In questo appunto vediamo in che modo calcolare l’area di un quadrilatero qualunque utilizzando la goniometria. Per comprendere bene il contenuto di questo appunto è necessario conoscere la definizione di quadrilatero, la funzione seno e la formula per il calcolo dell’area di un triangolo qualsiasi in trigonometria. In particolare in questo appunto vedremo:
- Formula per determinare l’area di un quadrilatero qualunque in goniometria
- Dimostrazione per un quadrilatero convesso
- Dimostrazione per un quadrilatero concavo
- Esempio di esercizio
Per ulteriori argomenti di goniometria e trigonometria ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti
Formula per determinare l’area di un quadrilatero qualunque in goniometria
In trigonometria esiste una formula generale che consente di calcolare l’area di qualsiasi quadrilatero:
tale formula dice che:
l’area di un quadrilatero qualunque è data dal semiprodotto delle due diagonali per il seno dell’angolo tra essi compreso
La formula generale è dunque:
A_{ABCD} = \frac{d_{1}d_{2}}{2}sin\alpha
Nei prossimi paragrafi vedremo una dimostrazione per tale formula sia nel caso di quadrilateri convessi che nel caso di quadrilateri concavi.
Dimostrazione per un quadrilatero convesso
Un quadrilatero convesso è un quadrilatero in cui tutti gli angoli interni sono minori di 180°. In conseguenza di ciò, tutti i prolungamenti dei lati sono esterni al quadrilatero stesso. Consideriamo dunque un generico quadrilatero convesso:
Indichiamo con d1 la diagonale del quadrilatero che congiunge i vertici A e C e con d2 la diagonale del quadrilatero che congiunge i vertici B e D. Le due diagonali si incontrano nel punto O e formando due angoli di ampiezza α e due angoli di ampiezza π-α. Le diagonali dividono inoltre il quadrilatero in 4 triangoli: AOB; BOC; COD; AOD. Possiamo dunque esprimere l’area del quadrilatero come somma delle aree di questi 4 triangoli:
A_{ABCD} = A_{AOB}+A_{BOC}+A_{COD}+A_{AOD}
Ma sappiamo dalla trigonometria che l’area di un generico triangolo è data dal semiprodotto prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso. Dunque l’area del triangolo AOB sarebbe ad esempio:
A_{AOB} = \frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\pi-\alpha)
allo stesso modo possiamo scrivere le aree degli altri tre triangoli:
A_{BOC} =\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) \\\,\\A_{COD} =\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\pi -\alpha) \\\,\\A_{DOA} =\frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\alpha) \\\,\\
sostituiamo le formule ottenute in quella del quadrilatero:
A_{ABCD} = A_{AOB}+A_{BOC}+A_{COD}+A_{AOD} = \\\,\\ =\frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\pi-\alpha) +\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) +\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\pi -\alpha) +\frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\alpha) \\\,\\
si noti adesso che una delle proprietà degli archi associati ci dice che:
sin(\pi -\alpha) = sin\alpha
dunque possiamo riscrivere la formula sostituendo al seno di π-α il seno di α:
A_{ABCD} = \frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\alpha) +\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) +\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\alpha) +\frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\alpha) \\\,\\
Adesso eseguiamo dei raccoglimenti parziali per i primi due membri e per gli ultimi due. Nei primi due raccogliamo il termine BO/2 per il seno di α, mentre negli ultimi due il termine DO/2 per il seno di α:
A_{ABCD} = \frac{\overline{BO}}{2}sin(\alpha) \left( \overline{AO} +\overline{CO}\right) +\frac{\overline{DO}}{2}sin(\alpha) \left( \overline{AO} +\overline{CO}\right)
adesso guardiamo la figura e verifichiamo a cosa corrisponde la somma di AO e CO. La loro somma corrisponde esattamente alla prima diagonale del quadrilatero:
d_{1}=\overline{AO}+\overline{CO}
dunque possiamo riscrivere:
A_{ABCD} = \frac{\overline{BO}}{2}sin(\alpha) d_{1} +\frac{\overline{DO}}{2}sin(\alpha) d_{1}
raccogliamo adesso il fattore d1/2sinα:
A_{ABCD} = \frac{d_{1}}{2}sin(\alpha) (\overline{BO}+\overline{DO})
ma la somma di BO e DO corrisponde alla seconda diagonale. Quindi:
A_{ABCD} = \frac{d_{1}d_{2}}{2}sin(\alpha)
come volevasi dimostrare l’area del quadrilatero è data dal semiprodotto della lunghezza delle diagonali per il seno dell’angolo tra essi compreso.
