In questo appunto vedremo la definizione di distanza di un punto da una retta ed in che modo calcolarla. In particolare vedremo:
- Definizione della distanza di un punto da una retta
- Formula per calcolare la distanza di un punto da una retta:
- Come passare dalla forma esplicita alla forma implicita
- Quando non è necessario utilizzare la formula
- Esempi
Definizione della distanza di un punto da una retta
Prima di mostrare la formula da utilizzare quando si vuole calcolare la distanza di un punto da una retta, cerchiamo di capire cosa intendiamo con distanza in questo particolare caso. Se la distanza tra due punti è definita in maniera univoca come la lunghezza del segmento che congiunge i due punti, nel caso della distanza da una retta non esiste tale univocità. Infatti, la retta è caratterizzata da infiniti punti e potremmo definire distanza ogni segmento che congiunge un punto della retta con il punto al di fuori di essa:
Ed allora cosa intendiamo per distanza? Per distanza di un punto da una retta intendiamo la minima distanza del punto dalla retta. Tale distanza coincide quindi con la distanza del punto con la sua proiezione sulla retta. Nella figura sopra, essa è il segmento colorato di rosso. Questa definizione, rende il concetto di distanza di un punto da una retta univoco. La proprietà più importante di tale distanza è che il segmento che la rappresenta è perpendicolare alla retta r. Questa proprietà è molto importante per lo svolgimento di esercizi della distanza di un punto da una retta.
Formula per calcolare la distanza di un punto da una retta
Vediamo in questo paragrafo in che modo è possibile ricavare la dimostrazione della formula della distanza di un punto da una retta. Nel seguito di questo paragrafo proporremo due dimostrazioni. Entrambe arriveranno alla stessa conclusione. La prima dimostrazione utilizza i teoremi dei triangoli rettangoli ed è più intuitiva, mentre la seconda utilizza il concetto di rette perpendicolari e richiede diversi passaggi algebrici. Entrambe le dimostrazioni sono state eseguite con la retta espressa in forma esplicita e quindi la formula finale conterrà il coefficiente angolare e l’intercetta della retta. Questo non è un problema, poiché nel paragrafo successivo vedremo in che modo è possibile ricavare la formula con la retta espressa in forma implicita. Prima di partire con le dimostrazioni, proponiamo quello che sarà il risultato finale. La distanza di un punto da una retta, si calcola con la seguente formula se la retta è espressa in forma esplicita:
con la retta espressa in forma implicita, essa diventa:
Proseguiamo adesso con le due dimostrazioni che vogliamo proporre
Dimostrazione 1 della formula per il calcolo della distanza di un punto da una retta
Partendo dal disegno del punto P con coordinate (xP,yP) e della sua proiezione perpendicolare rispetto alla retta, tracciamo le parallele agli assi cartesiani che incontreranno la retta nei punti B e C. Esprimiamo l’equazione della retta con la forma esplicita y=mx + q. Adesso, il triangolo BPC ottenuto è un triangolo rettangolo in P (essendo i segmenti paralleli agli assi, saranno perpendicolari tra loro). Il punto B avrà coordinate (xB yP) mentre il punto C avrà coordinate (xP, yC). Come si può notare dalle coordinate, B e P avranno la stessa ordinata in quanto il segmento che li congiunge è parallelo all’asse delle x. P e C avranno invece stessa ascissa in quanto il segmento che li congiunge è parallelo all’asse delle y.
Adesso, facciamo alcune considerazioni geometriche. Il triangolo BPC è un triangolo rettangolo in quanto i segmenti PB e PC, paralleli agli assi, sono perpendicolari tra loro. L’angolo α in B è uguale all’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse in quanto angoli corrispondenti (vedi rette parallele tagliate da una trasversale. I due triangoli CPH e e CPB sono due triangoli rettangoli simili in quanto entrambi hanno un angolo retto e i due angoli non retti uguali. Possiamo quindi, da queste considerazioni ricavare PH che altro non è che la distanza del punto p dalla retta.
dove PC, secondo le formule di distanza tra due punti allineati è pari a:
dove yC è stato sostituito con il valore mxP + q essendo un punto della retta di equazione y=mx+q ed avendo ascissa pari a xP. Adesso è necessario esprimere il cosα. Poiché α corrisponde all’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse, possiamo dire che il coefficiente angolare altro non è che la tangente dell’angolo α:
esprimiamo adesso il sinα in funzione del cosα sapendo che la somma quadratica di sinα e cosα = 1
adesso esprimiamo cosα in funzione di m. Ricordiamo che cosα deve essere diverso da 0 (la funzione cos α è infatti al denominatore ed inoltre non esiste la tangente di un angolo di 90°). Otteniamo:
dove adesso in poi per il cosα si considererà solo il segno positivo in quanto ci servirà per il calcolo della lunghezza di un segmento che di certo non può essere negativa.
