In questo appunto vediamo come è definita l’eccentricità di un’ellisse, cosa rappresenta e alcuni esempi di esercizi. In particolare vedremo:
- Riepilogo equazione di un’ellisse
- Esempi di ellissi
- Definizione di eccentricità di un’ellisse
- Proprietà dell’eccentricità di un’ellisse
- Esempi di esercizi
Riepilogo equazione di un’ellisse
Ricordiamo che l’equazione canonica di un’ellisse avente come centro l’origine degli assi e i fuochi sull’asse delle ascisse è del tipo:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
dove a e b rappresentano rispettivamente le misure dei semi assi maggiori e dei semiassi minori. Nel caso in cui l’ellisse sia tale che i fuochi siano allineati verticalmente lungo l’asse delle ordinate, allora l’equazione canonica diventa come visto in questo link:
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} = 1
dove abbiamo continuato ad indicare con a il semiasse maggiore e con b il semiasse minore. Dunque se il semiasse maggiore è posizionato al denominatore del termine x allora l’ellisse avrà i fuochi allineati orizzontalmente sull’asse delle ascisse. Se il semiasse maggiore è posizionato al denominatore del termine y allora i fuochi si troveranno sull’asse delle ordinate.
Abbiamo anche visto che se il centro dell’ellisse si sposta in C(xC, yC) allora le due equazioni diventano:
\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} = 1 \\\,\\ \frac{(x-x_{C})^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{a^{2}} = 1
vedremo che il posizionamento del centro dell’ellisse in un punto diverso dall’origine degli assi, non ha alcun effetto sull’eccentricità dell’ellisse.
Esempi di ellissi
Abbiamo visto nel paragrafo precedente qual è l’equazione generica di un’ellisse per le diverse situazioni che possono essere comunemente affrontate (ad esempio non abbiamo trattato il caso di ellissi ruotate rispetto agli assi cartesiani). L’equazione dell’ellisse ci consente di capire a seconda del posizionamento dei coefficienti a e b se l’ellisse è verticale o orizzontale. Adesso vogliamo affrontare un altro tipo di problema. Vediamo le seguenti due ellissi orizzontali:
osservando la figura notiamo che l’ellisse nera è certamente più schiacciata dell’ellisse rossa. Le due ellissi hanno il semiasse minore in comune, mentre ciò che varia è la lunghezza del semiasse maggiore. E’ chiaro in questo contesto, dove il semiasse minore è in comune, che l’ellisse più schiacciata è quella avente il semiasse maggiore più lungo. Ma come è possibile confrontare due ellissi generiche, avente entrambi i semiassi diversi e dire quale delle due è più schiacciata? Esiste un termine che consente di confrontare queste due ellissi ad esempio?:
\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{6} = 1 \\\,\\ \frac{x^{2}}{19}+\frac{y^{2}}{5} = 1
la risposta è si e questo termine si chiama eccentricità dell’ellisse.
Definizione di eccentricità di un’ellisse
Nel ricavare l’equazione dell’ellisse a partire dalla definizione come luogo geometrico di punti abbiamo visto che ad un certo punto abbiamo posto:
a^{2}-c^{2}=b^{2}
da cui possiamo scrivere:
a^{2} = b^{2}+c^{2}
dunque il quadrato del semiasse maggiore è dato dalla somma del quadrato del semiasse minore con il quadrato della semidistanza focale. Adesso torniamo all’immagine del paragrafo precedente dove sono messe a confronto le due ellissi e ci concentriamo sui due triangoli rettangoli B2OF2 e B2OF2‘. Possiamo dunque dire per i due triangoli che:
\mathbf{B_{2}OF_{2}}\\ \overline{OB_{2}}=b \\ \overline{OF_{2}}=c \\ \overline{B_{2}F_{2}}=a \\ \\\,\\\\\,\\\mathbf{B_{2}OF_{2}'}\\ \overline{OB_{2}}=b \\ \overline{OF_{2}'}=c' \\ \overline{B_{2}F_{2}'}=a'
inoltre osserviamo che:
se chiamiamo γ e γ’ gli angoli che le ipotenuse formano con i cateti rappresentati dalle semidistanze focali, questi possono essere rappresentativi di quanto l’ellisse sia schiacciata. In particolare osserviamo che quanto più diminuisce l’ampiezza di questo angolo, tanto più schiacciata sarà l’ellisse. Poiché tale angolo è parte di un triangolo rettangolo, esso ha due valori limite oltre i quali la sua ampiezza non può essere più grande o più piccola. Tali valori sono 0° e 90°.
