In questo appunto daremo una definizione di vettore e descriveremo le proprietà dei vettori. In particolare l’appunto è così strutturato:

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Definizione di vettore

Un vettore è un ente geometrico definito come un segmento “orientato” all’interno di uno spazio detto spazio vettoriale. Per poter definire in maniera univoca un vettore, è necessario che esso abbia:

  • un modulo, che rappresenta la lunghezza del segmento o la sua intensità. Il modulo è dunque la misura della lunghezza del vettore rispetto ad una unità di misura (vettore unitario o versore) ed in quanto tale, è la caratteristica che consente di poter confrontare tra loro due vettori.
  • una direzione, che identifica la retta su cui giace il vettore e ne identifica la collocazione nello spazio
  • un verso, che identifica il verso lungo il quale si “muove” il vettore ed in fisica, rappresenta il verso in cui una grandezza fisica esprime la sua azione.
  • un punto di applicazione. Il punto di applicazione è una caratteristica che vedremo essere essenziale all’applicazione in fisica dei vettori ma non è significativa nella definizione di vettore come ente matematico. Dato un oggetto, l’effetto di una grandezza fisica vettoriale su un punto dell’oggetto sarà diverso se lo stesso vettore, con medesime caratteristiche è applicato ad un punto diverso dell’oggetto
Notazione di un vettore

In generale un vettore è indicato con una lettera avente una freccia sopra di se. Se consideriamo un generico vettore v, la notazione da utilizzare sarà allora:

\overrightarrow{v}

mentre indicheremo il modulo del vettore con la notazione:

|\overrightarrow{v}|

l’utilizzo corretto della notazione è fondamentale in quanto riportare in una formula il vettore o il suo modulo ha un significato completamente diverso. Il modulo di un vettore è infatti un numero privo di direzione e verso. Sarà più facile capire questo concetto quando saranno note le operazioni tra vettori. Poiché i vettori sono definiti come segmenti orientati, spesso si utilizza una notazione che riporta gli estremi del segmento che lo rappresenta. Consideriamo ad esempio i seguenti due vettori:

saranno indicati dalla notazione:

\overrightarrow{AB} \\\,\\ \overrightarrow{DC}

dove la prima lettera indica il punto di partenza del vettore e l’ultima lettera il punto finale rispetto al verso del vettore stesso.

Vettori equipollenti

Anche tra i vettori è possibile esprimere il concetto di equivalenza. In particolare nel caso di due vettori si parla di equipollenza. Due vettori si dicono equivalenti se hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso. La definizione dunque considera equipollenti anche vettori che sono situati su rette parallele tra di loro in quanto la direzione non cambia.

Dati due vettori equipollenti, possiamo scrivere in questo modo tale relazione:

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} 

possiamo dire che valgono le seguenti proprietà:

riflessiva

un vettore è equipollente a se stesso. Possiamo scrivere tale relazione nella forma:

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} 

simmetrica

Se un vettore è equipollente ad un altro, vale il viceversa:

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}  \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} 

transitiva

quindi se un vettore è equipollente con un secondo che è a sua volta equipollente con il terzo, allora anche il primo ed il terzo saranno equipollenti:

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} , \,\,\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{EF}
Vettore nullo

Un vettore si dice nullo se il suo modulo è nullo. Il segmento che lo rappresenta non ha lunghezza e dunque il punto iniziale ed il punto finale del vettore coincidono:

\overrightarrow{AA} = 0

 Come per lo zero in matematica, una delle caratteristiche principali del vettore nullo è che sommato a qualsiasi altro vettore, lascia tale vettore invariato in modulo, direzione e verso.

Negativo di un vettore

Il negativo di un vettore è un vettore che se sommato al primo da come risultante un vettore nullo. Questo concetto sarà ancora più chiaro quando parleremo di somma vettoriale. Il negativo di un vettore ha stesso modulo, stessa direzione, ma verso opposto rispetto al primo:

Nel caso dei due vettori rappresentati in figura possiamo scrivere:

\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}

I due vettori sono detti opposti. Si ricordi ancora una volta che in queste definizioni non si sta facendo riferimento al punto di applicazione. Il punto di applicazione è fondamentale in fisica. Due vettori opposti possono dare un effetto combinato e non nullo, se applicati in due posizioni diverse di un oggetto.

Vettore unitario e versore

Per vettore unitario si intende un vettore di lunghezza unitaria. Se utilizzati per indicare una determinata direzione ed un determinato verso, sono detti versori. I versori più noti sono quelli che indicano la direzione ed il verso degli assi cartesiani nello spazio e che possono essere indicati dalle notazioni:

\widehat{x},\widehat{y},\widehat{z} \\\,\\\ \overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}


Vedremo, quando parleremo delle operazioni tra vettori, che un vettore può essere scomposto nelle sue componenti rispetto agli assi cartesiani. I versori aiutano in questo caso ad identificare la direzione ed il verso di ciascun componente in cui il vettore è stato scomposto. Dato un generico vettore v, il versore avente stessa direzione e stesso verso è dato dal rapporto del vettore stesso v per il suo modulo:

\overrightarrow{vers(\overrightarrow{v})} = \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}
Vettori concordi e vettori discordi

Due vettori si dicono concordi se hanno stessa direzione e stesso verso. Se il verso è opposto i due vettori sono discordi. Si noti che i due vettori, in tali confronti, possono avere qualsiasi modulo:

Definizione di vettore e proprietà dei vettori
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