Determinare l’equazione di un’iperbole noti gli asintoti

In questo appunto vediamo in che modo determinare l’equazione di un’iperbole noti i suoi asintoti. Per poter comprendere bene il contenuto di questo appunto è necessario approfondire l’equazione di un’iperbole e dei suoi asintoti. In particolare in questo appunto vedremo:

• Condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole
• Equazione degli asintoti di un’iperbole: tabella riassuntiva
• Come determinare l’equazione di un’iperbole noti gli asintoti
• Esempi di esercizi

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Condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole

Il numero di condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole dipende dal tipo di iperbole. A seconda delle sue caratteristiche possiamo infatti avere equazioni dipendenti da un numero diverso di coefficienti. Ricordiamo le varie tipologie di equazione nella seguente tabella:

Conoscere le caratteristiche dell’iperbole che andremo a determinare è fondamentale per impostare correttamente un esercizio. Ad esempio:

• Conoscere l’allineamento dei fuochi, orizzontale o verticale, è fondamentale per impostare correttamente i segni nell’equazione di partenza
• Per l’iperbole di tipo canonico, occorrerà determinare solo i coefficienti a e b. Dunque saranno necessarie due condizioni
• Se l’iperbole è traslata la sua equazione generica presenta 4 coefficienti: a,b, p e q. Dove p e q sono le coordinate del centro. Occorreranno dunque 4 condizioni per determinare univocamente l’equazione dell’iperbole
• Quando abbiamo a che fare con un’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e con centro nell’origine degli assi ci sarà un solo coefficiente da determinare, il coefficiente k. Dunque basta una sola condizione per determinare l’iperbole
• Con un’iperbole equilatera traslata i coefficienti possono essere 3 oppure 4 a seconda che questa sia espressa nella forma (x-p)(y-q)=k o in forma di funzione omografica.

Esempi di condizioni

Dunque il numero di condizioni necessarie dipende dal tipo di equazione. Ma quali sono le informazioni che possono aiutarci a definire le condizioni?:

• Le coordinate del centro dell’iperbole forniscono due condizioni al problema. Queste forniscono infatti i valori di p e q
• conoscere le coordinate di un punto dell’iperbole forniscono una condizione al problema
• Le coordinate dei vertici reali o dei vertici non reali forniscono una sola condizione. Queste consentono di ricavare i coefficienti a o b
• L’equazione degli asintoti fornisce una sola condizione al problema.
• L’eccentricità dell’iperbole fornisce una condizione per la risoluzione del problema
• Le coordinate dei fuochi forniscono una condizione al problema attraverso la relazione: c² = a² + b². Nel caso di un’iperbole traslata, fornisce indirettamente anche i valori di p e q.

Nei prossimi paragrafi vedremo in particolare come determinare l’equazione di un’iperbole noti gli asintoti. Gli asintoti forniscono una sola condizione al problema e questa non è sufficiente a determinare univocamente l’equazione di un’iperbole!

Equazione degli asintoti di un’iperbole: tabella riassuntiva

Prima di vedere in che modo determinare l’equazione di un’iperbole quando sono noti gli asintoti, ricordiamo brevemente qual è la relazione che sussiste tra l’equazione degli asintoti ed i coefficienti dell’iperbole. Il coefficiente angolare degli asintoti di un’iperbole è data dal rapporto dei due coefficienti che esprimono la lunghezza dei semiassi trasverso e non trasverso. Il rapporto a/b o b/a dipende dal tipo di iperbole con cui abbiamo a che fare. Ricordiamo con la tabella sotto le diverse equazioni di asintoti per ciascun tipo di iperbole:

dunque, noto il tipo di iperbole dal coefficiente angolare degli asintoti è possibile ricavare il rapporto tra i coefficienti dell’iperbole a e b. Ciò non è chiaramente sufficiente a determinare l’iperbole. Occorre un’informazione aggiuntiva per poter determinare in maniera univoca l’iperbole.

Come determinare l’equazione di un’iperbole noti gli asintoti

Quando sono noti gli asintoti di un’iperbole è possibile poter calcolare l’equazione di quest’ultima se:

• è noto il tipo di iperbole (traslata, con i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente…)
• è nota un’altra condizione come il passaggio per un punto, la coordinata di un vertice o di uno dei fuochi

Conoscere il tipo di iperbole, ci consente di definire l’equazione dell’iperbole da impostare per la risoluzione dell’esercizio. Conoscere la seconda condizione consente invece di impostare il sistema a due equazioni che ci porterà a calcolare il valore dei coefficienti a e b.

