In questo appunto vediamo come determinare l’equazione di un’iperbole noti i fuochi ed un’altra condizione. Per comprendere a pieno il contenuto di questo appunto è necessario conoscere bene la definizione di iperbole come luogo geometrico dei punti e l’equazione di un’iperbole nelle sue varie forme: canonica, traslata, equilatera, etc… In questo appunto vedremo:

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Condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole

Il numero di condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole dipende dal tipo di iperbole. A seconda delle sue caratteristiche possiamo infatti avere equazioni dipendenti da un numero diverso di coefficienti. Ricordiamo le varie tipologie di equazione nella seguente tabella:

equazione di un'iperbole noti i fuochi: tabella delle possibili forme di un'iperbole

Conoscere le caratteristiche dell’iperbole che andremo a determinare è fondamentale per impostare correttamente un esercizio. Ad esempio:

  • Conoscere l’allineamento dei fuochi, orizzontale o verticale, è fondamentale per impostare correttamente i segni nell’equazione di partenza
  • Per l’iperbole di tipo canonico, occorrerà determinare solo i coefficienti a e b. Dunque saranno necessarie due condizioni
  • Se l’iperbole è traslata la sua equazione generica presenta 4 coefficienti: a,b, p e q. Dove p e q sono le coordinate del centro. Occorreranno dunque 4 condizioni per determinare univocamente l’equazione dell’iperbole
  • Quando abbiamo a che fare con un’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e con centro nell’origine degli assi ci sarà un solo coefficiente da determinare, il coefficiente k. Dunque basta una sola condizione per determinare l’iperbole
  • Con un’iperbole equilatera traslata i coefficienti possono essere 3 oppure 4 a seconda che questa sia espressa nella forma (x-p)(y-q)=k o in forma di funzione omografica.
Esempi di condizioni

Dunque il numero di condizioni necessarie dipende dal tipo di equazione. Ma quali sono le informazioni che possono aiutarci a definire le condizioni?:

  • Le coordinate del centro dell’iperbole forniscono due condizioni al problema. Queste forniscono infatti i valori di p e q
  • conoscere le coordinate di un punto dell’iperbole forniscono una condizione al problema
  • Le coordinate dei vertici reali o dei vertici non reali forniscono una sola condizione. Queste consentono di ricavare i coefficienti a o b
  • L’equazione degli asintoti fornisce una sola condizione al problema.
  • L’eccentricità dell’iperbole fornisce una condizione per la risoluzione del problema
  • Le coordinate dei fuochi forniscono una condizione al problema attraverso la relazione: c2 = a2 + b2. Nel caso di un’iperbole traslata, fornisce indirettamente anche i valori di p e q.

Nel prossimo paragrafo vediamo come determinare l’equazione di un’iperbole noti i fuochi ed un’altra condizione

Determinare l’equazione di un’iperbole noti i fuochi ed un’altra condizione

Nel precedente paragrafo abbiamo detto che conoscere le coordinate dei fuochi ci fornisce un’unica condizione per la risoluzione del problema. Dunque per calcolare in maniera univoca l’iperbole serve necessariamente un’altra informazione. Esistono, infatti, infinite iperbole che hanno due determinati fuochi. La seconda condizione per il calcolo dell’iperbole potrebbe essere o il passaggio di questa per un punto oppure la conoscenza degli asintoti o ancora l’eccentricità. Ricordiamo inoltre che conoscere le coordinate dei fuochi ci consente di capire anche il loro allineamento e quindi il tipo di equazione che ci aspettiamo! Vediamo come impostare eventuali problemi di geometria analitica caso per caso.

Caso in cui è nota la differenza delle distanze dei punti dai fuochi

Quando è nota la differenza delle distanze dei punti dell’iperbole dai fuochi è possibile risolvere l’esercizio in due modi. Entrambi si rifanno alla definizione di iperbole come luogo geometrico di punti. Ricordiamo infatti che l’equazione generica dell’iperbole deriva ponendo:

|\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}| = k=2a

dova a è la lunghezza del semiasse trasverso e P è un generico punto dell’iperbole. Esistono due modi per risolvere un esercizio di questo tipo. Vediamoli nel seguito con un esempio pratico.

Esercizio

Calcolare l’equazione di un’iperbole sapendo che le coordinate dei fuochi sono:

F_{1}(5,0) \\\,\\ F_{2}(-5,0)

e la differenza delle distanze dei punti dell’iperbole dai fuochi è pari a 6.

