In questo appunto vediamo la definizione di eccentricità di un’iperbole e come questa influenza la distensione dei rami dell’iperbole e la formula per calcolarla. Per comprendere il contenuto di questo articolo si consiglia di approfondire il concetto di equazione di un’iperbole e la definizione dei suoi elementi (assi, vertici, fuochi etc..). In particolare in questo appunto vedremo:
- Breve cenno sull’equazione dell’iperbole e sul significato dei suoi coefficienti
- Eccentricità di un’iperbole
- Caso di iperbole equilatera
- Esempi di esercizi
Per ulteriori appunti sulla geometria analitica ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.
Breve cenno sull’equazione dell’iperbole e sul significato dei suoi coefficienti
L’equazione di un’iperbole è un’equazione al quadrato in x ed in y che può essere riconducibile ad una forma canonica caratteristica. Nel caso di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle x e con il centro coincidente con l’origine degli assi abbiamo che l’equazione canonica è del tipo:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
dove a e b sono due coefficienti positivi che rappresentano la lunghezza dei semiassi dell’iperbole. Ricordiamo che
- l’asse trasverso di un’iperbole è l’asse che congiunge i due vertici reali di un’iperbole. Esso avrà dunque lunghezza pari a 2a
- l’asse non trasverso di un’iperbole è l’asse che congiunge i due vertici non reali di un’iperbole. Esso avrà dunque lunghezza pari a 2b
Proviamo a rappresentare graficamente quanto detto:
ciò significa che in un’iperbole di questo tipo i vertici avranno le seguenti coordinate:
V_{1}(-a,0) \,\,\,\\\,\\V_{2}(a,0)\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ V_{3}(0,-b)\,\, \\\,\\ V_{4}(0,b)\,\,\,\,\,\,
come si può notare, le coordinate dei vertici sono legate ai coefficienti dell’iperbole. Questi ultimi hanno un’altra caratteristica. Sono in relazione con le coordinate dei fuochi di un’iperbole:
F_{1}(-c,0) \\\,\\ F_{2}(c,0)
dove c è tale che:
c= \sqrt{a^{2}+b^{2}}
Vediamo nelle tabelle riassuntive sotto sotto cosa succede quando abbiamo a che fare con un’iperbole con i fuochi allineati verticalmente e con un’iperbole traslata:
Eccentricità di un’iperbole
Arriviamo adesso al concetto di eccentricità di un’iperbole. Il termine eccentricità è sicuramente un termine noto per chi ha studiato l”eccentricità di un’ellisse. La definizione è effettivamente molto simile visto che per entrambi è il rapporto tra la semidistanza focale ed il semiasse trasverso:
e= \frac{c}{a}
differentemente dall’ellisse dove l’eccentricità era compresa tra 0 e 1, nel caso di un’iperbole l’eccentricità è sempre maggiore di 1. Questa differenza risiede banalmente nel fatto che nell’ellisse i fuochi sono interni alla curva e la loro distanza è minore rispetto alla distanza dei vertici (c<a). Nel caso di un’iperbole invece i fuochi sono esterni alla curva e dunque la loro distanza è sicuramente maggiore rispetto a quella tra i vertici reali (c>a). Si noti che l’eccentricità è una grandezza adimensionale essendo il rapporto tra due lunghezze.
Ma rispondiamo adesso alla domanda: cosa rappresenta l’eccentricità di un’iperbole? Guardiamo insieme la formula dell’eccentricità e immaginiamo di considerare una serie di iperboli per le quali il valore di a è costante (a=4) mentre il valore di c aumenta:
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 \\\,\\ \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{49}=1 \\\,\\ \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{81}=1\\\,\\ ....\\\,\\ \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{10000}=1
aumentando il coefficiente b, dalla prima all’ultima equazione, aumenta conseguentemente anche il coefficiente c. Questo vuol dire che i fuochi si allontanano sempre di più dai vertici. Quando questo accade, il valore dell’eccentricità aumenta:
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, c=\sqrt{16+9}=5 \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, e= \frac{c}{a}=\frac{5}{4} =1.25 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{49}=1 \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, c=\sqrt{16+49}\approx 8 \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, e= \frac{c}{a}\approx\frac{8}{4} \approx 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{81}=1\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, c=\sqrt{16+81}\approx 10 \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, e= \frac{c}{a}\approx\frac{10}{4}\approx 2.5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ ....\\\,\\ \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{10000}=1\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, c=\sqrt{16+10000}\approx 100 \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, e= \frac{c}{a}\approx \frac{100}{4} \approx 25
Vediamo adesso graficamente cosa succede all’iperbole all’aumentare della distanza tra i fuochi e quindi di eccentricità a parità di lunghezza del semiasse trasverso:
All’aumentare dell’eccentricità aumenta l’ampiezza dell’iperbole. Aumentando all’infinito c, i due rami dell’iperbole tenderanno alle due rette
x=\pm a
Stesse considerazioni si possono fare per un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate dove si ricordi che il coefficiente a deve sempre rappresentare la coordinata dei vertici reali! Nel caso di un’iperbole traslata, la formula dell’eccentricità dell’iperbole non cambia. La traslazione, infatti, è una isometria, ovvero una trasformazione che mantiene invariate le distanze e quindi l’ampiezza dell’iperbole rimane invariata.
Caso di iperbole equilatera
Nel caso di un’iperbole equilatera abbiamo che i due coefficienti a e b sono identici. Ciò significa che le lunghezze del semiasse trasverso e del semiasse non trasverso sono uguali tra loro:
a=b
Ne risulta dunque che l’eccentricità sarà pari a:
e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a} =\frac{\sqrt{a^{2}+a^{2}}}{a} =\frac{\sqrt{2a^{2}}}{a} = \sqrt {2}
Indipendentemente dunque dal valore di a e quindi di b, l’eccentricità di un’iperbole equilatera sarà sempre pari alla radice di 2.
Di seguito una tabella che riassume tutti i casi:
Esempi di esercizi
Esempio 1
Calcolare l’eccentricità della seguente iperbole:
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{25}=-1
Innanzitutto chiediamoci di che iperbole si tratta? Si tratta di un’iperbole avente i fuochi sull’asse delle ordinate. Possiamo infatti riscriverla nella forma:
\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{16}=1
Dunque essendo i due vertici reali posizionati sull’asse delle ordinate il coefficiente a sarà quello al denominatore della variabile y:
a^{2}=25 \Rightarrow a=5
calcoliamoci il valore dell’eccentricità:
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a} = \frac{\sqrt{25+16}}{5} \approx 1,28
Esempio 2
Calcolare l’eccentricità della seguente iperbole:
\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{36}=1
L’iperbole proposta è un’iperbole equilatera. Dunque la sua eccentricità sarà forzatamente la radice di 2.