Caso particolare: area del quadrato
Si consideri il caso di un quadrato, dove le diagonali sono tra loro uguali e l’angolo fra essi compreso è 90°. Ciò comporta che il seno dell’angolo è pari a 1. L’area del quadrato sarà allora data da:
A_{quadrato} =\frac{d^{2}}{2}
Dimostrazione per un quadrilatero concavo
Verifichiamo adesso la stessa relazione anche nel caso di un quadrilatero concavo. Un quadrilatero si dice concavo quando uno dei suoi angoli interni è maggiore di 180°. La conseguenza di ciò è che la proiezione di due dei suoi lati è interno al quadrilatero stesso ed una delle diagonali è esterna al quadrilatero. Le due diagonali quindi non si incrociano. Per dimostrare la formula vista nei paragrafi precedenti sarà necessario considerare il prolungamento della diagonale interna fino a quando questo non incrocia la diagonale esterna:
Indichiamo con d1 la diagonale del quadrilatero che congiunge i vertici A e C e con d2 la diagonale del quadrilatero che congiunge i vertici B e D. La diagonale d1 ed il prolungamento della diagonale d2 si incontrano nel punto O e formando due angoli di ampiezza α e due angoli di ampiezza π-α. Possiamo identificare in questo caso l’area del parallelogramma come somma dei triangoli ABD e BDC. Ma l’area del triangolo ABD non è altro che la differenza dell’area del triangolo ABO meno l’area del triangolo ADO. Allo stesso modo l’area di BDC è data dalla differenza dell’area di BCO meno CDO. Dunque abbiamo:
A_{ABCD} = A_{ABD}+A_{BDC} =A_{ABO}- A_{ADO}+A_{BCO}-A_{CDO}
ancora una volta l’area del quadrilatero è in relazione all’area di 4 triangoli. Ma sappiamo dalla trigonometria che l’area di un generico triangolo è data dal semiprodotto prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso. Possiamo quindi riportare l’area di ciascun triangolo:
A_{ABO} =\frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\pi-\alpha)\\\,\\\\\,\\ A_{ADO} = \frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\pi-\alpha) \\\,\\\\\,\\ A_{BCO}=\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) \\\,\\\\\,\\ A_{COD}=\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\alpha)
possiamo dunque riscrivere l’area del quadrilatero come:
A_{ABCD} = \frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\pi-\alpha)-\frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\pi-\alpha) +\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) -\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\alpha)
si noti adesso che una delle proprietà degli archi associati ci dice che:
sin(\pi -\alpha) = sin\alpha
per cui possiamo semplificare la formula:
A_{ABCD} = \frac{\overline{AO}\,\overline{BO}}{2}sin(\alpha)-\frac{\overline{DO}\,\overline{AO}}{2}sin(\alpha) +\frac{\overline{BO}\,\overline{CO}}{2}sin(\alpha) -\frac{\overline{CO}\,\overline{DO}}{2}sin(\alpha)
adesso raccogliamo il fattore AO/2 sinα per i primi due termini ed il fattore CO/2 sinα per gli ultimi due:
A_{ABCD} = \frac{\overline{AO}}{2}sin(\alpha) (\overline{BO}-\overline{DO})+\frac{\overline{CO}}{2}sin(\alpha) (\overline{AO}-\overline{DO})
ma la differenza tra BO e DO è proprio pari alla diagonale d2 :
A_{ABCD} = \frac{\overline{AO}}{2}sin(\alpha) d_{2}+\frac{\overline{CO}}{2}sin(\alpha) d_{2}
raccogliamo adesso d2/2 sinα:
A_{ABCD} = \frac{d_{2}}{2}sin(\alpha)(\overline{AO}+\overline{CO})
ma AO + CO = d1. Dunque otteniamo:
A_{ABCD} = \frac{d_{2}d_{1}}{2}sin(\alpha)
come volevasi dimostrare.
Esempio di esercizio
Calcolare l’area di un quadrilatero ABCD sapendo che la diagonale AC= 33dm e la diagonale BD = 44dm. Le due diagonali formano un angolo α = 45°
Per calcolare l’area del quadrilatero è sufficiente applicare la formula:
A_{ABCD}=\frac{\overline{AC}\,\overline{BD}}{2}sin\alpha = \frac{33*44}{2}sin45° = 33*22*\frac{\sqrt{2}}{2} =33*11*\sqrt{2}= 363\sqrt{2}\,dm^{2}