Primo metodo

Il primo metodo è sicuramente il più semplice da applicare. Osservando le coordinate dei fuochi è possibile intuire che i due fuochi sono allineati orizzontalmente (hanno la stessa ordinata) e sono posizionati sull’asse delle ascisse. Il centro è inoltre l’origine degli assi (i fuochi sono simmetrici tra loro rispetto all’origine). Dunque ci aspettiamo che l’iperbole abbia equazione del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

 

Adesso, dalla definizione dell’iperbole sappiamo che:

2a=6 \Rightarrow a=3

ci rimane da calcolare il coefficiente b. Ricordiamo la relazione:

c^{2}=a^{2}+b^{2}

dove per c si intende la semidistanza focale e per un’iperbole canonica coincide con il modulo dell’ascissa di uno dei fuochi:

c=|x_{F_{1}}|=|5|=5

possiamo adesso calcolare il valore di b2:

c^{2}=a^{2}+b^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b^{2}=c^{2}-a^{2}=25-9=16

dunque l’equazione dell’iperbole è:

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1
Secondo metodo

Il secondo metodo consiste nell’applicare pedissequamente la definizione di iperbole come luogo geometrico di punti:

|\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}| = k=2a

Utilizziamo le formule delle distanze tra due punti e sostituiamole nella formula:

|\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}| = k \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\|\sqrt{(x-5)^{2}+(y-0)^{2}}-\sqrt{(x+5)^{2}+(y-0)^{2}}| = 6\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\|\sqrt{x^{2}-10x+25+y^{2}}-\sqrt{x^{2}+10x+25+y^{2}}| = 6

eleviamo entrambi i metodi al quadrato. Questo consentirà di eliminare il modulo:

x^{2}-10x+25+y^{2}+x^{2}+10x+25+y^{2} -2\sqrt{x^{2}-10x+25+y^{2}}\sqrt{x^{2}+10x+25+y^{2}}= 36 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 2x^{2}+2y^{2}+14=2\sqrt{(x^{2}-10x+25+y^{2})(x^{2}+10x+25+y^{2})}

eleviamo ancora entrambi i metodi al quadrato:

4x^{4}+4y^{4}+196+8x^{2}y^{2}+56x^{2}+56y^{2}= 4[(x^{2}+y^{2}+25)-10x][(x^{2}+y^{2}+25)+10x]\\\,\\\Rightarrow \\\,\\4x^{4}+4y^{4}+196+8x^{2}y^{2}+56x^{2}+56y^{2}= 4(x^{2}+y^{2}+25)^{2}-400x^{2}\\\,\\\Rightarrow \\\,\\\Rightarrow \\\,\\4x^{4}+4y^{4}+196+8x^{2}y^{2}+56x^{2}+56y^{2}= 4x^{4}+4y^{4}+2500+200x^{2}+200y^{2}+8x^{2}y^{2}-400x^{2}\\,\\\Rightarrow \\\,\\256x^{2}-144y^{2}= 2304\\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{256x^{2}}{2304}-\frac{144y^{2}}{2304}=1 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1

Abbiamo ottenuto lo stesso risultato, ma con quanti passaggi in più? Considerando la possibilità di fare errori e la lunghezza dei passaggi si consiglia il primo dei due metodi presentati!

Caso in cui è noto un punto dell’iperbole

Vediamo adesso un altro caso in cui bisogna determinare l’equazione di un’iperbole noti i fuochi ed un’altra condizione. In questo caso la condizione consiste nel conoscere le coordinate di uno dei punti dell’iperbole. Il metodo suggerito consiste nell’impostare in un sistema di equazioni le due condizioni note. La prima equazione sarà quella dell’iperbole con le coordinate del punto P note al posto delle variabili, la seconda sarà invece l’equazione che mette in relazione i coefficienti a,b e c. Di seguito il sistema nel caso di un’iperbole canonica con i fuochi allineati orizzontalmente:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x_{P}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{P}^{2}}{b^{2}}=1\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=c^{2} 

\end{matrix}\right.
Esempio di esercizio

Determinare l’equazione dell’iperbole di cui sono note le coordinate dei fuochi:

F_{1}(0,-13) \\\,\\ F_{2}(0,13)

e passante per il punto:

P\left(6; \frac{12\sqrt{61}}{5}\right)

Osservando le coordinate dei fuochi possiamo stabilire che si tratta di un’iperbole canonica con i fuochi allineati verticalmente. Per cui la sua equazione generale sarà del tipo:

\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1

inoltre dalle coordinate dei fuochi possiamo determinare il valore del coefficiente c che risulterà essere 13.

impostiamo il sistema di equazioni:

 

\left\{\begin{matrix}
\frac{(6)^{2}}{b^{2}}-\frac{(\frac{12\sqrt{11}}{5})^{2}}{a^{2}}=-1\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=(4)^{2} 

