In questo appunto vediamo in che modo è possibile calcolare la distanza tra due rette. In particolare vedremo:

Definizione di distanza fra due rette

Abbiamo visto al seguente link il concetto di distanza di un punto da una retta. In che modo possiamo trasferire questo concetto in maniera univoca al caso di due rette? Consideriamo innanzitutto il caso di due rette che si intersecano in un punto P. In questo caso la distanza tra le rette è nulla. Questo significa che nel proseguo non andremo ad approfondire questo caso visto trattandosi di un caso molto semplice.

Quello che andremo ad approfondire qui è il caso della distanza tra due rette parallele. Essa può essere definita come la distanza di un qualsiasi punto di una retta rispetto alla seconda retta. Ricordiamo che la distanza di un punto da una retta è la lunghezza del segmento che congiunge il punto alla sua proiezione sulla retta stessa. Il fatto che possa essere scelto qualsiasi punto vuol dire che la distanza tra due rette parallele è la stessa per ogni punto della prima retta. Per dimostrarlo, consideriamo due rette r ed s parallele tra loro e tagliate da due trasversali perpendicolari ad esse:

distanza tra due rette parallele

Poiché le rette trasversali sono perpendicolari tutti gli angoli che si vengono a formare sono angoli di 90°. Il quadrilatero ABCD sarà quindi un rettangolo e nel caso in cui AC=CD un quadrato. La lunghezza dei segmenti AC e BD sono le distanze rispettivamente del punto A dalla retta s e del punto B dalla retta s. Esse rappresentano anche le distanze del punto C dalla retta r e del punto D dalla retta r. Adesso tracciamo la trasversale alle rette parallele passante per AD:

distanza tra due rette parallele

Gli angoli DAB e ADC sono angoli alterni interni di due rette parallele (r ed s) tagliate da una trasversale (passante per AD). Si vengono dunque a formare due triangoli rettangoli ADC e ABD. Poiché questi due triangoli rettangoli, oltre all’angolo retto hanno anche un secondo angolo uguale e l’ipotenusa in comune, si può facilmente dimostrare che sono due triangoli uguali. Ne risulta dunque che AC=BD e che quindi la distanza tra due rette è la stessa qualsiasi punto di una retta venga scelto rispetto la seconda,

Formula per il calcolo della distanza tra due rette

Vediamo adesso in questo paragrafo in che modo è possibile calcolare la distanza tra due rette. Consideriamo due rette con equazione in forma esplicita:

r: y=mx+q1

s: y=mx+q2

Queste due rette, caratterizzate da avere lo stesso coefficiente angolare m, incontrano l’asse delle y rispettivamente nei punti A(0,q1) e B(0,q2). Calcoliamo la distanza delle due rette considerando la distanza del punto A appartenente alla retta r dalla sua proiezione H sulla retta s. Applichiamo la formula generica della distanza di un punto da una retta in forma esplicita:

formula distanza tra due rette in forma esplicita

Otteniamo quindi la formula generica con le equazioni delle rette espresse in forma esplicita:

formula distanza tra due rette in forma esplicita

Si può dedurre anche una formula per il caso in cui le equazioni delle rette siano riportate in forma implicita:

r: ax+by+c1=0

s: ax+by+c2=0

come si evince dalle equazioni sopra riportate, le equazioni delle due rette parallele riportate in forma implicita devono essere tali da avere a e b in comune! Questa condizione è necessaria per applicare la formula che andremo a proporre. Poiché q=-c/a e m=-b/a dalla formula precedente otteniamo:

formula distanza tra due rette in forma implicita

Quindi nel caso in cui le rette siano riportate in forma implicita, la formula è:

Dimostrazione geometrica

Consideriamo nuovamente le due rette espresse in forma esplicita e identifichiamo con A e B i due punti di intersezione delle rette con l’asse delle y. Chiameremo AH la distanza tra le due rette identificata come la distanza del punto A appartenente alla retta r e con coordinate (0,q1) e la sua proiezinoe H sulla retta s. Inoltre, possiamo affermare che la distanza dei due punti A e B è pari a:

dove B è il punto di intersezione della retta s con l’asse delle y (B(0,q2). Si viene dunque a formare un triangolo ABH:

 distanza tra due rette dimostrazione geometrica

Si può facilmente dimostrare che l’angolo BAH è uguale all’angolo che le rette formano con l’asse delle x (pensate che AB è perpendicolare all’asse delle x e AH è perpendicolare alla retta s). Chiameremo questo angolo α. Possiamo quindi dire dai teoremi dei triangoli rettangoli che:

Poiché:

poiché AH è una lunghezza, non consideriamo il valore negativo ottenuto dall’estrazione della radice. Si ottiene dunque che:

Esempi

Vediamo in questo paragrafo alcuni esempi di calcolo di distanza tra due rette

Esempio 1

Calcolare la distanza tra le due rette y=3x+2 e 3x+y+4=0

Le due rette sono espresse una in forma esplicita ed una in forma implicita. Risulta conveniente portarle nella stessa forma per verificare se si tratta di rette parallele oppure no. Si sceglie la forma esplicita. Quindi la seconda equazione diviene:

y=-3x+4

Le due rette hanno un coefficiente angolare diverso e quindi le due rette non sono parallele. La loro distanza è nulla in quanto si intersecano

Esempio 2

Calcolare la distanza tra le due rette y=2x+3 e y=2x-6

Le due rette sono rette parallele in quanto hanno lo stesso coefficiente angolare. Esse sono anche espresse nella stessa formula. Procediamo con il calcolo della distanza utilizzando la formula per il calcolo della distanza:

Esempio 3

Calcolare la distanza tra le due rette 2x+y-4=0 e 6x+3y-2=0

Le due rette sono entrambe in forma implicita ma hanno coefficienti a e b diversi tra di loro. Verifichiamo se è possibile renderli uguali. Dividiamo tutti i coefficienti della seconda equazione per 3. Otteniamo:

2x+y-2/3=0

Adesso le due rette hanno stessi coefficienti a e b. Applichiamo la formula:

Ricorda,

se non ricordi nessuna delle formule per la risoluzione della distanza tra due rette parallele, dopo aver controllato la condizione di parallelismo, puoi calcolare la distanza considerando qualsiasi punto della prima retta (preferibile uno dei punti di intersezione della retta con gli assi) rispetto alla seconda. Per farlo dovrai usare la generica formula di distanza di un punto da una retta.

Distanza tra due rette
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