Disegnare una retta su un piano cartesiano

In questo appunto vediamo come disegnare una retta su un piano cartesiano a partire dalla sua equazione. Vedremo anche quali passaggi eseguire per disegnare una retta in Microsoft Excel o con Openoffice Calc:

• Disegnare una retta a partire dalla sua equazione
• Rette particolari (parallele e senza intercetta)
• Come utilizzare Microsoft Office Excel per disegnare una retta 
• Disegnare una retta con Openoffice Calc

Disegnare una retta a partire dalla sua equazione

Partiamo da due concetti fondamentali ereditati dalla geometria euclidea:

• Per un punto passano infinite rette
• Per due punti passa una ed una sola retta

Quindi, per poter disegnare una retta in un piano cartesiano occorre quindi avere a disposizione almeno due dei suoi punti. Ma data l’equazione di una retta, come è possibile ricavare due punti ad essa appartenenti?

Esempio

Consideriamo la retta di equazione esplicita y=3x+2 e vediamo in che modo è possibile ricavare un punto appartenente alla retta stessa. Scegliamo un qualsiasi valore dell’asse delle x (ad esempio x=3) e sostituiamo tale valore nell’equazione per ricavare il corrispondente valore dell’ordinata y.

Avremo:

y=3*3+2 = 11

Il punto A di coordinate x=3 e y=11 e quindi A(3,11) appartiene quindi alla retta di equazione y=3x+2. A questo punto è necessario calcolare un secondo punto e tracciare la retta.

x=0; y=0 e x=1

In realtà, non sempre è semplice eseguire il calcolo sopra proposto. Pensiamo, ad esempio, ad equazioni di rette con coefficienti costituiti da frazioni. Pur trattandosi di operazioni algebriche molto semplici, c’è sempre la possibilità di sbagliare. Esistono però un valore di x ed un valore di y che semplificano molto i calcoli. Stiamo parlando dei punti della retta per i quali x=0 e y=0, ovvero i punti in cui la retta interseca rispettivamente l’asse delle ordinate e l’asse delle ascisse.

Consideriamo quindi ancora la retta y=3x+2 ed eseguiamo il calcolo mostrato precedentemente questa volta per x=0.

y=3*0+2 = 2

Il punto B(0,2) è un punto della retta y=3x+2 ed è il punto in cui la retta interseca l’asse delle ordinate. La sua ordinata coincide con l’intercetta q dell’equazione della retta quando riportata in forma esplicita. Possiamo quindi estrapolare una regola generale. Quando l’equazione della retta è rappresentata in forma esplicita per y, allora questa passa per il punto (0,q) dove q è l’intercetta della retta. Sapendo questa regola generale, non è necessario quindi eseguire il calcolo imponendo x=0. Determinare il punto (0,q) direttamente dall’equazione della retta più che dal calcolo mostra una migliore padronanza dell’argomento. Per calcolare il punto per il quale la retta incontra l’asse delle ascisse sostituiamo all’equazione il valore y=0:

0= 3x+2

3x=-2

x=-2/3

Il punto C(-2/3, 0) è il punto di intersezione della retta di equazione y=3x+2 con l’asse delle ascisse. In questo caso non esiste una regola generale. Per calcolare tale punto è stato necessario fare alcuni passaggi algebrici. In alternativa, un altro punto semplice da calcolare quando l’equazione della retta è scritta in forma esplicita; è quello con ascissa x=1:

y=3*1+2=5

Il punto D(1,5) è un altro punto appartenente alla retta y=3x+2

Per ricapitolare:

Per disegnare una retta nel piano cartesiano è necessario conoscere due dei suoi punti. E’ possibile conoscere un punto della retta sostituendo all’equazione della retta il valore di una coordinata (ascissa o ordinata) e calcolando di conseguenza il valore della seconda coordinata. Il metodo più semplice è quello di eseguire il calcolo dei punti che intersecano gli assi cartesiani:

1. punto in cui la retta interseca l’asse delle ordinate y caratterizzato dall’ascissa x=0. Questo punto è determinabile direttamente dall’equazione della retta in forma esplicita. Punto (0,q). Se l’equazione della retta è in forma implicita, procedere sostituendo alla x il valore x=0 e procedere con il calcolo di y
2. punto in cui la retta interseca l’asse delle ascisse x caratterizzato dall’ordinata y=0. Anche in questo caso, procedere sostituendo alla variabile y il valore 0 e procedere con il calcolo di x
   • Quando l’equazione della retta è riportata in forma esplicita può risultare più semplice calcolare il secondo punto non con y=0 ma con il valore x=1.