In questo intervallo di angoli la funzione coseno di γ è tale che se:
\gamma_{1} < \gamma_{2} \Rightarrow cos\gamma_{1}>cos\gamma_{2}
dunque, al diminuire del valore dell’ampiezza dell’angolo γ , aumenta il valore del suo coseno. Il coseno di γ può essere considerato un valore rappresentativo di quanto l’ellisse sia schiacciata. Applicando uno dei teoremi dei triangoli rettangoli al triangolo B1OF2 abbiamo che:
c= a \,cos\gamma
da cui possiamo ricavare:
cos\gamma= \frac{c}{a}
il rapporto a su c oltre a rappresentare il coseno dell’angolo γ , rappresenta l’eccentricità di un’ellisse. Dunque possiamo concludere che l’eccentricità di un’ellisse data dal rapporto della semidistanza focale con il semiasse maggiore è rappresentativo di quanto l’ellisse sia schiacciata. Più grande è il valore dell’eccentricità e più schiacciata risulterà l’ellisse. L’eccentricità è dunque rappresentata con il simbolo e:
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}
Proprietà dell’eccentricità di un’ellisse
Spendiamo adesso qualche parola sull’eccentricità dell’ellisse. Per come è stata definita l’eccentricità può assumere solo valori compresi tra 0 e 1. Ma cosa succede all’ellisse quando l’eccentricità assume questi valori limite?
Caso 1 e=0
Vediamo il primo caso in cui l’eccentricità è pari a zero. Ciò accade se la semidistanza focale c è nulla:
e= 0 \Leftrightarrow c=0
dunque le posizioni di entrambi i fuochi coincidono con il centro dell’ellisse. Inoltre considerando la relazione:
a^{2}=b^{2}+c^{2}
se c=0:
a^{2}=b^{2}
semiasse maggiore e semiasse minore coincidono. L’equazione dell’ellisse degenera in:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 \Rightarrow x^{2}+y^{2}=a^{2}
che altro non è che l’equazione di una circonferenza. Dunque quando l’eccentricità di un’ellisse è nulla, l’ellisse è una circonferenza. Possiamo dunque dire che la circonferenza è una particolare ellisse aventi i semiassi uguali e pari al suo raggio.
Caso 2 e=1
Vediamo adesso cosa accade quando l’eccentricità dell’ellisse è pari a 1:
e = \frac{c}{a} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\c=a
dire che l’eccentricità ha valore unitario significa dire che la semidistanza focale coincide con la lunghezza del semiasse maggiore. Al tendere di c ad a l’ellisse diventa sempre più schiacciata con i fuochi che si allontanano sempre di più dall’origine per avvicinarsi ai relativi vertici. Nel caso limiti di un’eccentricità unitaria, la posizione dei fuochi coincide con la posizione dei vertici. Riprendiamo inoltre la relazione:
a^{2}=b^{2}+c^{2}
ma se a=c allora ne consegue che b=0. Dunque scompare il semiasse minore. Possiamo concludere che quando e=1 l’ellisse degenera in un segmento:
Osserviamo infine cosa accade all’equazione quando l’eccentricità è pari ad 1 e b=0:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{0}=1
nell’equazione compare uno zero in un denominatore!!
