In questo appunto vediamo in che modo calcolare l’area di un quadrilatero qualunque utilizzando la goniometria. Per comprendere bene il contenuto di questo appunto è necessario conoscere la definizione di quadrilatero, la funzione seno e la formula per il calcolo dell’area di un triangolo qualsiasi in trigonometria. In particolare in questo appunto vedremo:

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Formula per determinare l’area di un quadrilatero qualunque in goniometria

In trigonometria esiste una formula generale che consente di calcolare l’area di qualsiasi quadrilatero:

Area di un quadrilatero qualunque

tale formula dice che:

l’area di un quadrilatero qualunque è data dal semiprodotto delle due diagonali per il seno dell’angolo tra essi compreso

La formula generale è dunque:

A_{ABCD} = \frac{d_{1}d_{2}}{2}sin\alpha

Nei prossimi paragrafi vedremo una dimostrazione per tale formula sia nel caso di quadrilateri convessi che nel caso di quadrilateri concavi.

Dimostrazione per un quadrilatero convesso

Un quadrilatero convesso è un quadrilatero in cui tutti gli angoli interni sono minori di 180°. In conseguenza di ciò, tutti i prolungamenti dei lati sono esterni al quadrilatero stesso. Consideriamo dunque un generico quadrilatero convesso:

Area di un quadrilatero qualunque: quadrilatero convesso

Indichiamo con d1 la diagonale del quadrilatero che congiunge i vertici A e C e con d2 la diagonale del quadrilatero che congiunge i vertici B e D. Le due diagonali si incontrano nel punto O e formando due angoli di ampiezza α e due angoli di ampiezza π-α. Le diagonali dividono inoltre il quadrilatero in 4 triangoli: AOB; BOC; COD; AOD. Possiamo dunque esprimere l’area del quadrilatero come somma delle aree di questi 4 triangoli:

A_{ABCD} = A_{AOB}+A_{BOC}+A_{COD}+A_{AOD}

Ma sappiamo dalla trigonometria che l’area di un generico triangolo è data dal semiprodotto prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso. Dunque l’area del triangolo AOB sarebbe ad esempio:

A_{AOB} = \frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\pi-\alpha)

allo stesso modo possiamo scrivere le aree degli altri tre triangoli:

A_{BOC} =\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) \\\,\\A_{COD} =\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\pi -\alpha) \\\,\\A_{DOA} =\frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\alpha) \\\,\\

sostituiamo le formule ottenute in quella del quadrilatero:

A_{ABCD} = A_{AOB}+A_{BOC}+A_{COD}+A_{AOD} = \\\,\\ =\frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\pi-\alpha) +\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) +\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\pi -\alpha) +\frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\alpha) \\\,\\

si noti adesso che una delle proprietà degli archi associati ci dice che:

sin(\pi -\alpha) = sin\alpha

dunque possiamo riscrivere la formula sostituendo al seno di π-α il seno di α:

A_{ABCD} = \frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\alpha) +\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) +\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\alpha) +\frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\alpha) \\\,\\

Adesso eseguiamo dei raccoglimenti parziali per i primi due membri e per gli ultimi due. Nei primi due raccogliamo il termine BO/2 per il seno di α, mentre negli ultimi due il termine DO/2 per il seno di α:

A_{ABCD} = \frac{\overline{BO}}{2}sin(\alpha) \left( \overline{AO} +\overline{CO}\right) +\frac{\overline{DO}}{2}sin(\alpha) \left( \overline{AO} +\overline{CO}\right)

adesso guardiamo la figura e verifichiamo a cosa corrisponde la somma di AO e CO. La loro somma corrisponde esattamente alla prima diagonale del quadrilatero:

d_{1}=\overline{AO}+\overline{CO}

dunque possiamo riscrivere:

A_{ABCD} = \frac{\overline{BO}}{2}sin(\alpha) d_{1} +\frac{\overline{DO}}{2}sin(\alpha) d_{1}

raccogliamo adesso il fattore d1/2sinα:

A_{ABCD} = \frac{d_{1}}{2}sin(\alpha) (\overline{BO}+\overline{DO})

ma la somma di BO e DO corrisponde alla seconda diagonale. Quindi:

A_{ABCD} = \frac{d_{1}d_{2}}{2}sin(\alpha) 

come volevasi dimostrare l’area del quadrilatero è data dal semiprodotto della lunghezza delle diagonali per il seno dell’angolo tra essi compreso.