Per completezza riportiamo l’esempio del calcolo di due punti di una retta la cui equazione è espressa in forma implicita: 3x-6y+4=0. Eseguiamo la procedura di sopra calcolando i punti di intersezione con gli assi:

• Intersezione con asse ordinate imponendo x=0. Si ottiene 3*0-6y+4=0 –> -6y+4=0 –> -6y=-4 –> y=2/3. Il punto (0,2/3) appartiene alla retta 3x-6y+4=0
• Intersezione con asse delle ascisse imponendo y=0. Si ottiene 3x-6*0+4=0 –> 3x+4=0 –> 3x=-4 –> x=-4/3. Il punto (-4/3,0) appartiene alla retta 3x-6y+4=0

Una volta ottenuti i due punti appartenenti alla rette, per disegnare una retta basta disegnare i due punti sul piano cartesiano e disegnare la retta che li congiunge:

Rette particolari

Vediamo in questo paragrafo alcuni casi di rette particolari per i quali risulta più semplice disegnare la retta a partire dall’equazione

Rette con intercetta nulla y=mx

Parliamo del caso dell’equazione generica della retta y=mx. L’equazione della retta ci dice che uno dei punti è l’origine O(0,0). Ricaveremmo questo punto eseguendo il calcolo sia per x=0 che per y=0. Anche in questo caso invitiamo a non eseguire alcun calcolo ma di estrapolare questa informazione direttamente dall’equazione della retta in forma esplicita. Tutte le seguenti rette:

y=3x; y=2x; y=-3/8x: y= -1000000x

passano per l’origine degli assi O(0,0)! Il secondo punto della retta bisogna calcolarlo imponendo un valore alla x. Non possiamo più utilizzare il valore x=0 in quanto il punto corrispondente coincide con l’origine. Il più semplice è x=1 ed allora y sarà uguale al coefficiente angolare m.

Per cui, in generale: data una retta di equazione y=mx, questa passerà certamente dai punti (0,0) e (1,m).

Quindi, la retta y=2x ad esempio passerà da (0,0) e (1,2). Le rette y=x (bisettrice primo e terzo quadrante) e y=-x, bisettrice secondo e quarto quadrante, fanno parte della famiglia di rette y=mx.  

Rette parallele all’asse delle x con equazione y=q

Questo è il caso delle rette senza coefficiente angolare del tipo y=q. Anche qui, nessun calcolo è necessario. Questa retta passerà per tutti i punti con ordinata q

Rette parallele all’asse delle y con equazione x=k

Parliamo delle rette di equazione x=k. Anche in questo caso non è necessario alcun calcolo. Tali rette passano per tutti i punti con ascissa k.

Come disegnare una retta con Microsoft Excel

Vediamo adesso come disegnare una retta con equazione esplicita y=mx+q con Microsoft Excel. Importante, con questo metodo non è possibile disegnare rette del tipo x=k (parallele all’asse delle ordinate). Ecco qui le istruzioni passo passo:

• Determinare due punti appartenenti alla retta con i metodi visti sopra e riportarli in una tabella del tipo:

la tabella può anche essere costruita nel seguente modo. Imporre due valori all’asse delle x e calcolare il valore della y con l’equazione della retta in forma esplicita:

• Selezionare i 4 valori e poi dal menu principale di Microsoft Excel selezionare Inserisci -> Grafico con dispersione son linee:

• Tasto destro sul grafico ottenuto e selezionare: aggiungi linea di tendenza e poi selezionare “lineare”

• Selezionare “Visualizza l’equazione del grafico” ed impostare dei periodi di previsione futura e di verifica.

• 5Aggiustare la scala degli assi. Clicca su ciascun asse e deseleziona per il valore massimo ed il valore minimo di ciascun asse l’opzione automatico. Imposta dei valori simmetrici per ciascun asse del tipo 15 per i valori massimi e -15 per i valori minimi. Aggiusta infine la dimensione del grafico in modo da ottenere la stessa scala per le ordinate e per le ascisse.

Disegnare una retta con Openoffice Calc

Vediamo in che modo disegnare una retta con Openoffice Calc. Ricordiamo che Openoffice è un sw gratuito scaricabile dal sito https://www.openoffice.org/. La prima operazione da eseguire è la medesima di Microsoft Excel . Partiamo quindi dal punto 2 in poi

• Inserisci → Grafico → Tipo di Grafico → (XY) Diseprsione → Punti e linee → Fine:

Si otterrà:

• Adesso click con tasto destro sulla retta e selezionare Inserisci linea andamento:

• Selezionare Tipo lineare e cliccare su Visualizza equazione.

 

• Regolare gli assi. A questo punto eseguire doppio click sui numeri su ciascun asse e quindi scegliere un valore massimo ed un valore minimo (in questo caso abbiamo scelto da -10 a 10). Poi regolare la grandezza dei numeri in modo da avere la stessa scala tra asse x e asse y: