La distribuzione t di Student è una distribuzione di densità di probabilità di una variabile aleatoria continua (variabile t) definita  come segue:

Con Z e V due variabili aventi distribuzioni di densità di probabilità indipendenti tra loro rispettivamente normale standard (media 0 e varianza 1) e chi quadro con ν gradi di libertà.

Come la distribuzione normale, la distribuzione t di Student ha una forma a campana e simmetrica rispetto allo 0. Diversamente dalla distribuzione normale, essa dipende dal numero di gradi di libertà (Grandezza del campione – 1). In particolare, per un valore basso di gradi di libertà (campioni di dimensione molto piccola), la distribuzione risulta più bassa e più larga alle code di una distribuzione normale. All’aumentare dei gradi di libertà la distribuzione diventa simile ad una distribuzione normale fino a coincidere da campioni di 30/50 dati.

Di seguito un grafico di diverse distribuzioni t di Student con diversi gradi di libertà:

Distribuzione di Student al variare dei gradi di libertà

ed il confronto tra un distribuzione normale standard con due distribuzioni t di Student, rispettivamente con 1 e 20 gradi di libertà:

Normale Vs t di Student

Come si può vedere dagli ultimi due grafici, all’aumentare del numero di gradi di libertà, la distribuzione di Student coincide con la distribuzione normale standard.

La formula della distribuzione t di Student è la seguente:

Distribuzione di densità di probabilità di t di student

dove B è la funzione beta. Non ci soffermeremo sulla dimostrazione della formula mentre cercheremo di sottolinearne le applicazioni.

Applicazioni della distribuzione t di Student

La distribuzione di probabilità t di Student può essere usata per applicazioni statistiche in cui sono coinvolte statistiche a campana.

Esempi di applicazioni sono test delle ipotesi su:

  • media di una popolazione di cui non è conosciuta la deviazione standard della popolazione e calcolo dell’intervallo di confidenza.
  • differenza tra due medie
  • differenza tra due medie di 2 campioni dipendenti
  • coefficiente di correlazione

 

Distribuzione t di Student
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