In questo breve appunto vediamo in cosa consiste l’operazione vettoriale di differenza tra due vettori. Prima di procedere, per capire meglio i contenuti che qui saranno esposti, è consigliabile conoscere la definizione di vettore e delle sue proprietà e la definizione di somma vettoriale. In questo appunto vedremo:

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Differenza tra due vettori

La differenza tra due vettori è un’operazione vettoriale che a due vettori associa un terzo vettore detto vettore differenza. L’operazione di differenza tra due vettori è espressa attraverso la notazione:

\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}

si noti che, tale operazione coincide con la somma vettoriale tra il primo vettore ed il negativo del secondo vettore. Possiamo infatti scrivere l’operazione di differenza tra due vettori nel seguente modo:

\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} =  \overrightarrow{u} +(- \overrightarrow{v})

Data dunque quest’ultima notazione, la differenza tra due vettori, gode delle stesse proprietà della somma vettoriale. Si noti che il vettore differenza può anche essere considerato come il vettore che occorre aggiungere al secondo vettore per ottenere il primo. Ovvero:

 \overrightarrow{u} =  \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v}

Nei prossimi paragrafi vediamo come esprimere graficamente tale operazione mediante la regola del parallelogramma ed il metodo punta coda.

Metodo del parallelogramma

Quando abbiamo parlato di somma vettoriale abbiamo visto che è possibile rappresentare graficamente il vettore risultante come diagonale del parallelogramma che si genera tracciando le rette parallele ai vettori e passanti per le punte degli stessi:

metodo del parallelogramma: somma vettoriale

Il vettore risultante coincide con la diagonale avente come coda le code dei due vettori e come punta l’intersezione delle due rette parallele ai vettori. E’ possibile rappresentare la differenza tra due vettori con lo stesso metodo? La risposta è si.

Consideriamo la seguente differenza:

\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}

e rappresentiamola graficamente come somma:

\overrightarrow{w} =  \overrightarrow{u} +(- \overrightarrow{v})

il che significa sommare a u l’opposto di v:

metodo del parallelogramma: differenza tra due vettori

Si noti che rispetto ai due vettori originali u e v, il vettore differenza w rappresenta la seconda diagonale del parallelogramma, diversa rispetto alla diagonale che rappresenta la somma vettoriale:

Differenza tra due vettori: metodo del parallelogramma

Si noti che il vettore differenza è il vettore avente come coda la punta del vettore v e come punta la punta del vettore u.

Dunque dati due vettori u e v:

Metodo del parallelogramma: somma e differenza tra due vettori

è possibile mediante il metodo del parallelogramma rappresentare sia la somma (vettore rosso) che la differenza (vettore blu).

Metodo punta coda

E’ possibile esprimere tale operazione anche con il metodo punta coda. Si ricordi che il metodo punta coda è utilizzato nella somma vettoriale e consiste nel mettere in successione i due vettori oggetto della somma in maniera tale che la coda del secondo vettore coincida con la punta del primo. Il vettore somma sarà il vettore avente come coda la coda del primo vettore e come punta la punta del secondo vettore:

Metodo punta coda: somma vettoriale

é possibile applicare lo stesso metodo nel caso della differenza tra due vettori se questa viene intesa come somma del primo vettore con l’opposto del secondo. Dunque, dati due vettori u e v, la loro differenza mediante il metodo punta coda è così rappresentata:

metodo punta coda: differenza tra due vettori
Modulo della differenza tra due vettori

In questo paragrafo ci soffermiamo su come calcolare il modulo del vettore risultante un’operazione di differenza vettoriale. Consideriamo due vettori all’interno di un sistema cartesiano bidimensionale. Tali vettori avranno una componente lungo l’asse delle x ed una componente lungo l’asse delle y:

\overrightarrow{u} (u_{x},u_{y} ) \\\\\,\\\\ \overrightarrow{v} (v_{x},v_{y} )

Il modulo di ciascun vettore è in relazione con le proprie componenti mediante una relazione di somma quadratica:

|\overrightarrow{u}| = \sqrt{u_{x}^{2}+u_{y}^{2}} \\\,\\|\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}

dove:

u_{x} = |\overrightarrow{u_{x}}|, \,\,\,\, u_{y} = |\overrightarrow{u_{y}}| \\\,\\ v_{x} = |\overrightarrow{v_{x}}|, \,\,\,\,v_{y} = |\overrightarrow{v_{y}}|

Adesso consideriamo il vettore risultante w:

\overrightarrow{w} =\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}

la norma o modulo di tale vettore sarà data da:

|\overrightarrow{w}| = \sqrt{(u_{x}-v_{x})^{2}+(u_{y}-v_{y})^{2}}

La formula della norma si estende anche al caso di differenze in spazi vettoriali a più di due dimensioni. In particolare dati due vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale di n dimensioni ed aventi coordinate:

\overrightarrow{u} (u_{x},u_{y},....u_{n} ) \\\\\,\\\\ \overrightarrow{v} (v_{x},v_{y} ,....v_{n} )

possiamo scrivere la norma del vettore differenza come:

|\overrightarrow{w}| = \sqrt{(u_{x}-v_{x})^{2}+(u_{y}-v_{y})^{2}+....(u_{n}-v_{n})^{2}}

Il modulo del vettore differenza può essere calcolato anche con il teorema di Carnot se è noto l’angolo compreso tra i due vettori. Troverai il metodo di Carnot spiegato in un altro appunto dedicato ai vettori. Vediamo nel seguito alcuni esempi di esercizi

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Siano dati rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano i seguenti vettori:

\overrightarrow{u} (3,4 ) \\\\\,\\\\ \overrightarrow{v} (2,2)

calcolare la norma del vettore differenza.

Per calcolare la norma del vettore differenza:

\overrightarrow{w} =\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}

utilizziamo la formula:

|\overrightarrow{w}| = \sqrt{(3-2)^{2}+(4-2)^{2}} =\sqrt{1+4} =\sqrt{5} 

Esercizio 2

Siano dati i due vettori:

\overrightarrow{u} (1,-1 ,0,4) \\\,\\ \overrightarrow{v} (3,-3,0,10)

calcolare la norma del vettore differenza

Per risolvere l’esercizio applichiamo la formula:

|\overrightarrow{w}| = \sqrt{(u_{x}-v_{x})^{2}+(u_{y}-v_{y})^{2}+....(u_{n}-v_{n})^{2}}

che significa scrivere:

|\overrightarrow{w}| = \sqrt{(1-3)^{2}+(-1+3)^{2}+(0-0)^{2}+(4-10)^{2}} =\sqrt{4+4+0+36} =\sqrt{44} =2\sqrt{11}

 

Differenza tra due vettori
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