In questo appunto vedremo quali sono e come ricavare il valore atteso e la varianza della distribuzione binomiale. Per comprendere bene il contenuto di questo appunto è necessario conoscere la definizione di questi due operatori matematici che potrai trovare ai seguenti link (link1, link2). La definizione di distribuzione binomiale invece puoi trovarla al seguente link. Dunque in questo appunto vedrai:
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Valore atteso della distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale è utilizzata per descrivere la probabilità che si realizzi un certo numero di esiti dello stesso tipo in n eventi di tipo Bernoulli. Si tratta anche in questo caso di una distribuzione di probabilità per variabile discreta:
P(x) = \binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}
dove p e q sono rispettivamente le probabilità si successo e di insuccesso. P(x) rappresenta la probabilità di avere k eventi di successo su n prove. Il valore atteso in questo caso sarà dato da:
E(x) = \sum_{x_{i}=0}^{n} x_{i}\binom{n}{x_{i}}p^{x_{i}}q^{n-x_{i}}
si noti che:
x_{i}\binom{n}{x_{i}} = \binom{n}{x_{i}-1}
inoltre il primo termine della sommatoria (quello con x=0) è nullo. Viste queste due note, possiamo scrivere per il valore atteso:
E(x) = \sum_{x_{i}=0}^{n} x_{i}\binom{n}{x_{i}}p^{x_{i}}q^{n-x_{i}} = \sum_{x_{i}=1}^{n} \binom{n}{x_{i}-1}p^{x_{i}}q^{n-x_{i}}
possiamo portare fuori dal termine binomiale n. Ottenendo:
E(x) = \sum_{x_{i}=1}^{n} \binom{n}{x_{i}-1}p^{x_{i}}q^{n-x_{i}} = \sum_{x_{i}=1}^{n} n\binom{n-1}{x_{i}-1}p^{x_{i}}q^{n-x_{i}}
Adesso, poiché n e p sono costanti, possiamo portarli entrambi fuori dalla sommatoria:
E(x) = \sum_{x_{i}=1}^{n} n\binom{n-1}{x_{i}-1}p^{x_{i}}q^{n-x_{i}} = np \sum_{x_{i}=1}^{n} \binom{n-1}{x_{i}-1}p^{x_{i}-1}q^{n-x_{i}} = np \sum_{x_{i}=1}^{n} \binom{n-1}{x_{i}-1}p^{x_{i}-1}q^{(n-1)-(x_{i}-1)}
eseguiamo un cambio di variabile r= xi-1. Otteniamo:
E(x) = np \sum_{x_{i}=1}^{n} \binom{n-1}{x_{i}-1}p^{x_{i}-1}q^{(n-1)-(x_{i}-1)} = np \sum_{r=0}^{n-1} \binom{n-1}{r}p^{r}q^{(n-1)-(r)}
ma il binomio di Newton ci dice che:
(a+b)^{k} = \sum_{r=0}^{k} \binom{k}{r}a^{r}b^{k-r}
Ciò significa che:
E(x) = np \sum_{r=0}^{n-1} \binom{n-1}{r}p^{r}q^{(n-1)-(r)}= np (p+q)^{n-1}
ma nella distribuzione binomiale, p+q rappresenta contemporaneamente la probabilità di successo e di insuccesso. Per cui p+q =1. Risulta dunque che:
E(x) = np (p+q)^{n-1}= np
Dunque il valore atteso della distribuzione binomiale è pari a np.
Varianza della distribuzione binomiale
Per calcolare la varianza della distribuzione binomiale, ricordiamo innanzitutto la sua formula generica:
V[x] = E[x^{2}]-E[x]^{2}
Ricordando che il valore atteso della distribuzione binomiale è pari a np, per calcolare la varianza ci serve calcolare E[x2]. Applichiamo la definizione di valore atteso:
E[x^{2}] = \sum_{x_{i}=0}^{n}x_{i}^{2}\binom{n}{x_{i}}p^{x_{i}}q^{n-x_{i}} =\\\,\\=\sum_{x_{i}=0}^{n}nx_{i}\binom{n-1}{x_{i}-1}p^{x_{i}}q^{n-x_{i}} =\\\,\\= np\sum_{x_{i}=1}^{n}x_{i}\binom{n-1}{x_{i}-1}p^{x_{i}-1}q^{(n-1)-(x_{i}-1)}
Dove è stato cambiato il limite inferiore della sommatoria da 0 a 1. Eseguiamo adesso un cambio di variabili:
j=n-1\\\,\\ k=x_{i}-1
otteniamo così:
E[x^{2}] = np\sum_{k=0}^{j}(k+1)\binom{j}{k}p^{k}q^{j-k}
dividiamo in due sommatorie:
E[x^{2}] = np\sum_{k=0}^{j}k\binom{j}{k}p^{k}q^{j-k} + np\sum_{k=0}^{j}\binom{j}{k}p^{k}q^{j-k} = \\\,\\ = np\left( \sum_{k=0}^{j}k\binom{j}{k}p^{k}q^{j-k} + \sum_{k=0}^{j}\binom{j}{k}p^{k}q^{j-k}\right) = \\\,\\ =np\left( \sum_{k=0}^{j}j\binom{j-1}{k-1}p^{k}q^{j-k} + \sum_{k=0}^{j}\binom{j}{k}p^{k}q^{j-k}\right) = \\\,\\ =np\left( jp\sum_{k=1}^{j}\binom{j-1}{k-1}p^{k-1}q^{(j-1)-(k-1)} + \sum_{k=0}^{j}\binom{j}{k}p^{k}q^{j-k}\right)
ma il binomio di Newton ci dice che:
(a+b)^{j} = \sum_{k=0}^{j} \binom{j}{k}a^{k}b^{j-k}
dunque:
\sum_{k=1}^{j}\binom{j-1}{k-1}p^{k-1}q^{(j-1)-(k-1)} = (p+q)^{j-1} \\\,\\\\\,\\\sum_{k=0}^{j}\binom{j}{k}p^{k}q^{j-k} = (p+q)^{j}
dunque abbiamo:
E[x^{2}] =np\left( jp(p+q)^{j-1} + (p+q)^{j}\right)
ricordando che j = n-1 possiamo scrivere:
E[x^{2}] =np\left( (n-1)p(p+q)^{n-2} + (p+q)^{n-1}\right)
ma poichè p+q =1 (somma di probabilità di successo e insuccesso), possiamo semplificare:
E[x^{2}] = np((n-1)p+1) = n^{2}p^{2}+np(1-p)
possiamo finalmente calcolare la varianza (si ricordi che il valore atteso, calcolato nel precedente paragrafo è pari a np):
V[x] = E[x^{2}]-E[x]^{2} = n^{2}p^{2} + np(1-p) -(np)^{2} = np(1-p)
Dunque per ricapitolare, il valore atteso della distribuzione binomiale è paria a np, ovvero n volte la probabilità di successo. La sua varianza è paria a np(1-p) ovvero n volte il prodotto della probabilità di successo per quella di insuccesso. Curioso verificare questi valori con quelli della distribuzione di Bernoulli