\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \left\{\begin{matrix}
\frac{36}{b^{2}}-\frac{8784}{25a^{2}}=-1\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=169 

\end{matrix}\right. 

dalla seconda equazione ricaviamo:

b^{2}= 169-a^{2}

sostituiamo questo valore alla prima equazione:

\frac{36}{169-a^{2}}-\frac{8784}{25a^{2}}=-1

risolviamo adesso questa equazione:

\frac{900a^{2}-1.484.496+8784a^{2}+4225a^{2}-25a^{4}}{25a^{2}(169-a^{2})}=0

imponendo il denominatore diverso da zero:

a\neq0 \vee a\neq\pm13

possiamo risolvere l’equazione imponendo il numeratore uguale a zero:

900a^{2}-1.484.496+8784a^{2}+4225a^{2}-25a^{4}=0 \\\,\\ -25a^{4}+13909a^{2}-1.484.496=0  \\\,\\ 25a^{4}-13909a^{2}+1.484.496=0

Abbiamo cosi ottenuto un’equazione in quarto grado. Adesso poniamo:

t=a^{2}

e otteniamo:

25t^{2}-13909t+1484496=0

risolviamo:

t_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{13909\pm\sqrt{193.460.281-148.449.600}}{50}= \frac{13909\pm6709}{50} \\\,\\ t_{1}=\frac{13909-6709}{50} =144 \\\,\\ t_{2}=\frac{20618}{50}=\frac{10309}{25}

abbiamo dunque due valori per la variabile t a cui corrispondono due valori della variabile a2. Questo risultato ci induce a pensare di ottenere ben due equazioni per l’iperbole. Verifichiamolo calcolando il valore di b2 :

b_{1}^{2}= c^{2}-a_{1}^{2}=169-144=25 \\\,\\ b_{2}^{2}= c^{2}-a_{2}^{2}=169-\frac{10309}{25}=\frac{4225-10309}{25}= -\frac{6084}{25}

si noti che il secondo valore ottenuto per il quadrato del coefficiente b è negativo e non ha quindi significato algebrico. L’equazione dell’iperbole è quindi una sola ed è la seguente:

\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{144}=-1
Caso in cui è nota l’eccentricità

Vediamo adesso il caso in cui sono note le coordinate dei fuochi e l’eccentricità dell’iperbole. Ricordiamo che l’eccentricità dell’iperbole altro non è che il rapporto tra la semidistanza focale e il semiasse trasverso:

e= \frac{c}{a}


Date le coordinate dei fuochi, e dunque il coefficiente c, e l’eccentricità e, la risoluzione del problema passa per la risoluzione del seguente sistema di equazioni:

 

\left\{\begin{matrix}
e=\frac{c}{a}\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=c^{2} 

\end{matrix}\right.

si noti che saranno le coordinate dei fuochi a dirci quale tipo di equazione generale utilizzare per l’iperbole. Vediamo la risoluzione di un problema di questo tipo con un esempio

Esempio di esercizio

Determinare l’equazione dell’iperbole con eccentricità pari a 2 e avente fuochi di coordinate pari a:

F_{1}(0,-5) \\\,\\ F_{2}(0,5)

Avendo i fuochi l’ordinata in comune e ascissa 0, abbiamo a che fare con un’iperbole del tipo:

\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1

per risolvere il problema, occorre risolvere il sistema:

\left\{\begin{matrix}
e=\frac{c}{a}\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=c^{2} 

\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\left\{\begin{matrix}
2=\frac{5}{a}\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=c^{2} 

\end{matrix}\right.

dalla prima equazione possiamo ricavarci il valore del semiasse trasverso a:

a=\frac{5}{2}

possiamo sostituire tale valore nella seconda equazione per ricavare b:

\frac{25}{4}+b^{2}=25 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ b^{2}= 25-\frac{25}{4}=\frac{100-25}{4}=\frac{75}{4}

dunque possiamo scrivere l’equazione dell’iperbole:

\frac{4x^{2}}{75}-\frac{4y^{2}}{25}=-1
Caso in cui sono noti gli asintoti

Vediamo adesso il caso in cui sono note le coordinate dei fuochi e l’equazione degli asintoti dell’iperbole. Ricordiamo che l’equazione degli asintoti di un’iperbole canonica con i fuochi allineati orizzontalmente è del tipo:

y=\pm mx=\pm\frac{b}{a}x

mentre per un’iperbole canonica con i fuochi allineati verticalmente, l’equazione degli asintoti è:

y=\pm mx=\pm\frac{a}{b}x

Dunque per risolvere questo tipo di problema è necessario imporre uno dei seguenti sistemi a seconda che i fuochi siano allineati orizzontalmente o verticalmente:

\left\{\begin{matrix}
m=\frac{b}{a}\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=c^{2} 

\end{matrix}\right. \\\,\\ \,\,\\\,\\ \left\{\begin{matrix}
m=\frac{a}{b}\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=c^{2} 

\end{matrix}\right. 

vediamone un esempio di risoluzione.

