Vediamo in questo appunto come determinare l’equazione dell’ellisse quando sono note le coordinate di un fuoco e di un vertice. Di seguito i link per ciascuno dei paragrafi di questo appunto:

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Breve accenno sull’equazione dell’ellisse

Senza entrare troppo nel dettaglio ricordiamo che l’equazione canonica di una generica ellisse, con i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente, altro non è che un’equazione di secondo grado in x ed in y del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \\\,\\\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1

dove a è sempre maggiore di b. I due coefficienti a e b indicano la lunghezza dei semiassi maggiore e minore:

  • Se a è posizionato al denominatore del termine in x, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i fuochi allineati orizzontalmente
  • Se a è posizionato al denominatore del termine in y, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i fuochi allineati verticalmente

In un’ellisse, ci sono 4 vertici che sono disposti a due a due agli estremi degli assi dell’ellisse e due fuochi posizionati sul semiasse maggiore. Vediamo l’esempio di un’ellisse di tipo orizzontale:

Le coordinate dei vertici sono immediatamente collegate all’equazione dell’ellisse, soprattutto nel caso come quello in figura in cui l’ellisse abbia centro coincidente con l’origine degli assi. In questo caso infatti, le coordinate dei vertici dell’ellisse contengono i valori dei coefficienti a e b dell’equazione dell’ellisse. Le coordinate dei fuochi invece possono essere di supporto per determinare l’equazione dell’ellisse in quanto le lunghezze dei semiassi a e b sono in relazione con la semidistanza focale c mediante la relazione:

a^{2} = b^{2}+c^{2}

SI può infatti dimostrare che in qualsiasi ellisse, la distanza tra uno dei fuochi ed uno dei vertici del semiasse minore è proprio uguale alla lunghezza del semiasse maggiore a. Ne consegue un triangolo rettangolo di ipotenusa a e cateti b e c che determinano la relazione del Teorema di Pitagora riportata sopra:

Quando il centro è in un altro punto, la situazione si complica leggermente in quanto occorrerà calcolare i valori di a,b e c riferendosi alle coordinate del centro. Vedremo questo caso in uno dei prossimi paragrafi

Come determinare l’equazione dell’ellisse note le coordinate di un fuoco e di un vertice

Vediamo adesso il caso particolare di un problema nel quale è chiesto di determinare l’equazione dell’ellisse quando sono note le coordinate di un fuoco e di un vertice. Poiché l’ellisse è determinata se si conoscono i due parametri a e b, la conoscenza delle coordinate di un fuoco e di un vertice ci fornisce le due informazioni indipendenti necessarie. Il calcolo è molto semplice quando il centro dell’ellisse coincide con l’origine degli assi in quanto, il vertice noto fornirà direttamente uno dei due coefficienti a o b.

In particolare potremmo avere i seguenti casi:

  • Note le coordinate di uno dei due vertici del semiasse maggiore e di un fuoco: la coordinata del vertice fornirà direttamente il valore del coefficiente a. Il valore della lunghezza del semiasse minore la ricaveremo attraverso la relazione:
b^{2}=a^{2}-c^{2}
  • Note le coordinate di uno dei vertici del semiasse minore e di un fuoco: la coordinata del vertice fornirà direttamente il valore del coefficiente b. Il valore della lunghezza del semiasse minore la ricaveremo attraverso la relazione:
a^{2} = b^{2}+c^{2}

Possiamo avere i due casi sopra sia che abbiamo a che fare con un’ellisse orizzontale sia se abbiamo a che fare con un’ellisse verticale.

