Dedichiamo questo appunto alla direttrice di una parabola. In particolare vedremo in cosa consiste e come è possibile calcolarne la sua equazione. Vedremo dunque:
- Cosa è la direttrice di una parabola
- Formule per ricavare l’equazione della direttrice dall’equazione della parabola
- Formule per il calcolo con le coordinate di fuoco e vertice
- Esempi
Cosa è la direttrice di una parabola
La direttrice è una retta esterna alla parabola tale che ogni punto appartenente alla parabola è distante da essa tanto quanto esso è distante dal fuoco della parabola. Dire che essa è una retta esterna alla parabola significa dire che non esiste alcun punto di intersezione con la parabola. La sua posizione, come quella del fuoco, determina dunque i coefficienti dell’equazione della parabola. Ad esempio, più fuoco e direttrice sono vicini tra di loro e più è grande il coefficiente a della parabola:
Nel grafico sopra riportato abbiamo l’esempio di 4 parabole espresse in forma canonica. Dalla figura si evince come la posizione relativa di direttrice e fuoco determina l’ampiezza della parabola. Più il fuoco e la direttrici sono vicini tra loro e di conseguenza al vertice della parabola, più questa si chiude aumentando il valore del coefficiente a.
Formule per ricavare l’equazione della direttrice dall’equazione della parabola
Vediamo adesso quali sono le formule che consentono di calcolare l’equazione della direttrice a partire dai coefficienti dell’equazione della parabola sia nel caso di parabole verticali che nel caso di parabole orizzontali.
Se abbiamo a che fare con una parabola con asse verticale, l’equazione è:
Nel caso in cui si ha a che fare con una parabola con asse di simmetria orizzontale, l’equazione è del tipo:
dove ricordiamo che in entrambi i casi:
Le due formule si differiscono solo per la variabile x o y al primo membro dell’equazione. Il termine al secondo membro invece è totalmente identico.
Formule per il calcolo con le coordinate di fuoco e vertice
E’ possibile ricavare l’equazione della direttrice di una parabola anche nel caso in cui non è conosciuta l’equazione della parabola ed il valore dei suoi coefficienti. Questo è il caso in cui le coordinate del vertice e del fuoco della parabola sono note. Si può facilmente dimostrare che:
Esempi
Vediamo adesso alcuni semplici esercizi in cui ne è richiesto il calcolo dell’equazione della direttrice di una parabola avendo come informazioni note o l’equazione della parabola o le coordinate del vertice e del fuoco.
Esempio 1
Calcolare l’equazione della direttrice della seguente parabola y=2x2+5x+1
Abbiamo a che fare con una parabola con asse di simmetria verticale. La formula da utilizzare per la risoluzione dell’esercizio è la seguente:
y= 9/2 è l’equazione voluta.
Esempio 2
Calcolare l’equazione della direttrice della seguente parabola x=-y2+3y+2
In questo caso la parabola ha asse di simmetria orizzontale. L’equazione desiderata sarà:
Esempio 3
Calcolare la direttrice della parabola avente come vertice V(2,4) e fuoco F(2,3)
In questo caso, poiché fuoco e vertice hanno la stessa ascissa, abbiamo a che fare con una parabola con asse di simmetria verticale di equazione x=2. Il termine noto dell’equazione della direttrice si ottiene utilizzando le ordinate del fuoco e del vertice ed utilizzando la relazione:
Otteniamo che y= 8-3 =5. Poiché la direttrice è in una posizione superiore rispetto al vertice, l’equazione della parabola avrà un coefficiente a negativo e la parabola sarà rivolta verso il basso
