In questo appunto vediamo come determinare l’equazione di un’iperbole quando sono note le coordinate dei vertici. Per comprendere bene il contenuto di questo appunto è necessario conoscere la definizione di iperbole come luogo geometrico dei punti e l’equazione di un’iperbole nelle sue varie forme: canonicatraslataequilatera, etc… In questo appunto vedremo:

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Condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole

Il numero di condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole dipende dal tipo di iperbole. A seconda delle sue caratteristiche possiamo infatti avere equazioni dipendenti da un numero diverso di coefficienti. Ricordiamo le varie tipologie di equazione nella seguente tabella:

equazione di un'iperbole noti i fuochi: tabella delle possibili forme di un'iperbole

Conoscere le caratteristiche dell’iperbole che andremo a determinare è fondamentale per impostare correttamente un esercizio. Ad esempio:

  • Conoscere l’allineamento dei fuochi, orizzontale o verticale, è fondamentale per impostare correttamente i segni nell’equazione di partenza
  • Per l’iperbole di tipo canonico, occorrerà determinare solo i coefficienti a e b. Dunque saranno necessarie due condizioni
  • Se l’iperbole è traslata la sua equazione generica presenta 4 coefficienti: a,b, p e q. Dove p e q sono le coordinate del centro. Occorreranno dunque 4 condizioni per determinare univocamente l’equazione dell’iperbole
  • Quando abbiamo a che fare con un’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e con centro nell’origine degli assi ci sarà un solo coefficiente da determinare, il coefficiente k. Dunque basta una sola condizione per determinare l’iperbole
  • Con un’iperbole equilatera traslata i coefficienti possono essere 3 oppure 4 a seconda che questa sia espressa nella forma (x-p)(y-q)=k o in forma di funzione omografica.
Esempi di condizioni

Dunque il numero di condizioni necessarie dipende dal tipo di equazione. Ma quali sono le informazioni che possono aiutarci a definire le condizioni?:

  • Le coordinate del centro dell’iperbole forniscono due condizioni al problema. Queste forniscono infatti i valori di p e q
  • conoscere le coordinate di un punto dell’iperbole forniscono una condizione al problema
  • Le coordinate dei vertici reali o dei vertici non reali forniscono una sola condizione. Queste consentono di ricavare i coefficienti a o b
  • L’equazione degli asintoti fornisce una sola condizione al problema.
  • L’eccentricità dell’iperbole fornisce una condizione per la risoluzione del problema
  • Le coordinate dei fuochi forniscono una condizione al problema attraverso la relazione: c2 = a2 + b2. Nel caso di un’iperbole traslata, fornisce indirettamente anche i valori di p e q.

Nel prossimo paragrafo vediamo come determinare l’equazione di un’iperbole quando sono note le coordinate dei vertici

Determinare l’equazione di un’iperbole quando sono note le coordinate dei vertici

Conoscere le coordinate dei vertici di un’iperbole fornisce una informazione diretta di uno dei coefficienti a o b dell’equazione di un’iperbole. Dunque la conoscenza delle coordinate dei vertici è un a informazione molto forte che consente per l’appunto di determinare l’equazione dell’iperbole in modo molto veloce. Consideriamo il caso di un’iperbole avente il centro coincidente con l’origine degli assi. A seconda che i fuochi siano allineati orizzontalmente o verticalmente, l’equazione dell’iperbole può essere scritta nelle due forme:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1

dove a rappresenta il semiasse trasverso e b il semiasse non trasverso. Ricordiamo che il semiasse trasverso altro non è che la distanza di uno dei vertici reali con il centro dell’iperbole ed il semiasse trasverso è la distanza di uno dei vertici non reali con il centro dell’iperbole. Se consideriamo il caso di un’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente ed avente il centro nell’origine degli assi, le coordinate dei vertici contengono i valori dei coefficienti a e b:

 

vertici \,\,\, reali \\\,\\ V_{1}(-a,0);\,\,\,V_{2}(a,0) \\\,\\ vertici\,\,\,non\,\,\,reali\\\,\\V_{3}(0,-b);\,\,\,V_{4}(0,b)

In generale possiamo riassumere con la tabella sotto la relazione che sussiste tra le varie tipologie di equazioni di iperbole e le coordinate dei vertici. Si noti come nel caso di iperbole traslata, occorre conoscere le coordinate del centro per estrapolare dalle coordinate dei vertici i valori dei semiassi

Vediamo adesso alcuni esempi su come determinare l’equazione di un’iperbole quando sono note le coordinate dei vertici.