Esempi di esercizi
Esercizio 1
Calcolare l’eccentricità della seguente ellisse:
\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{36}=1
analizziamo innanzitutto i termini dell’equazione dell’ellisse. Poiché il denominatore del termine in x è maggiore del denominatore del termine in y possiamo concludere che l’ellisse ha i fuochi posizionati sull’asse delle x. Inoltre dall’equazione ricaviamo le seguenti informazioni:
a^{2}=49 \Rightarrow a=7 \\\,\\b^{2}=36 \Rightarrow b=6
dove nell’operare l’operazione di estrazione consideriamo solo i casi positivi in quanto rappresentanti delle lunghezze. Calcoliamo adesso il valore di c:
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{49-36} = \sqrt{13}
dunque l’eccentricità è:
e= \frac{c}{a} =\frac{\sqrt{13}}{7}
Esercizio 2
Calcolare l’eccentricità dell’ellisse inscritta in un rettangolo di lati 10cm e 6cm
In questo caso non abbiamo l’equazione dell’ellisse ma possiamo ricavare le lunghezze dei semiassi dai dati forniti. Infatti, le lunghezze dei lati del rettangolo coincidono con quelle degli assi dell’ellisse. I semiassi a e c saranno dunque:
a=\frac{10}{2}=5 cm \\\,\\ b= \frac{6}{2}= 3 cm
calcoliamoci il valore della semidistanza focale c:
c= \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{5^{2}-3^{2}} =\sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4 cm
calcoliamo adesso l’eccentricità:
e=\frac{c}{a} = \frac{4}{5}
Esercizio 3
Calcolare l’eccentricità della seguente ellisse:
\frac{8x^{2}}{49} + \frac{8y^{2}}{49}=1
osserviamo l’equazione dell’ellisse fornita. I coefficienti a e b sono uguali tra loro. Ne consegue che si tratta dell’equazione di una circonferenza e dunque l’eccentricità è pari a zero
Esercizio 4
Stabilisci quali delle due ellissi è più schiacciata:
\frac{x^{2}}{16} + \frac{9y^{2}}{64}=1 \\\,\\ \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}=1
Innanzitutto osserviamo le due equazioni fornite. Osserviamo che in entrambi i casi il valore del coefficiente al denominatore del termine in x è maggiore del valore al denominatore del termine in y. Non lasciatevi ingannare dalla prima equazione in quanto il termine in y non è 64 ma 64/9. Ricaviamo adesso i valori dei coefficienti della prima equazione:
\frac{x^{2}}{16} + \frac{9y^{2}}{64}=1 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\a^{2}= 16 \Rightarrow a=4 \\\,\\ b^{2}= \frac{64}{9} \Rightarrow b=\frac{8}{3}
ne consegue che c:
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}= \sqrt{16-\frac{64}{9}} =\sqrt{\frac{144-64}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} =\frac{4}{3} \sqrt{5}
e che l’eccentricità è pari a:
e=\frac{c}{a}= \frac{\frac{4\sqrt{5}}{3}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{3}
facciamo lo stesso per la seconda equazione:
\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}=1 \\\,\\ \Rightarrow\\\,\\ a_{1}^{2}= 16 \Rightarrow a_{1}=4 \\\,\\ b_{1}^{2}=4 \Rightarrow b_{1}=2
ne consegue che c
c_{1}=\sqrt{a_{1}^{2}-b_{1}^{2}} = \sqrt{4^{2}-2^{2}} =\sqrt{12} = 2\sqrt{3}
e che l’eccentricità è pari a:
e_{1} = \frac{c_{1}}{a_{1}} = \frac{2\sqrt{3}}{4} =\frac{\sqrt{3}}{2}
mettiamo a confronto adesso le due eccentricità:
e=\frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.75 \\\,\\ e_{1}= \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87
poiché la seconda eccentricità è maggiore della prima, ne risulta che la seconda ellisse è più schiacciata della prima!
Nota 1: avremmo potuto risolvere l’esercizio notando che la lunghezza del semiasse minore b era in comune alle due ellissi. Poiché a variare è solo il termine a, l’ellisse con il semiasse maggiore più lungo è di conseguenza quella più schiacciata.
Nota 2: negli esercizi proposti abbiamo eseguito i calcoli passo passo, ricavando prima a e b dall’equazione e poi calcolando il termine c. Una volta presa dimestichezza con il concetto di eccentricità, consigliamo di applicare direttamente la formula:
e=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}
