In questo appunto vedremo quali sono e come ricavare il valore atteso e la varianza della distribuzione di Poisson. Per comprendere bene il contenuto di questo appunto è necessario conoscere la definizione di questi due operatori matematici che potrai trovare ai seguenti link (link1link2). La definizione di distribuzione di Poisson invece puoi trovarla al seguente link. Dunque in questo appunto vedrai:

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Valore atteso della distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è una distribuzione a variabile discreta, utilizzata per descrivere la probabilità che possano verificarsi x eventi di un certo tipo sapendo che il numero di eventi che accadono in un determinato intervallo t è pari a lambda. La distribuzione ha dunque la seguente forma:

p(x) = \frac{(\lambda t)^{x}}{x!}e^{-\lambda t}

Calcoliamo il valore atteso utilizzando la sua definizione:

E[x] = \sum_{x_{i}=0}^{\infty} x_{i} p(x_{i}) 

ne risulta dunque che:

E[x]= \sum_{x_{i}=0}^{\infty} x_{i}  \frac{(\lambda t)^{x_{i}}}{x_{i}!}e^{-\lambda t} =\sum_{x_{i}=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{x_{i}}}{(x_{i}-1)!}e^{-\lambda t}

adesso possiamo portare fuori dalla sommatoria il termine costante lambda per t ed il termine esponenziale:

E[x] =\sum_{x_{i}=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{x_{i}}}{(x_{i}-1)!}e^{-\lambda t} = \lambda t e^{-\lambda t}\sum_{x_{i}=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{(x_{i}-1)}}{(x_{i}-1)!}

eseguiamo adesso un cambio di variabile: s=xi-1:

E[x]  = \lambda t e^{-\lambda t}\sum_{s=1}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{(s)}}{s!}

ma la sommatoria altro non è che la serie di Taylor della funzione esponenziale:

e^{\lambda t} = \sum_{s=1}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{(s)}}{s!}

Dunque il valore atteso diventa:

E[x] = \lambda t e^{-\lambda t}\sum_{s=1}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{(s)}}{s!} = \lambda t e^{-\lambda t}e^{\lambda t} =\lambda t

Ecco dunque dimostrato che il valore atteso della distribuzione di Poisson è proprio pari al prodotto di lambda per il tempo

Varianza della distribuzione di Poisson

Calcoliamo adesso la varianza della distribuzione di Poisson. Per farlo utilizziamo la definizione di varianza:

V[x] =E[x^{2}]-E[x]^{2}

Avendo dimostrato nel paragrafo precedente il valore atteso della distribuzione di Poisson, non ci resta che calcolare il valore atteso di x quadro:

E[x^{2}]= \sum_{x_{i}=0}^{\infty} x_{i}^{2}p(x_{i}) = \sum_{x_{i}=0}^{\infty} x_{i}^{2}\frac{(\lambda t)^{x_{i}}}{x_{i}!}e^{-\lambda t} =\\\,\\ = \lambda te^{-\lambda t}\sum_{x_{i}=1}^{\infty} x_{i}\frac{(\lambda t)^{(x_{i}-1)}}{(x_{i}-1)!} = \\\,\\ = \lambda te^{-\lambda t} \left( \sum_{x_{i}=1}^{\infty} (x_{i}-1)\frac{(\lambda t)^{(x_{i}-1)}}{(x_{i}-1)!} + \sum_{x_{i}=1}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{(x_{i}-1)}}{(x_{i}-1)!}\right) = \\\,\\= \lambda te^{-\lambda t} \left( \lambda t\sum_{x_{i}=2}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{(x_{i}-2)}}{(x_{i}-2)!} + \sum_{x_{i}=1}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{(x_{i}-1)}}{(x_{i}-1)!}\right)

si ricordi che l’espansione in serie di Taylor della funzione esponenziale fornisce:

e^{\lambda t} = \sum_{s=1}^{\infty}\frac{(\lambda t)^{s}}{s!}

possiamo scrivere:

E[x^{2}]= \lambda te^{-\lambda t} \left( \lambda t\sum_{x_{i}=2}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{(x_{i}-2)}}{(x_{i}-2)!} + \sum_{x_{i}=1}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{(x_{i}-1)}}{(x_{i}-1)!}\right) = \\\,\\ = \lambda te^{-\lambda t}(\lambda t e^{\lambda t} + e^{\lambda t}) = \lambda t(\lambda t+1)

ricordando che il valore atteso della distribuzione di Poisson è pari a lambda t, abbiamo:

V[x] = E[x^{2}]-E[x]^{2} = \lambda t(\lambda t+1) - \lambda^{2}t^{2} = \lambda t

dunque nella distribuzione di Poisson, valore atteso e varianza coincidono.

Distribuzione di Poisson: valore atteso e varianza
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