In questo breve appunto vediamo in cosa consiste il concetto di mediana in un triangolo generico e le sue proprietà. In particolare in questo appunto vedremo:
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Definizione della mediana
Dato un generico triangolo si definisce mediana il segmento che congiunge un vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto a tale vertice:
Specifichiamo che questa definizione va bene solo nel caso di un triangolo. In altre occasioni, come nel caso dei parallelogramma, la mediana ha una definizione diversa. Nell’immagine sopra riportata la mediana AD divide il lato BC in due parti uguali: BD e CD. Chiaramente, poiché ciascun triangolo è costituito da tre vertici e da tre lati, è sempre possibile definire 3 mediane in un triangolo. Nel prossimo paragrafo vediamo quali sono le proprietà di questo elemento geometrico.
Proprietà della mediana
Vediamo di seguito le principali proprietà delle mediane:
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- Ciascuna mediana divide il triangolo in due triangoli equivalenti. Se consideriamo la figura del precedente paragrafo, la mediana AD divide il triangolo in due triangoli che indicheremo con ABD e ACD. E’ possibile dimostrare che tali due triangoli hanno la stessa area. La dimostrazione è piuttosto semplice se consideriamo come basi BD e CD (congruenti tra loro per definizione della mediana), e che l’altezza ad essi relativa è per entrambi AH. Possiamo infatti scrivere:
A_{ABD}=\frac{1}{2}\overline{BD}\,\overline{AH} \\\,\\ A_{ACD}=\frac{1}{2}\overline{CD}\,\overline{AH} \\\,\\ \overline{BD}=\overline{CD}\\\,\\\Rightarrow \\\,\\A_{ABD}=A_{ACD}
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- Le 3 mediane di un triangolo si incontrano in un punto interno al triangolo e detto baricentro del triangolo
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- ciascuna mediana è divisa dal baricentro in due parti di cui quella contenente il vertice è doppio rispetto all’altra. Dunque, considerando l’immagine sopra riportata, possiamo scrivere le seguenti relazioni:
\overline{AO}=2\overline{DO} \\\,\\ \overline{CO}=2\overline{EO} \\\,\\\overline{BO}=2\overline{FO} \\\,\\
Potrai trovare le dimostrazioni di queste tre proprietà della mediana nell’appunto relativo al baricentro di un triangolo.
