In questo appunto vediamo in che modo è possibile ricavare gli elementi di una parabola a partire dalla sua equazione. Per poter comprendere pienamente il contenuto di questo appunto è necessario conoscere la definizione della parabola e dei suoi elementi. Trovi degli appunti dedicati nei seguenti link (fuoco, vertice, direttrice e asse di simmetria). In questo appunto si vuole quindi riassumere in un unico formulario quanto già visto in altri appunti. In particolare vedremo:

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Elementi di una parabola con asse verticale: coordinate ed equazioni

Vediamo in questo paragrafo come determinare le coordinate e le equazioni degli elementi di una parabola avente asse verticale:

elementi di una parabola: parabola con asse verticale

partiamo innanzitutto dall’equazione generale di una parabola con asse verticale:

y=ax^{2}+bx+c

che altro non è che un’equazione di secondo grado in x contenente 3 coefficienti a,b e c. E’ possibile determinare dai coefficienti le equazioni e le coordinate degli elementi di una parabola. In particolare si può dimostrare che:

  • le coordinate del fuoco sono:
F\left(-\frac{b}{2a};\frac{1-\Delta}{4a}\right)

dove:

\Delta= b^{2}-4ac
  • le coordinate del vertice sono:
V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right)
  • l’equazione della direttrice è:
y=-\frac{1+\Delta}{4a}
  • l’equazione dell’asse di simmetria sarà:
x=-\frac{b}{2a}

Vediamo nel prossimo paragrafo un esempio di esercizio su come determinare gli elementi di una parabola

Esempio di esercizio

Determinare le coordinate del fuoco, del vertice, l’equazione della direttrice e dell’asse di simmetria della seguente parabola:

y=-2x^{2}+4x-5

I tre coefficienti che utilizzeremo nelle nostre formule sono dunque:

a=-2 \\\,\\ b=4\\\,\\c=-5

E’ consigliabile, inoltre, di determinare a priori il delta della parabola, quindi prima di utilizzarlo nelle varie formule:

 

\Delta= b^{2}-4ac =4^{2}-4(-2)(-5) =16-40=-24

Determiniamo adesso le coordinate del fuoco:

F\left(-\frac{b}{2a};\frac{1-\Delta}{4a}\right)\\\,\\\Rightarrow \\,\\ F\left(-\frac{4}{2(-2)};\frac{1-(-24)}{4(-2)}\right) \\\,\\\Rightarrow \\,\\F\left(1;-\frac{25}{8}\right) 

Procediamo con le coordinate del vertice (l’ascissa è uguale a quella del fuoco, per cui inutile ricalcolarla!):

V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\V\left(1;-\frac{-24}{4(-2)}\right)  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\V\left(1;-3\right) 

l’equazione della direttrice sarà invece:

y=-\frac{1+\Delta}{4a} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ y=-\frac{1+(-24)}{4(-2)} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ y=-\frac{23}{8} 

possiamo invece evitare di calcolare l’equazione dell’asse di simmetria. Il termine noto dell’equazione è identico all’ascissa del fuoco e del vertice. Ne risulta:

x=1
Elementi di una parabola con asse orizzontale: coordinate ed equazioni

Procediamo allo stesso modo del caso precedente per una parabola avente asse orizzontale:

la cui equazione generale è del tipo:

x=ay^{2}+by+c
  • si può dimostrare che in tale caso le coordinate del fuoco sono:
F\left(\frac{1-\Delta}{4a};-\frac{b}{2a}\right)

dove:

\Delta= b^{2}-4ac
  • le coordinate del vertice sono:
V\left(-\frac{\Delta}{4a};-\frac{b}{2a}\right)

l’equazione della direttrice è:

x=-\frac{1+\Delta}{4a}
  • l’asse di simmetria avrà invece equazione:
y=-\frac{b}{2a}
  • vediamo anche in questo caso un esempio di esercizio
Esempio di esercizio

Determinare le coordinate del fuoco, del vertice, l’equazione della direttrice e dell’asse di simmetria della seguente parabola:

x=y^{2}+3

Riportiamo il valore dei coefficienti della parabola:

a=1 \\\,\\ b=0 \\\,\\ c=3

il valore del delta associato sarà dunque:

\Delta= b^{2}-4ac = 0-4(1)(3)=-12

Determiniamo adesso le coordinate del fuoco:

F\left(\frac{1-\Delta}{4a};-\frac{b}{2a}\right) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ F\left(\frac{1-(-12)}{4(1)};-\frac{0}{2(1)}\right)\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ F\left(\frac{13}{4};0\right)

le coordinate del vertice invece saranno:

V\left(-\frac{\Delta}{4a};-\frac{b}{2a}\right) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\V\left(-\frac{-12}{4(1)};-\frac{0}{2(1)}\right)\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\V\left(3;0\right)

l’equazione della direttrice è data da:

x=-\frac{1+\Delta}{4a} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x= -\frac{1-12}{4(1)}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x= \frac{11}{4}

l’equazione dell’asse invece avrà il termine noto corrispondente all’ordinata del fuoco e del vertice:

y=0
Tabella riepilogativa

Riassumiamo nella seguente tabella quanto riportato nei paragrafi precedenti:

tabella riepilogativa: elementi di una parabola, coordinate ed equazioni
Determinare gli elementi di una parabola a partire dalla sua equazione
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