Vediamo in questo breve appunto in che modo definire l’iperbole come luogo geometrico di punti. Definiremo anche brevemente l’iperbole come curva conica, ovvero come curva derivante dall’intersezione di un piano, sotto particolare condizioni, ed un cono a due falde.
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Definizione dell’iperbole come luogo geometrico di punti e sezione conica
L’iperbole è definita in geometria come:
il luogo geometrico di punti del piano per i quali è costante il modulo della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi
se hai già familiarizzato con l’ellisse avrai subito notato che la definizione è molto simile negli elementi se non che qui si parla della differenza delle distanze, mentre nel caso dell’ellisse si parla di somma delle distanze. Dunque, identificando con la notazione P(x,y) un generico punto appartenente all’iperbole e F1 ed F2 i suoi due fuochi, deve valere la relazione:
|\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}| = k
dove k identifica una costante. Si noti che l’utilizzo del modulo è necessario. In una iperbole, infatti, ci sono dei punti per i quali la distanza dal primo fuoco è maggiore della distanza dal secondo fuoco ed altri punti in cui la distanza dal secondo fuoco è maggiore rispetto alla distanza dal primo fuoco. Ne consegue che nel primo caso la differenza delle distanze sarebbe positiva, mentre nel secondo caso sarebbe negativa. Avremo dunque due casi:
\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}= k \\\,\\ \overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}= -k
L’utilizzo del modulo semplifica la discussione. Ma come è fatta un’iperbole? La sua forma è di questo tipo:
si tratta dunque di una curva caratterizzata da due porzioni non chiuse, dette rami, che si estendono all’infinito e che non si incontrano mai. I suoi due fuochi (segnalati nel disegno con un punto rosso), sono posizionati nelle parti concave della curva. Presi tre punti a caso appartenenti all’ellisse, valgono le seguenti uguaglianze:
|\overline{P_{1}F_{1}}-\overline{P_{1}F_{2}}|=|\overline{P_{2}F_{1}}-\overline{P_{2}F_{2}}|=|\overline{P_{3}F_{1}}-\overline{P_{3}F_{2}}|
Un’altra definizione di iperbole è quella che deriva dalle curve coniche. Essa è infatti non è altro che la curva che si genera per intersezione tra un cono a due falde ed un piano che forma con l’asse del cono a due falde un angolo, che chiameremo β, minore di α. Dove α è l’angolo che sussiste tra l’asse del cono ed una delle sue generatrici.
si noti che se il piano attraversa il cono passando per il suo vertice, allora l’iperbole degenera in una coppia di rette. Nei prossimi appunti vediamo in cosa consiste l’equazione dell’iperbole e come ottenerla e come definire dettagliatamente le sue caratteristiche.