Esempio di esercizio

Determinare l’equazione di un’iperbole i cui fuochi hanno le seguenti coordinate:

F_{1}(0,-3) \\\,\\F_{2}(0,3)

e i cui asintoti hanno coordinate:

y= \pm2x

Le coordinate dei fuochi ci dicono che questi sono allineati verticalmente per cui il sistema da impostare è del tipo:

 \left\{\begin{matrix}
m=\frac{a}{b}\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=c^{2} 

\end{matrix}\right.  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  \left\{\begin{matrix}
2=\frac{a}{b}\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=9 

\end{matrix}\right. 

dalla prima equazione ricaviamo:

a=2b

sostituiamo tale valore nella seconda equazione:

4b^{2}+b^{2}=9 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 5b^{2}=9\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b^{2}=\frac{9}{5}

ne consegue che:

 

a=2b \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{2}=4b^{2}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{2}=\frac{35}{5}

l’equazione dell’iperbole è dunque del tipo:

\frac{5x^{2}}{9}-\frac{5y^{2}}{36}=-1
Caso in cui sono noti i vertici

Nel caso in cui sono noti i vertici ed i fuochi, la risoluzione dell’esercizio è molto semplice. Dalle coordinate dei vertici, possiamo ricavare immediatamente il valore della lunghezza del semiasse trasverso a. Ricordiamo che il valore di a è l’ascissa o l’ordinata del vertice reale dell’iperbole. Noto a è possibile calcolare il valore di b attraverso la formula:

b^{2}=c^{2}-a^{2}

Dunque la risoluzione equivale ad applicare uno dei seguenti sistemi:

 \left\{\begin{matrix}
a=x_{V}\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=c^{2} 

\end{matrix}\right.  \\\,\\ oppure\\\,\\  \left\{\begin{matrix}
a=y_{V}\\\,\\ 
a^{2}+b^{2}=c^{2} 

\end{matrix}\right. 
Iperbole traslata


Fino ad ora abbiamo visto diversi casi di risoluzione degli esercizi in cui è necessario calcolare l’equazione di un’iperbole canonica. Ma cosa accade quando abbiamo a che fare con un’iperbole traslata? Ricordiamo che l’equazione dell’iperbole traslata introduce due nuovi coefficienti p e q che rappresentano il centro dell’ellisse. A seconda che i fuochi siano allineati orizzontalmente o verticalmente, l’equazione dell’iperbole è del tipo:

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=-1

Si noti che è possibile ricavare i valori di p e di q direttamente dalle coordinate dei fuochi.

equazione di un'iperbole noti i fuochi: coordinate dei fuochi

Nella tabella sopra, possiamo notare che nel caso di un’iperbole traslata con i fuochi allineati orizzontalmente, questi avranno coordinate del tipo:

F_{1}(-c+p,q) ;F_{1}(c+p,q) \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,p=\frac{x_{F_{1}}+x_{F_{2}}}{2} ;\,\,\,\,\,q=y_{F_{1}}=y_{F_{2}}

nel caso invece di un’iperbole traslata con i fuochi allineati verticalmente, abbiamo:

F_{1}(p,-c+q) ;F_{1}(p,c+q)\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,p=x_{F_{1}}=x_{F_{2}}; \,\,\,\,\, q=\frac{y_{F_{1}}+y_{F_{2}}}{2}

Dunque, ricavati i coefficienti pe q dalle coordinate dei fuochi, la risoluzione di uno degli esercizi visti nei precedenti paragrafi è del tutto speculare.

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Quando abbiamo a che fare con’ iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è bene ricordare che i fuochi non sono più allineati orizzontalmente o verticalmente ma sono allineati sulle bisettrici del piano cartesiano. Le coordinate dei fuochi sono del tipo:

F_{1} (-\sqrt{2k},-\sqrt{2k}) \\\,\\F_{2} (\sqrt{2k},\sqrt{2k})

oppure nel caso di k<0:

F_{1} (-\sqrt{-2k},\sqrt{-2k}) \\\,\\F_{2} (\sqrt{-2k},-\sqrt{-2k})

L’equazione dell’iperbole equilatera è del tipo:

xy=k

dunque dalle coordinate dei fuochi è possibile ricavarsi il valore di k e quindi l’equazione dell’iperbole senza aver bisogno di alcun’altra condizione!

Determinare l’equazione di un’iperbole noti i fuochi ed un’altra condizione