Dunque i passaggi per risolvere un esercizio di questo tipo sono:

  1. Determinare il tipo di ellisse. Se fuoco e vertice hanno una coordinata in comune, allora appartengono entrambi al semiasse maggiore. Se hanno in comune l’ordinata, l’ellisse è di tipo orizzontale, se hanno in comune l’ascissa l’ellisse è di tipo verticale. Disegnando le coordinate dell’ellisse su un piano cartesiano potrai riconoscere facilmente di che ellisse si tratta
  2. Identificare il coefficiente a o b dalle coordinate del vertice noto.
  3. Estrapolare il valore del secondo coefficiente applicando il teorema di Pitagora
  4. Scrivere l’equazione dell’ellisse

Nel prossimo paragrafo vediamo cosa comporta avere a che fare con il caso di un’ellisse traslata

Caso di ellisse traslata

Quando abbiamo a che fare con un’ellisse traslata, il centro dell’ellisse non coincide più con l’origine degli assi. L’ellisse ha equazione del tipo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} =1 \\\,\\\frac{(x-x_{C})^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{a^{2}} =1

a seconda che il semiasse maggiore sia posizionato orizzontalmente o verticalmente. La difficoltà maggiore con un’ellisse traslata sta nel fatto che conoscere le coordinate dei vertici e dei fuochi non consente di avere automaticamente il valore dei semiassi. Occorre necessariamente conoscere le coordinate del centro dell’ellisse e calcolare i valori dei semiassi o della semidistanza focale come distanza dei rispettivi vertici o dei fuochi dal centro dell’ellisse

Ricapitoliamo i passaggi nel caso di ellisse traslata:

  1. Determinare il tipo di ellisse. Se fuoco e vertice hanno una coordinata in comune, allora appartengono entrambi al semiasse maggiore. Se hanno in comune l’ordinata, l’ellisse è di tipo orizzontale, se hanno in comune l’ascissa l’ellisse è di tipo verticale. Disegnando le coordinate dell’ellisse su un piano cartesiano potrai riconoscere facilmente di che ellisse si tratta
  2. Identificare le coordinate del centro
  3. Calcolare il valore della semidistanza focale come distanza del fuoco dal centro
  4. Calcolare il valore del semiasse maggiore o minore come distanza delle coordinate del vertice noto con il centro
  5. Scrivere l’equazione dell’ellisse

Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni esempi di esercizi

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Determinare l’equazione dell’ellisse con centro nell’origine degli assi e avente un vertice in D(3,0) e un fuoco in F(0,2)

L’ellisse è di tipo verticale. Fuoco e vertice non hanno coordinate in comune, per cui il vertice D appartiene al semiasse minore. Si consiglia di disegnare in un piano cartesiano i due punti F e D per poter comprendere bene quanto appena detto.

Poiché il centro coincide con l’origine degli assi, l’ellisse dunque sarà del tipo:

\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1

L’ascissa del vertice D ci fornisce il valore del coefficiente b:

b=|x_{D}| = 3

L’ordinata del fuoco F ci da invece il valore della semidistanza focale c . Adesso per calcolare il valore del coefficiente a applichiamo la formula relativa :

a^{2}=b^{2}+c^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{2} = 3^{2}+2^{2} = 9+4 =13

dunque l’equazione dell’ellisse diventa:

\frac{x^{2}}{9} +\frac{y^{2}}{13} =1

Esercizio 2

Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro in C(2,2) e avente fuoco in F(4,2) e vertice A(6,2)

In questo esercizio il fuoco ed il vertice sono allineati orizzontalmente tra di loro in quanto hanno l’ordinata in comune. Ciò significa che il vertice appartiene al semiasse maggiore e che l’ellisse è di tipo orizzontale. Inoltre, poiché il centro non coincide con l’origine degli assi, abbiamo a che fare con un’ellisse traslata:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} =1 

Poiché il centro dell’ellisse non è nell’origine degli assi, occorre calcolare il semiasse maggiore a (che dipende da A) e la semidistanza focale c (che dipende da F) come distanza dei punti A e F rispetto a C. Poiché A e C come Fe C sono allineati, la formula della distanza tra due punti è semplificata:

a = |x_{A}- x_{C}| = |6-2| = 4 \\\,\\ c = |x_{F}- x_{C}| = |4-2| = 2

adesso possiamo ricavare il valore del semiasse minore applicando la relativa formula:

b^{2}= a^{2}-c^{2} = 16-4=12

L’equazione dell’ellisse è dunque:

\frac{(x-2)^{2}}{16}+\frac{(y-2)^{2}}{12} =1 

 

Determinare l’equazione dell’ellisse note le coordinate di un fuoco e di un vertice
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