In questo appunto vedremo quali sono e come ricavare il valore atteso e la varianza della distribuzione normale. Per comprendere bene il contenuto di questo appunto è necessario conoscere la definizione di questi due operatori matematici che potrai trovare nel dettaglio ai seguenti link (link1, link2). Una introduzione sulla distribuzione normale, con la descrizione delle sue caratteristiche e proprietà statistiche chiave, invece puoi trovarla al seguente link. Dunque in questo appunto vedrai:
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Calcolo del valore atteso
Dimostriamo con tutti i passaggi matematici il valore atteso della distribuzione normale, la cui funzione matematica è la seguente:
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}
Calcoliamo il valore atteso applicando la definizione dello stesso nel caso di una distribuzione a variabile continua:
E[x]= \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x) dx =\int_{-\infty}^{+\infty}x\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}} dx
per risolvere l’integrale procediamo applicando cambio di variabile:
t = \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,x=\sqrt{2}\sigma t + \mu \,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, dx = \sqrt{2}\sigma dt
l’integrale allora diventa:
E[x] = \frac{\sqrt{2} \sigma}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty} (\sqrt{2}\sigma t +\mu)e^{-t^{2}}dt =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \left(\sqrt{2}\sigma\int^{+\infty}_{-\infty}te^{-t^{2}}dt+\mu\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-t^{2}}dt\right)
si noti che, il secondo termine altro non è che l’integrale di Gauss:
\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-t^{2}}dt = \sqrt{\pi}
Dunque possiamo riscrivere il tutto:
E[x] = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left(\sqrt{2}\sigma \left[-\frac{1}{2}e^{-t^{2}}\right]_{-\infty}^{+\infty}+\mu\sqrt{\pi}\right)
ma la funzione esponenziale ottenuta tende a zero sia a meno infinito che a + infinito. Dunque rimane solo il secondo termine in parentesi:
E[x]= \frac{\mu \sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = \mu
Abbiamo dunque dimostrato che il valore atteso della distribuzione normale è pari a mu, ovvero al centro della stessa.
Calcolo della varianza della distribuzione normale
Per calcolare la varianza della distribuzione normale, partiamo dalla sua definizione:
V[x] = E[x^{2}]- E[x]^{2}
il valore atteso E[x] è stato calcolato nel paragrafo precedente. Calcoliamo adesso il valore atteso del quadrato di x:
E[x^{2}] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx
eseguiamo subito un cambio di variabile:
t= \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma} \\\,\\ \,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ x=\sqrt{2}\sigma t+\mu \\\,\\ \,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ dx=\sqrt{2}\sigma dt
dunque riscriviamo l’integrale:
E[x^{2}] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx = \\\,\\ =\frac{\sigma \sqrt{2}}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} (\sqrt{2}\sigma t+\mu)^{2} e^{-t^{2}}dt= \\\,\\ = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left(2\sigma^{2}\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2} e^{-t^{2}}dt+2\sigma\sqrt{2}\int_{-\infty}^{+\infty}t e^{-t^{2}}dt+\mu^{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}}dt \right)
ma alcuni di questi integrali sono noti. Come l’integrale di Gauss:
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}dt} = \sqrt{\pi}
mentre possiamo facilmente risolvere:
\int_{-\infty}^{+\infty}te^{-t^{2}dt} = \left[-\frac{1}{2}e^{-t^{2}}\right]^{+\infty}_{-\infty} = 0-0=0
Per risolvere l’ultimo integrale (il primo della parentesi) dobbiamo operare ad una integrazione per parti:
2\sigma^{2} \int_{-\infty}^{+\infty}t^{2}e^{-t^{2}}dt = 2\sigma^{2} \left[ -\frac{t}{2}e^{-t^{2}}\right]_{-\infty}^{+\infty}+\sigma^{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt = \sigma^{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt = \sigma^{2}\sqrt{\pi}
sostituiamo questi tre integrali nella formula. Otteniamo::
E[x^{2}] = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left(2\sigma^{2}\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2} e^{-t^{2}}dt+2\sigma\sqrt{2}\int_{-\infty}^{+\infty}t e^{-t^{2}}dt+\mu^{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}}dt \right) =\\\,\\= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left(\sigma^{2}\sqrt{\pi}+0+\mu^{2}\sqrt{\pi} \right) = \sigma^{2}+\mu^{2}
calcoliamo adesso la varianza:
V[x] = E[x^{2}]-E[x]^{2} = \sigma^{2}+\mu^{2}-\mu^{2} = \sigma^{2}
abbiamo così dimostrato che la varianza per la