Caso vertici reali

Vediamo in questo paragrafo come determinare l’equazione di un’iperbole quando sono note le coordinate dei vertici reali nel caso semplice di un’iperbole con centro nell’origine degli assi. Per risolvere qualsiasi tipo di esercizio occorre:

  • Riuscire a determinare se l’iperbole ha i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente per impostare correttamente la sua equazione generica. Questa informazione può essere estrapolata direttamente dalle coordinate dei vertici reali. I vertici reali sono infatti allineati allo stesso modo dei fuochi
  • Determinare una seconda condizione per risolvere l’esercizio. La seconda condizione può essere il passaggio dell’iperbole da un punto, la sua eccentricità oppure l’equazione dei suoi asintoti!
  • Impostare un sistema di 2 equazioni che esprimono le condizioni note del problema

Vediamo con qualche esempi di esercizio

Esercizio 1

Determinare l’equazione dell’iperbole avente centro nell’origine degli assi e i cui vertici reali sono A(0,-3) e B(0,3). L’iperbole passa per il punto P(1,4)

L’esercizio ci fornisce tutte le informazioni necessarie per il calcolo dell’equazione dell’iperbole. Innanzitutto i vertici reali hanno l’ascissa in comune, per cui questi sono allineati verticalmente e l’equazione generica è del tipo:

 \frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1

Adesso possiamo impostare il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
a=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ 
 \frac{x_{P}^{2}}{b^{2}}-\frac{y_{P}^{2}}{a^{2}}=-1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \left\{\begin{matrix}
a=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ 
 \frac{(1)^{2}}{b^{2}}-\frac{(4)^{2}}{(3)^{2}}=-1
\end{matrix}\right.

adesso dalla seconda equazione ci calcoliamo il valore di b:

\frac{1}{b^{2}}=-1+\frac{16}{9} = \frac{7}{9 }\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b^{2}= \frac{9}{7}

per cui l’equazione dell’iperbole diventa:

 \frac{7x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=-1
Esercizio 2

Determinare l’equazione dell’iperbole i cui vertici reali hanno coordinate A(-4,0) e B(4,0) e la cui eccentricità è pari a 2

Le coordinate dei vertici ci dicono che i vertici sono allineati orizzontalmente e che il centro coincide con l’origine degli assi. La sua equazione sarà del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 

scriviamo il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
a=4\,\,\,\\\,\\ 
 e=\frac{c}{a} 
\end{matrix}\right. 

sostituiamo il valore di a nella seconda equazione e ricaviamo il valore di c:

e=\frac{c}{a}=2 \Rightarrow c=2*4=8

ma c non fa parte dell’equazione dobbiamo ricavare il valore di b. Lo facciamo attraverso la relazione:

a^{2}+b^{2}=c^{2}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b^{2}=c^{2}-a^{2}=64-16=48

dunque l’equazione dell’iperbole è_

\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{48}=1 
Esercizio 3

Determinare l’equazione dell’iperbole di cui sono noti i vertici reali A(0,-2) e B(0,2) e di cui uno degli asintoti ha equazione y=2x

L’esercizio ci dice che i vertici hanno la stessa ascissa per cui sono allineati verticalmente. Avendo l’ordinata simmetrica rispetto all’origine degli assi, l’origine degli assi è centro dell’iperbole!. Dunque l’iperbole avrà generica equazione del tipo:

 \frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1

Ricordiamo inoltre che l’equazione generica dell’asintoto di un’iperbole, quando i vertici sono allineati verticalmente è del tipo:

 

y=\pm mx= \pm \frac{a}{b}x

per cui il sistema da risolvere è del tipo:

\left\{\begin{matrix}
a=2\,\,\,\\\,\\ 
 m=\frac{a}{b} 
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\left\{\begin{matrix}
a=2\,\,\,\\\,\\ 
 2=\frac{2}{b} 
\end{matrix}\right. 

dalla seconda equazione scaturisce che b=1. Dunque l’equazione dell’iperbole è:

 x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=-1
Esercizio 4

Determinare l’equazione dell’iperbole con centro nell’origine degli assi ed avente un vertice reale di coordinate A(-4,0) ed un fuoco di coordinate F(5,0)

Poiché fuoco e vertice hanno la stessa ordinata, allora i fuochi e i vertici sono allineati orizzontalmente. L’equazione è del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 

Il sistema di equazioni da risolvere è:

\left\{\begin{matrix}
a=4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ 
 a^{2}+b^2=25
\end{matrix}\right. 

sostituendo il valore di a nella seconda equazione abbiamo:

b^{2}=25-16=9

dunque l’iperbole ha equazione:

\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 
Caso vertici non reali

La risoluzione degli esercizi nel caso in cui siano note le coordinate dei vertici non reali è molto simile al caso visto in precedenza. In questo caso i sistemi mostrati nel paragrafo precedente mostreranno il valore del coefficiente b. Si ricordi infine, che l’allineamento dei vertici non reali è perpendicolare all’allineamento dei vertici reali. Questo concetto è fondamentale per selezionare correttamente la fomrula generale dell’iperbole da calcolare!

