Determinare l’equazione di un’iperbole passante per due punti

Vediamo in questo appunto come determinare l’equazione di un’iperbole passante per due punti. Per poter comprendere il contenuto di questo appunto è consigliabile conoscere approfonditamente l’equazione di un’iperbole in forma canonica, traslata ed equilatera. In particolare in questo appunto vedremo:

• Condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole
• Determinare l’equazione di un’iperbole passante per due punti
• Esempi di esercizi

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Condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole

Il numero di condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole dipende dal tipo di iperbole. A seconda delle sue caratteristiche possiamo infatti avere equazioni dipendenti da un numero diverso di parametri. Ricordiamo le varie tipologie di equazione nella seguente tabella:

Conoscere le caratteristiche dell’iperbole che andremo a determinare è fondamentale per impostare correttamente un esercizio. Ad esempio:

• Conoscere l’allineamento dei fuochi, orizzontale o verticale, è fondamentale per impostare correttamente i segni nell’equazione di partenza
• Per l’iperbole di tipo canonico, occorrerà determinare solo i coefficienti a e b. Dunque saranno necessarie due condizioni
• Se l’iperbole è traslata la sua equazione generica presenta 4 coefficienti: a,b, p e q. Dove p e q sono le coordinate del centro. Occorreranno dunque 4 condizioni per determinare univocamente l’equazione dell’iperbole
• Quando abbiamo a che fare con un’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e con centro nell’origine degli assi ci sarà un solo coefficiente da determinare, il coefficiente k. Dunque basta una sola condizione per determinare l’iperbole
• Con un’iperbole equilatera traslata i coefficienti possono essere 3 oppure 4 a seconda che questa sia espressa nella forma (x-p)(y-q)=k o in forma di funzione omografica.

Dunque il numero di condizioni necessarie dipende dal tipo di equazione. Ma quali sono le informazioni che possono aiutarci a definire le condizioni?:

• Le coordinate del centro dell’iperbole forniscono due condizioni al problema. Queste forniscono infatti i valori di p e q
• conoscere le coordinate di un punto dell’iperbole forniscono una condizione al problema
• Le coordinate dei vertici reali o dei vertici non reali forniscono una sola condizione. Queste consentono di ricavare i coefficienti a o b
• L’equazione degli asintoti fornisce una sola condizione al problema.
• L’eccentricità dell’iperbole fornisce una condizione per la risoluzione del problema
• Le coordinate dei fuochi forniscono una condizione al problema attraverso la relazione: c² = a² + b². Nel caso di un’iperbole traslata, fornisce indirettamente anche i valori di p e q.

Nel prossimo paragrafo vediamo come determinare l’equazione di un’iperbole passante per due punti

Determinare l’equazione di un’iperbole passante per due punti

Vediamo in questo paragrafo come determinare l’equazione di un’iperbole passante per due punti. Ricordando quanto visto nel paragrafo precedente, le coordinate di ciascun punto forniscono una sola condizione al problema. Dunque conoscere le coordinate di due punti consente di:

• determinare l’equazione di un’iperbole con centro nell’origine degli assi a patto di sapere se l’iperbole ha i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente. Se questa informazione non è nota occorre determinare entrambi i casi
• determinare l’equazione di un’iperbole traslata a patto di conoscere anche altre due condizioni

é però fondamentale che i due punti non siano simmetrici rispetto all’origine degli assi o rispetto ad uno degli assi. In questi casi infatti le condizioni note sono ridondanti e si riducono ad una sola condizione! Un’altra importante informazione da considerare è che per due punti non è detto che passi un’iperbole!

Vediamo adesso i passaggi per determinare l’equazione di un’iperbole passante per due punti che chiameremo A e B. Per prima cosa scrivere l’equazione generica dell’iperbole. Consideriamo il caso di un’equazione canonica di un’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

note le coordinate dei punti A(xA,yA) e B(xB,yB) sostituiamo tali coordinate all’equazione dell’iperbole impostando un sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1\\ \,\\
\frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right.

a questo punto non bisogna fare altro che risolvere il sistema di equazioni per ricavare i valori di a² e b². Attenzione, se si ottiene un valore negativo per a² o per b² allora non esiste l’equazione dell’iperbole passante per quei due punti! Si ricordi inoltre che a e b sono due coefficienti positivi. Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni esempi di esercizi:

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare l’equazione di un’iperbole con centro nell’origine degli assi e con i fuochi allineati orizzontalmente e passante per i due punti A(3,2) e B(-1,4)

Poiché l’iperbole ha i fuochi allineati orizzontalmente dobbiamo considerare la seguente equazione:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 

Sostituiamo all’equazione le coordinate dei punti A e B:

\left\{\begin{matrix}
\frac{(3)^{2}}{a^{2}}-\frac{(2)^{2}}{b^{2}}=1\\ \,\\
\frac{(-1)^{2}}{a^{2}}-\frac{(4)^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\left\{\begin{matrix}
\frac{9}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1\\ \,\\
\frac{1}{a^{2}}-\frac{16}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right.

dalla seconda equazione ricaviamo:

\frac{1}{a^{2}}=1+\frac{16}{b^{2}}

sostituiamo questo valore alla prima equazione:

\frac{9}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow9\frac{1}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 9\left(1+\frac{16}{b^{2}}\right) - \frac{4}{b^{2}}=1

ricaviamo dunque il valore di b²:

9+\frac{144}{b^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{140}{b^{2}}=-8 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b^{2}=-\frac{35}{2}

abbiamo ottenuto un valore negativo di b² ! Ma questo non ha alcune senso algebrico. Dunque possiamo dire che non esiste una iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente e passante per A e B. Determiniamo comunque il valore di a² sostituendo il valore ottenuto per b²:

\frac{1}{a^{2}}=1+\frac{16}{b^{2}} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{1}{a^{2}}=1-2\frac{16}{35}  \\\,\\  \Rightarrow \\\,\\\frac{1}{a^{2}}=\frac{35-32}{35} \\\,\\  \Rightarrow \\\,\\a^{2}=\frac{35}{3} 

sostituiamo i valori ottenuti nell’equazione:

\frac{3x^{2}}{35}+\frac{2y^{2}}{35}=1

abbiamo ottenuto algebricamente l’equazione di un’ellisse! Dunque non esiste un’iperbole passante per i due punti dati.

Esercizio 2

Calcolare l’equazione dell’iperbole con centro nell’origine degli assi e passante per i seguenti punti:

A\left(-5; \frac{8}{3}\right)\,\,\,\,\,B\left(4; \frac{2\sqrt{7}}{3}\right)

Si noti che l’esercizio non precisa se l’iperbole ha i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente. Per cui è necessario considerare entrambi i casi. Dunque consideriamo le seguenti equazioni generali:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1

consideriamo dunque il primo caso e sostituiamo alle variabili dell’equazione le coordinate dei due punti impostando il relativo sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
\frac{(-5)^{2}}{a^{2}}-\frac{(\frac{8}{3})^{2}}{b^{2}}=1\\ \,\\
\frac{(4)^{2}}{a^{2}}-\frac{(\frac{2\sqrt{7}}{3})^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right.  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\left\{\begin{matrix}
\frac{25}{a^{2}}-\frac{64}{9b^{2}}=1\\ \,\\
\frac{16}{a^{2}}-\frac{28}{9b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

dalla seconda equazione possiamo ricavare:

\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{16}+\frac{7}{36b^{2}}

sostituiamo questo valore alla prima equazione:

25\left(\frac{1}{16}+\frac{7}{36b^{2}}\right)-\frac{64}{9b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{25}{16}+\frac{175}{36b^{2}}-\frac{64}{9b^{2}}=1\Rightarrow \\\,\\\frac{175-256}{36b^{2}}=1-\frac{25}{16}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ -\frac{81}{36b^{2}}=-\frac{9}{16} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{4}

dunque abbiamo ottenuto il valore del primo coefficiente. Sostituiamolo alla seconda equazione:

\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{16}+\frac{7}{36b^{2}} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{16}+\frac{7}{36*4}  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{1}{a^{2}}=\frac{16}{144} =\frac{1}{9}

dunque l’equazione dell’iperbole nel caso di fuochi allineati orizzontalmente è:

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1

Vediamo adesso il secondo caso di iperbole con i fuochi allineati verticalmente:

\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1

sostituiamo le coordinate dei punti e impostiamo il sistema:

\left\{\begin{matrix}
\frac{(-5)^{2}}{b^{2}}-\frac{(\frac{8}{3})^{2}}{a^{2}}=-1\\ \,\\
\frac{(4)^{2}}{b^{2}}-\frac{(\frac{2\sqrt{7}}{3})^{2}}{a^{2}}=-1
\end{matrix}\right.  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\left\{\begin{matrix}
\frac{25}{b^{2}}-\frac{64}{9a^{2}}=-1\\ \,\\
\frac{16}{b^{2}}-\frac{28}{9a^{2}}=-1
\end{matrix}\right. 

dunque dalla seconda equazione otteniamo:

\frac{1}{b^{2}}=-\frac{1}{16}+\frac{7}{36a^{2}}

la sostituiamo alla prima equazione:

25\left(-\frac{1}{16}+\frac{7}{36a^{2}}\right)-\frac{64}{9a^{2}}=-1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ -\frac{25}{16}+\frac{175}{36a^{2}}-\frac{64}{9a^{2}}=-1  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{175}{36a^{2}}-\frac{64}{9a^{2}}=-1+\frac{25}{16}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ -\frac{81}{36a^{2}}=\frac{9}{16} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{a^{2}}=-\frac{1}{4}

abbiamo ottenuto un valore negativo per un quadrato. Algebricamente il sistema non ha soluzioni. Continuiamo però la risoluzione sostituendo tela valore alla seconda equazione:

\frac{1}{b^{2}}=-\frac{1}{16}+\frac{7}{36a^{2}} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{b^{2}}=-\frac{1}{16}+\frac{7}{36(-4)}  \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{b^{2}}=-\frac{9+7}{144}=-\frac{1}{9} 

sostituiamo tali valori all’equazione, pur se algebricamente non accettabili:

\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{x^{2}}{-9}-\frac{y^{2}}{-4}=-1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ -\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=-1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1 

che rappresenta l’equazione dell’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente ottenuta in precedenza!

Esercizio 3

Calcolare l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e avente centro nell’origine e passante per il punto A(3;-4)

L’equazione dell’iperbole generica è del tipo:

xy=k

abbiamo un solo parametro, k, da determinare. Dunque il passaggio per un punto è sufficiente. Sostituiamo le coordinate di A all’equazione:

xy=k \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 3(-4)=k \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ k=-12

dunque l’equazione dell’iperbole è:

xy=-12

I due punti A e B sono simmetrici rispetto all’asse delle y. Dunque forniscono una sola condizione. Non è possibile determinare l’equazione dell’iperbole! Impostando il sistema di equazioni non sarà possibile dunque determinare i valori di a e b.