Vediamo in questo appunto qual è la definizione di punto in geometria, le sue proprietà e la definizione di posizione di un punto rispetto ad un sistema di coordinate. In particolare in questo appunto vedremo:

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Concetto di punto in geometria

Il punto è l’ente fondamentale della geometria. In quanto tale, qualsiasi altro ente geometrico è definito come un insieme di punti accomunati da una particolare proprietà. Ad esempio:

  • Una retta è l’insieme di punti allineati in una stessa direzione
  • La circonferenza è l’insieme di punti equidistanti da un altro punto detto centro

Ma quali sono le caratteristiche principali del punto?

  • E’ indivisibile. Non esiste, infatti, altro ente geometrico di cui il punto è costituito. In tal senso, la definizione data da Euclide è stata: “il punto è ciò che non ha parti”
  • Non ha dimensioni: il punto non ha lunghezza, non ha superficie, non ha volume
  • Il punto è definito da un’unica proprietà: la posizione

Dunque, l’unica proprietà che consente di distinguere due punti è la posizione!

Nel prossimo paragrafo vedremo come è possibile determinare la posizione di un punto utilizzando un set di coordinate.

Sistema di coordinate

Nel precedente paragrafo abbiamo detto che l’unica proprietà che consente di distinguere due punti tra loro è la posizione. Avere la possibilità di definire la posizione di un punto è alla base della geometria analitica.

Per poter esprimere la posizione di un punto nel piano o nello spazio è necessario avere un sistema di riferimento, ovvero uno strumento che, come suggerisce la parola stessa, consenta di riferire la posizione del punto rispetto a dei riferimenti.

Il sistema di riferimento più noto è il sistema di riferimento Cartesiano, ovvero un sistema di riferimento costituito da rette orientate, dette assi, perpendicolari tra loro che si incontrano in un punto detto origine e da una unità di misura, ovvero una metrica, che consenta di definire la distanza tra due elementi nel sistema. Nel caso della geometria piana, il sistema di riferimento Cartesiano è detto piano Cartesiano e utilizza due assi, indicati come asse x delle ascisse (asse orizzontale) e asse y delle ordinate (asse verticale) che si incontrano in un punto detto origine.

In un sistema di questo tipo è possibile definire la posizione di qualsiasi punto nel piano semplicemente riferendo tale posizione rispetto all’origine. Ciò è possibile associando a ciascun punto una coppia di numeri, dette coordinate del punto. Poiché un punto è identificato mediante una lettera maiuscola, dato un punto A, le coordinate cartesiane che ne esprimono la posizione sono espresse mediante una notazione del tipo:

A(x_{A}, y_{A})

dove xA è detta ascissa del punto ed esprime la distanza della proiezione del punto A sull’asse delle ascisse rispetto all’origine ed yA è detta ordinata del punto ed esprime la distanza della proiezione del punto A sull’asse delle ordinate rispetto all’origine.

Poiché l’origine ha distanza nulla rispetto a se stesso, le sue coordinate saranno:

O(0,0)

Vediamo un esempio con il punto P(3,4)

punto: definizione della posizione in termini di coordinate
Definizione di punto in geometria