Equazione dell’ellisse traslata

Vediamo in questo appunto qual è l’equazione di un’ellisse traslata, ovvero di un’ellisse il cui centro non coincide con l’origine degli assi. Il seguente appunto sarà organizzato nei seguenti paragrafi:

• Breve cenno sull’equazione dell’ellisse in forma canonica
• Caso dell’ellisse traslata
• Esempi di esercizi

Per ulteriori approfondimenti sull’ellisse o su altri temi della geometria analitica, ti rimandiamo al seguente link.

Breve cenno sull’equazione dell’ellisse in forma canonica

Ricordiamo che l’equazione canonica di una generica ellisse, con i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente, altro non è che un’equazione di secondo grado in x ed in y del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \\\,\\\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1

dove a è sempre maggiore di b. I due coefficienti a e b indicano la lunghezza dei semiassi maggiore e minore:

• Se a è posizionato al denominatore del termine in x, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i fuochi allineati orizzontalmente
• Se a è posizionato al denominatore del termine in y, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i fuochi allineati verticalmente

Le equazioni sopra mostrate sono riferite ad ellissi che sono caratterizzate dall’avere il centro dell’ellisse coincidente con l’origine degli assi. Per centro dell’ellisse intendiamo il punto di incontro tra i due assi dell’ellisse. Nel prossimo paragrafo vedremo l’effetto della traslazione sull’equazione dell’ellisse. Per approfondire invece l’equazione canonica dell’ellisse con la sua dimostrazione ti rimandiamo all’appunto in questo link.

Caso dell’ellisse traslata

Posizionare l’ellisse rispetto all’origine degli assi è sicuramente di una situazione di comodo che consente di semplificare l’equazione della stessa. Ma cosa succede se il centro non coincide con l’origine degli assi? In questo caso per capire l’effetto sull’equazione occorre eseguire una trasformazione di traslazione. Immaginiamo dunque che il centro passi dall’essere O(0,0) ad essere C(x_C,y_C):

traslando l’ellisse di un vettore v(x_C,y_C) otteniamo che le nuove coordinate dei punti dell’ellisse nel sistema di riferimento XY saranno relazionate alle vecchie secondo le relazioni:

\left\{\begin{matrix} X=x-x_{C}\\ Y=y-y_{C} \end{matrix}\right.

ricordiamo che la traslazione è una trasformazione geometrica isometrica che lascia dunque invariate le distanze. Eseguire un’operazione di questo tipo sull’ellisse, non varierà le sue proprietà quali la lunghezza dei semiassi, la semidistanza focale e di conseguenza l’eccentricità. Adesso, rispetto al nuovo sistema di riferimento cartesiano, il centro C (x_C,y_C) avrà coordinate:

\left\{\begin{matrix} X=x_{C}-x_{C}=0\\ Y=y_{C}-y_{C}=0 \end{matrix}\right.

dunque rispetto al sistema di riferimento XCY, l’ellisse sarà descritta sempre da una equazione in forma canonica visto che il centro ha coordinate (0,0):

\mathbf{\frac{X^{2}}{a^{2}}+\frac{Y^{2}}{b^{2}}=1}

ma abbiamo visto sopra che le coordinate del nuovo sistema cartesiano, sono relazionate al vecchio mediante le relazioni:

\left\{\begin{matrix} X=x-x_{C}\\ Y=y-y_{C} \end{matrix}\right.

dunque l’equazione diventa:

\mathbf{\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}=1}

che per l’appunto è l’equazione dell’ellisse traslata di vettore v(x_C,y_C). Per quanto riguarda le simmetrie, l’ellisse traslata avrà simmetria assiale rispetto alle rette x=x_C y=y_C e simmetria centrale rispetto al centro C (x_C,y_C).

Esempi di esercizi

In questo paragrafo vediamo con qualche esempio di esercizio come l’equazione dell’ellisse si trasforma quando il centro dell’ellisse non coincide con l’origine degli assi

Esercizio 1

Si consideri l’equazione la seguente ellisse con il centro coincidente con l’origine degli assi:

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16}=1

e verificare come cambia la sua equazione se si opera una traslazione di vettore v(3,4)

L’esercizio ci chiede di verificare come cambia l’equazione dell’ellisse a seguito dell’operazione di traslazione mediante vettore (3,4) ciò significa assumere che il centro della nuova ellisse sarà C(3,4). Abbiamo visto nei paragrafi precedenti che l’equazione generica di un’ellisse traslate è del tipo:

\mathbf{\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}=1}

dunque la nostra ellisse diventa:

\mathbf{\frac{(x-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-4)^{2}}{b^{2}}=1}

Esercizio 2

Si consideri l’equazione la seguente ellisse con il centro coincidente con l’origine degli assi:

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{5}=1

e verificare come cambia la sua equazione se si opera una traslazione di vettore v(-3,-2)

Applichiamo ancora una volta l’equazione generica di un’ellisse traslata. L’equazione diventa:

\frac{(x+3)^{2}}{25} + \frac{(y+2)^{2}}{5}=1