Di conseguenza la distanza PH del punto P dalla retta sarà data da:
che è esattamente l’equazione che volevamo dimostrare.
Dimostrazione 2 della formula per il calcolo della distanza di un punto da una retta
La seconda dimostrazione che proponiamo è molto semplice dal punto di vista della logica utilizzata ma richiede diversi passaggi algebrici. La logica è la seguente: tracciamo la retta perpendicolare alla retta data e passante per il punto P. Individuiamo le coordinate del punto di intersezione H delle due rette e con queste calcoliamo la distanza dal punto P. Otterremo quindi la formula PH sopra mostrata. Procediamo con la dimostrazione:
Partiamo con il primo passo. Calcoliamo la retta perpendicolare a y=mx+q e passante per P. Sappiamo che per due rette perpendicolari vale la relazione di anti reciprocità dei coefficienti angolari (m1=-1/m). Applicando la formula dell’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto abbiamo:
Adesso calcoliamo le coordinate del punto di intersezione delle due rette ponendo le equazioni che descrivono le stesse a sistema:
sostituiamo il valore della y della prima equazione nella seconda per trovare il valore dell’ascissa x del punto H:
per trovare il valore dell’ordinata y del punto H, sostituiamo questo valore di ascissa ad una delle due equazioni del sistema. scegliamo la prima:
Le coordinate del punto H saranno allora:
calcoliamo la distanza tra i punti P e H:
continuiamo con un po’ di passaggi algebrici:
raccogliamo la parentesi che è in comune ai due addendi. otteniamo:
ottenendo quindi nell’ultima equazione la formula che volevamo dimostrare!!
Come passare dalla forma esplicita alla forma implicita
Abbiamo finora visto la formula della distanza di un punto da una retta quando l’equazione della retta è espressa in forma esplicita. Ma come fare quando l’equazione della retta è espressa in forma implicita? Abbiamo due opzioni: o memorizziamo la formula vista nei paragrafi precedenti e trasformiamo l’equazione della retta da implicita a esplicita, oppure memorizziamo la formula con la retta espressa in forma implicita. Tale formula è:
è possibile facilmente passare da una forma all’altre considerando che m=-a/b e q=-c/b.
moltiplicando numeratore e denominatore per b:
proprio come volevamo dimostrare
Quando non è necessario utilizzare la formula
Ci sono dei casi in cui non è necessario utilizzare la formula ed in cui è possibile ricavare la distanza del punto dalla retta per logica. Parliamo dei casi in cui la retta è parallela all’asse delle x o all’asse delle y. Consideriamo ad esempio una retta parallela all’asse delle x con equazione y=q. In questo caso, se il punto P avrà coordinate (xP,yP),la sua proiezione sulla retta H avrà coordinate (xP,q). I due punti P e H risultano allineati e la distanza punto retta sarà data dalla differenza delle ordinate:
Nel caso in cui abbiamo invece a che fare con una retta parallela all’asse delle y con equazione x=k, il punto H avrà coordinate (k,yP).I due punti P e H saranno ancora allineati e quindi la distanza sarà data da:
Esempi
Vediamo in questo paragrafo due esempi di calcolo della distanza di un punto da una retta.
Esempio 1
Calcolare la distanza del punto P(3,2) dalla retta y=3x+2
Applichiamo la formula con l’equazione della retta in forma esplicita:
Esempio 2
Calcolare la distanza del punto P(3,2) dalla retta 2x-y-4=0
Applichiamo la formula con l’equazione della retta in forma implicita:
La distanza del punto dalla retta è 0. Ciò vuol dire che il punto appartiene alla retta e che P e H sono coincidenti.