Dunque il generico sistema da impostare sarà del tipo:

\left\{\begin{matrix}
m=\pm\frac{a}{b} \vee m=\pm\frac{b}{a}\\\,\\
seconda \,\, condizione 

\end{matrix}\right.

vediamo di seguito alcuni esempi di esercizi con in cui si calcola l’equazione dell’iperbole a partire dai suoi asintoti.

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Determinare l’equazione dell’iperbole con i fuochi allineati verticalmente, centro nell’origine e avente come asintoto la retta y=3x. L’iperbole passa per il punto P(1,4)

Il tipo di iperbole da calcolare ha equazione generica del tipo:

\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1

per questo tipo di iperbole, gli asintoti hanno generica equazione:

m=\pm\frac{a}{b}

Possiamo dunque impostare il sistema di equazioni risolutivo ponendo questa condizione ed il passaggio per il punto P:

\left\{\begin{matrix}
m=\pm\frac{a}{b}\\\,\\
 \frac{y_{P}^{2}}{a^{2}}-\frac{x_{P}^{2}}{b^{2}}=1

\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  \left\{\begin{matrix}
3=\frac{a}{b}\\\,\\
 \frac{(4)^{2}}{a^{2}}-\frac{(1)^{2}}{b^{2}}=1

\end{matrix}\right.\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  \left\{\begin{matrix}
a=3b\\\,\\
 \frac{(4)^{2}}{(3b)^{2}}-\frac{(1)^{2}}{b^{2}}=1

\end{matrix}\right.

proviamo dunque a risolvere la seconda equazione:

 \frac{(4)^{2}}{(3b)^{2}}-\frac{(1)^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow\\\,\\  \frac{16}{9b^{2}}-\frac{1^{2}}{b^{2}}=1\\\,\\ \Rightarrow\\\,\\  \frac{16-9}{9b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{7}{9b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b^{2}=\frac{7}{9}

abbiamo trovato dunque il valore del quadrato di b. Possiamo adesso calcolarci il valore del quadrato di a:

a=3b \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{2}= 9b^{2} =7

sostituiamo i valori dei coefficienti nell’equazione generica dell’iperbole:

\frac{y^{2}}{7}-\frac{9x^{2}}{7}=1

Esercizio 2

Determinare l’equazione dell’iperbole con fuochi allineati orizzontalmente avente come asintoti le rette y=2x-4; y=-2x+4 ed avente fuoco distante 5 dal centro

In questo esercizio abbiamo a che fare con un’iperbole avente i fuochi allineati orizzontalmente e traslata. Quest’ultima caratteristica emerge in quanto l’asintoto ha un’intercetta non nulla. L’equazione generica dell’iperbole è dunque del tipo:

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

gli asintoti hanno equazione del tipo:

y=\pm \frac{b}{a}(x-p)+q

abbiamo dunque ben 4 coefficienti da determinare: a,b,p e q. Innanzitutto, intersecando le equazioni degli asintoti possiamo ricavare le coordinate del centro C(p,q):

\left\{\begin{matrix}
y= 2x-4\\\,\\ y=-2x+4

\end{matrix}\right.

sostituendo il valore di y della prima equazione nella seconda abbiamo:

2x-4=-2x+4 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 4x=8\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x=2

sostituendo tale valore in una delle due equazioni otteniamo:

y=2x-4= 2*2-4=0

dunque il punto C(2;0) è il centro dell’iperbole. Adesso, dal coefficiente angolare dell’asintoto ricaviamo che:

\frac{b}{a}=2

poiché il fuoco è distante 3 dal centro possiamo scrivere che:

c=5

inoltre ricordiamo che:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

impostando dunque il sistema:

\left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a}=2\\\,\\ c=5 \\\,\\ a^{2}+b^{2}=c^{2}

\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\left\{\begin{matrix}
b=2a\\\,\\ c=5 \\\,\\ a^{2}+4a^{2}=25

\end{matrix}\right. 

dall’ultima equazione ricaviamo che:

a^{2}=5 

per cui:

b^{2}=20

l’equazione dell’iperbole è dunque:

\frac{(x-2)^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{20}=1