Iperbole traslata

Quando abbiamo a che fare con il caso di un’iperbole traslata, si aggiunge una complicazione legata al fatto che la traslazione non solo modifica l’equazione dell’ellisse, ma modifica anche le coordinate dei vertici. L’equazione generica di un’iperbole traslata con i fuochi allineati orizzontalmente è del tipo:

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

mentre le coordinate dei vertici reali V1 e V2 e non reali V3 e V4 saranno del tipo:

V_{1}(-a+p,q) \\\,\\ V_{2}(a+p,q)\\\,\\ V_{3}(p,-b+q)\\\,\\V_{4}(p,b+q)

dove p,q rappresentano le coordinate del centro dell’iperbole C(p,q). A questo punto per determinare l’equazione dell’iperbole occorre determinare 4 coefficienti a,b,p,q e non è più possibile determinare in maniera diretta a o b dalle coordinate dei vertici reali o non reali. Come fare? Immaginiamo di conoscere i vertici reali dell’iperbole traslata:

V_{1}(-a+p,q) \\\,\\ V_{2}(a+p,q)

possiamo ricavarci immediatamente p e q dalle coordinate dei vertici:

p= \frac{V_{1x}+V_{2x}}{2} \\\,\\ q=V_{1y}=V_{2y}

noto p, possiamo ricavarci il valore di a:

a= |V_{1x}-p|=|V_{2x}-p|

noti a,p e q possiamo ricavare b con la seconda condizione del problema esattamente come fatto nei paragrafi rpecedenti!

Esempio di esercizio

Determinare l’equazione dell’iperbole avente i vertici reali in V1(-7,5) V2(5,5) ed avente asintoto con coefficiente angolare pari a 2

Facciamo un considerazione circa la posizione dei vertici. Questi sono allineati orizzontalmente (hanno la stessa ordinata), ma non sono situati sull’asse delle x. L’iperbole da considerare è dunque un’iperbole traslata di equazione generica:

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

Dall’ordinata dei vertici possiamo immediatamente calcolare il valore di q:

q=V_{1y}=V_{2y}=5

ed il valore di p:

p= \frac{V_{1x}+V_{2x}}{2}=\frac{-7+5}{2}=-1

noto il valore di p, possiamo calcolare a:

a= |V_{1x}-p|=|-7+1|=6

Possiamo infine calcolare b dal coefficiente angolare dell’asintoto:

m=\frac{b}{a} \,\,\,\Rightarrow 2=\frac{b}{a}\,\,\, \Rightarrow b=2a=2*6=12

possiamo adesso scrivere l’equazione dell’iperbole traslata:

\frac{(x+1)^{2}}{36}-\frac{(y-5)^{2}}{144}=1

si noti che abbiamo risolto l’esercizio passo passo. In realtà avremmo più elegantemente potuto impostare il seguente sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
p=\frac{V_{1x}+V_{2x}}{2} \\ \,\\
q= V_{1y}\\ \,\\ 
a= |V_{1x}-p|\\\,\\ 
m=\frac{b}{a}
\end{matrix}\right.

sostituendo le informazioni note del problema avremmo ottenuto gli stessi risultati.

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti ha equazione generica del tipo:

xy=k

in questo tipo di iperbole i vertici reali sono posizionati sulla bisettrice del primo e terzo quadrante se k>0. Ciò significa che l’ascissa dei vertici è uguale alla loro ordinata:

x_{V1}=y_{V1} \\\,\\x_{V2}=y_{V2}

e sulla bisettrice del secondo e quarto quadrante se k è negativo. Ciò significa che l’ascissa dei vertici è opposta alla loro ordinata:

x_{V1}=-y_{V1} \\\,\\x_{V2}=-y_{V2}

ne consegue che per determinare l’iperbole occorre determinare il valore di k. Poiché il vertice è un punto dell’iperbole, possiamo sostituire le sue coordinate all’equazione. Nel primo caso avremmo:

x_{V1}y_{V1}=k \,\,\, \Rightarrow  k=x_{V1}^{2}

nel secondo caso avremo:

x_{V1}y_{V1}=k \,\,\, \Rightarrow  k=-x_{V1}^{2}
Esempio di esercizio

Determinare l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e avente vertice reale in V(3,-3)

Determiniamo il valore di k moltiplicando tra loro le coordinate del vertice:

k= 3*(-3) =-9

dunque l’iperbole ha equazione:

xy=-9
Determinare l’equazione di un’iperbole quando sono note le coordinate dei vertici
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