_{A}+x_{B}}{2} = \frac{-1+3}{2} = 1 \\\,\\q = \frac{y_{A}+y_{B}}{2} = \frac{2-4}{2} = -1
il raggio invece sarà:
r= \frac{1}{2}\overline{AB} = \frac{1}{2}\sqrt{\left(x_{A}-x_{B}\right)^{2}+ \left(y_{A}-y_{B}\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\left(-1-3\right)^{2}+ \left(2+4\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{16+36}= \frac{\sqrt{52}}{2} =\sqrt{13}
applichiamo la definizione di circonferenza (equazione 1.1):
\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2} = r^{2} \\\,\\\Rightarrow\\\,\\\left(x-1\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2} = 13 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\x^{2}+1-2x+y^{2}+1+2y = 13 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\x^{2}+y^{2}-2x+2y-11 = 0
Metodo 2
Applichiamo la formula 1.2:
x^{2}+y^{2} +(-x_{A}-x_{B})x + (-y_{A}-y_{B})y +x_{A}x_{B} + y_{A}y_{B} = 0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ x^{2}+y^{2} +(1-3)x + (-2+4)y +(-1)(3) + (2)(-4)= 0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \mathbf{x^{2}+y^{2} -2x + 2y -11= 0}
