In questo appunto vediamo come determinare l’equazione di un’iperbole equilatera passante per un punto. Per comprendere il contenuto di questo appunto si consiglia di approfondire i concetti di equazione di un’iperbole, iperbole equilatera ed iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Nel seguito di questo appunto vedremo:

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Condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole

Il numero di condizioni necessarie per determinare l’equazione di un’iperbole dipende dal tipo di iperbole. A seconda delle sue caratteristiche possiamo infatti avere equazioni dipendenti da un numero diverso di coefficienti. Ricordiamo le varie tipologie di equazione nella seguente tabella:

equazioni dell'iperbole

 

Conoscere le caratteristiche dell’iperbole che andremo a determinare è fondamentale per impostare correttamente un esercizio. Ad esempio:

  • Conoscere l’allineamento dei fuochi, orizzontale o verticale, è fondamentale per impostare correttamente i segni nell’equazione di partenza
  • Per l’iperbole di tipo canonico, occorrerà determinare solo i coefficienti a e b. Dunque saranno necessarie due condizioni
  • Se l’iperbole è traslata la sua equazione generica presenta 4 coefficienti: a,b, p e q. Dove p e q sono le coordinate del centro. Occorreranno dunque 4 condizioni per determinare univocamente l’equazione dell’iperbole
  • Quando abbiamo a che fare con un’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e con centro nell’origine degli assi ci sarà un solo coefficiente da determinare, il coefficiente k. Dunque basta una sola condizione per determinare l’iperbole
  • Con un’iperbole equilatera traslata i coefficienti possono essere 3 oppure 4 a seconda che questa sia espressa nella forma (x-p)(y-q)=k o in forma di funzione omografica.
Esempi di condizioni

Dunque il numero di condizioni necessarie dipende dal tipo di equazione. Ma quali sono le informazioni che possono aiutarci a definire le condizioni?:

  • Le coordinate del centro dell’iperbole forniscono due condizioni al problema. Queste forniscono infatti i valori di p e q
  • conoscere le coordinate di un punto dell’iperbole forniscono una condizione al problema
  • Le coordinate dei vertici reali o dei vertici non reali forniscono una sola condizione. Queste consentono di ricavare i coefficienti a o b
  • L’equazione degli asintoti fornisce una sola condizione al problema.
  • L’eccentricità dell’iperbole fornisce una condizione per la risoluzione del problema
  • Le coordinate dei fuochi forniscono una condizione al problema attraverso la relazione: c2 = a2 + b2. Nel caso di un’iperbole traslata, fornisce indirettamente anche i valori di p e q.

Nel prossimo paragrafo vediamo come determinare l’equazione di un’iperbole equilatera passante per un punto

Come determinare l’equazione di un’iperbole equilatera passante per un punto

Vediamo adesso come determinare l’equazione di un’iperbole equilatera passante per un punto. Ricordiamo che l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli assi cartesiani ha equazione del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1

se i fuochi sono allineati orizzontalmente e:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1

se i fuochi sono allineati verticalmente. Poiché entrambe le equazioni dipendono dal solo coefficiente a, la conoscenza di una sola condizione come il passaggio per un punto è sufficiente a determinare l’equazione. L’unica informazione aggiuntiva necessaria è quella relativa all’allineamento dei fuochi. Se non è esplicitato, sarà necessario calcolare entrambi i casi. Uno di essi non sarà determinabile!

Dunque, note le coordinate di un punto dell’iperbole equilatera, sarà sufficiente sostituirle all’equazione generica per ricavare il valore del coefficiente a. Vediamolo nel seguito con un paio di esempi di esercizi.