Caso particolare: area del quadrato

Si consideri il caso di un quadrato, dove le diagonali sono tra loro uguali e l’angolo fra essi compreso è 90°. Ciò comporta che il seno dell’angolo è pari a 1. L’area del quadrato sarà allora data da:

A_{quadrato} =\frac{d^{2}}{2}
Dimostrazione per un quadrilatero concavo

Verifichiamo adesso la stessa relazione anche nel caso di un quadrilatero concavo. Un quadrilatero si dice concavo quando uno dei suoi angoli interni è maggiore di 180°. La conseguenza di ciò è che la proiezione di due dei suoi lati è interno al quadrilatero stesso ed una delle diagonali è esterna al quadrilatero. Le due diagonali quindi non si incrociano. Per dimostrare la formula vista nei paragrafi precedenti sarà necessario considerare il prolungamento della diagonale interna fino a quando questo non incrocia la diagonale esterna:

Area di un quadrilatero qualunque: quadrilatero concavo

Indichiamo con d1 la diagonale del quadrilatero che congiunge i vertici A e C e con d2 la diagonale del quadrilatero che congiunge i vertici B e D. La diagonale d1 ed il prolungamento della diagonale d2 si incontrano nel punto O e formando due angoli di ampiezza α e due angoli di ampiezza π-α. Possiamo identificare in questo caso l’area del parallelogramma come somma dei triangoli ABD e BDC. Ma l’area del triangolo ABD non è altro che la differenza dell’area del triangolo ABO meno l’area del triangolo ADO. Allo stesso modo l’area di BDC è data dalla differenza dell’area di BCO meno CDO. Dunque abbiamo:

A_{ABCD} = A_{ABD}+A_{BDC} =A_{ABO}- A_{ADO}+A_{BCO}-A_{CDO}

ancora una volta l’area del quadrilatero è in relazione all’area di 4 triangoli. Ma sappiamo dalla trigonometria che l’area di un generico triangolo è data dal semiprodotto prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso. Possiamo quindi riportare l’area di ciascun triangolo:

A_{ABO} =\frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\pi-\alpha)\\\,\\\\\,\\  A_{ADO} = \frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\pi-\alpha) \\\,\\\\\,\\ A_{BCO}=\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) \\\,\\\\\,\\  A_{COD}=\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\alpha) 

possiamo dunque riscrivere l’area del quadrilatero come:

A_{ABCD} = \frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\pi-\alpha)-\frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\pi-\alpha) +\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) -\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\alpha) 

si noti adesso che una delle proprietà degli archi associati ci dice che:

sin(\pi -\alpha) = sin\alpha

per cui possiamo semplificare la formula:

A_{ABCD} = \frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\alpha)-\frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\alpha) +\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) -\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\alpha) 

adesso raccogliamo il fattore AO/2 sinα per i primi due termini ed il fattore CO/2 sinα per gli ultimi due:

A_{ABCD} = \frac{\overline{AO}}{2}sin(\alpha) (\overline{BO}-\overline{DO})+\frac{\overline{CO}}{2}sin(\alpha) (\overline{AO}-\overline{DO})

ma la differenza tra BO e DO è proprio pari alla diagonale d2 :

A_{ABCD} = \frac{\overline{AO}}{2}sin(\alpha) d_{2}+\frac{\overline{CO}}{2}sin(\alpha) d_{2}

raccogliamo adesso d2/2 sinα:

A_{ABCD} = \frac{d_{2}}{2}sin(\alpha)(\overline{AO}+\overline{CO})

ma AO + CO = d1. Dunque otteniamo:

A_{ABCD} = \frac{d_{2}d_{1}}{2}sin(\alpha)

come volevasi dimostrare.

Esempio di esercizio

Calcolare l’area di un quadrilatero ABCD sapendo che la diagonale AC= 33dm e la diagonale BD = 44dm. Le due diagonali formano un angolo α = 45°

Per calcolare l’area del quadrilatero è sufficiente applicare la formula:

A_{ABCD}=\frac{\overline{AC}\,\overline{BD}}{2}sin\alpha = \frac{33*44}{2}sin45°  = 33*22*\frac{\sqrt{2}}{2} =33*11*\sqrt{2}= 363\sqrt{2}\,dm^{2}
Determinare l’area di un quadrilatero qualunque utilizzando la goniometria