In questo appunto vediamo quali sono e come ricavare il valore atteso e la varianza della distribuzione di Bernoulli. Per comprendere bene il contenuto di questo appunto è necessario conoscere approfonditamente le definizioni di questi due operatori matematici e che troverai nei seguenti link (link1 e link2). Dunque in questo appunto vedrai:
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Valore atteso della distribuzione di Bernoulli
La distribuzione di probabilità di Bernoulli descrive quei fenomeni che hanno due soli possibili esiti:
- il successo (x=1) a cui è associata una probabilità di accadimento p
- l’insuccesso (x=0) al quale è associato una probabilità di accadimento q=1-p.
La distribuzione di Bernoulli è dunque una distribuzione di probabilità a variabili discrete, la cui funzione di probabilità è data da:
p(x_{i}) = p^{x_{i}}(1-p)^{1-x_{i}} \,\,\,\,\,\,\,\ x_{i}=0,1
Puoi verificare i due possibili esiti elencati all’inizio di questo paragrafo fornendo alla variabile xi i valori 0 e 1. Possiamo adesso provare a calcolare il valore atteso di questa distribuzione. Ricordiamo che questo operatore matematico è calcolato come sommatoria dei prodotti di tutti i possibili valori della variabile x per la probabilità che tale variabile possa verificarsi. Esso infatti altro non è che una generalizzazione del concetto di media pesata. Il valore atteso per tale distribuzione sarà allora dato da:
E(x) = \sum_{x_{i}=0}^{1} x_{i} p(x_{i}) = 0*p^{0}(1-p)^{1-0} + 1*p^{1}(1-p)^{0} = 0+p = p
Il valore atteso della distribuzione di Bernoulli coincide dunque con la probabilità di successo p
Varianza della distribuzione di Bernoulli
Calcoliamo adesso la varianza utilizzando la definizione:
V[x] = E[x^{2}]-E[x]^{2}
eseguiamo il calcolo ricordando che per la distribuzione di Bernoulli il valore atteso è pari a p e calcolando il valore atteso del quadrato ti p per la stessa distribuzione:
V[x] = E[x^{2}]-E[x]^{2} = \sum_{x_{i}=0}^{1}x_{i}^{2}p^{x_{i}}(1-p)^{1-x_{i}}-p^{2} =\\\,\\ =0*p^{0}(1-p)+p(1-p)^{0}-p^{2} =p-p^{2}= p(1-p)
dunque la varianza della distribuzione di Bernoulli è pari a p(1-p).
Dunque per riassumere, il valore atteso della distribuzione di Bernoulli è data dalla probabilità di successo p. La varianza è data dal prodotto della probabilità di successo p per la probabilità di insuccesso 1-p.