Esercizio 1

Determinare l’equazione dell’iperbole equilatera con i fuochi allineati verticalmente e passante per il punto P(3,4)

Poiché i fuochi sono allineati verticalmente, dobbiamo considerare come equazione generica dell’iperbole equilatera la seguente:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1

sostituendo le coordinate del punto P all’equazione otteniamo:

\frac{9}{a^{2}}-\frac{16}{a^{2}}=-1

calcoliamoci a2:

\frac{9-16}{a^{2}}=-1 \\\,\\ \Rightarrow\\\,\\ \frac{7}{a^{2}}=1  \\\,\\ \Rightarrow\\\,\\ a^{2}=7

trovato il valore del coefficiente a, possiamo sostituirlo nella generica equazione dell’iperbole:

\frac{x^{2}}{7}-\frac{y^{2}}{7}=-1
Esercizio 2

Determinare l’equazione dell’iperbole equilatera con i fuochi allineati orizzontalmente e passante per il punto P(3,4)

L’esercizio è molto simile al precedente ma in questo caso i fuochi sono allineati orizzontalmente. Dunque l’equazione generica da imporre è del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1

sostituiamo ad esso le coordinate del punto P:

 

\frac{9}{a^{2}}-\frac{16}{a^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ -\frac{7}{a^{2}}=1\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\a^{2}=-7

ma un quadrato non può essere negativo! dunque non esiste un’iperbole equilatera con i fuochi allineati orizzontalmente e passante per il punto P(3,4). Ma avremmo potuto capirlo in un altro modo?

Ricordiamo che l’iperbole equilatera ha sempre come asintoti la retta y=x:

iperbole equilatera passante per un punto

nel caso di un’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente (immagine a sinistra) notiamo che l’iperbole è sempre sotto la retta y=x nel primo e quarto quadrante. Ciò significa che ad essa possono appartenere solo i punti per i quali y<x. Ma nel punto P del problema l’ordinata era maggiore dell’ascissa! Vediamo nel prossimo esercizio cosa accade se il punto appartiene ad uno degli asintoti.

Esercizio 3

Determinare l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli assi cartesiani e passante per il punto P(2,2)

Il problema non ci dice se i fuochi sono allineati orizzontalmente o verticalmente. E’ dunque necessario determinare entrambi i casi. Partiamo da quello in cui i fuochi sono allineati orizzontalmente:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1

sostituiamo le coordinate del punto P:

\frac{4}{a^{2}}-\frac{4}{a^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 0=1

l’equazione è impossibile in quanto termina con 0=1. Non esiste dunque alcuna iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente e che passi per P. Eseguendo gli stessi passaggi per il caso di un’iperbole con i fuochi allineati verticalmente otterremmo la stessa identica situazione! Non c’è nulla di cui essere meravigliati. Il punto P fa parte dell’asintoto y=x di entrambe il tipo di iperbole equilatere!

Caso di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Quando l’iperbole equilatera è riferita ai propri asintoti la sua equazione è del tipo:

xy=k
  • con k>0 se i rami dell’iperbole sono situati nel primo e terzo quadrante. Ciò significa che all’iperbole possono appartenere solo i punti in cui il segno dell’ascissa è uguale al segno dell’ordinata
  • con k<0 se i rami dell’iperbole sono situati nel secondo e quarto quadrante. Ciò significa che all’iperbole possono appartenere solo i punti in cui il segno dell’ascissa è opposto a quello dell’ordinata.

 

iperbole equilatera passante per un punto riferita agli asintoti

fatta questa premessa, per determinare l’equazione di un’iperbole equilatera passante per un punto nel caso in cui questa sia riferita ai propri asintoti, basta sostituire le coordinate del punto all’equazione e determinare k.

Esercizio 4

Determinare l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e passante per il punto A(-3,8)

Poiché il punto A è tale che il segno della sua ascissa è opposto al segno della sua ordinata, ci aspettiamo che l’iperbole abbia i rami posizionati nel secondo e quarto quadrante. Ciò significa che ci aspettiamo un’equazione con k<0:

xy=k \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ -3*8=k\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ k=-24

l’equazione dell’iperbole equilatera è dunque:

xy=-24

per esercizio prova a determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi di questa iperbole. Se non ricordi le formule ti rimandiamo al seguente link.

Determinare l’equazione di un’iperbole equilatera passante per un punto