Definizione di funzione

In questo appunto parleremo del concetto di funzione partendo dalla sua definizione e concentrandoci nel campo dei numeri reali ed al caso di funzioni a singola variabile. Questo appunto si riferisce a chi sta affrontando un programma di analisi I ma può essere un punto di riferimento per chi sta affrontando programmi più avanzati e vuole ripassare le proprietà di una funzione.

Vediamo di seguito cosa tratteremo in questo appunto:

• Definizione di funzione
• Dominio e codominio 
• Definizione di suriettiva iniettiva e biiettiva
• Tipologia di funzioni a variabile reale e funzione composta
• Massimo e minimo di una funzione
• Monotonia

Per ulteriori appunti di analisi I ti rimandiamo al seguente indice di argomenti.

Definizione di funzione e tipologia di funzioni

Consideriamo due insiemi A e B rispettivamente costituiti da elementi x e y. Si dice che esiste una funzione tra gli elementi y e gli elementi x se esiste una legge che consente di associare ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y di B. In questo caso si dice che y è funzione di x.

Nel programma di analisi I le funzioni prese in considerazione sono funzioni in cui l’insieme di partenza A e l’insieme di arrivo B sono costituiti da numeri reali. Tali funzioni si dicono funzioni reali a variabile reale e può essere indicata da una generica lettera f:

f: A \rightarrow B \\\,\\  A \overset{f}{\rightarrow} B \\\,\\ y=f(x)

Consideriamo che ad un elemento x₁ di A corrisponda per  f un elemento y₁ dell’insieme B. L’elemento y₁ si dice immagine di x₁ e l’elemento x₁ si dice controimmagine dell’elemento y₁.

Dominio e codominio 

L’insieme A costituito da tutti gli elementi x di partenza della funzione viene definito come suo dominio. Nel caso di funzioni reali a variabile reale può essere o l’intero insieme R oppure un suo sottoinsieme. Vedremo in un appunto dedicato come determinare il dominio di una funzione

L’insieme delle immagini y degli elementi dell’insieme A si dice invece codominio della funzione. Il codominio può coincidere con l’insieme B o può essere un suo sottoinsieme.

In base a come la funzione mette in relazione l’insieme di partenza A (dominio) con l’insieme di arrivo B, possiamo definire le funzioni in:

• Suriettiva: se l’insieme delle immagini di tutti gli elementi di A corrisponde con l’insieme degli elementi y di B. In questo caso, possiamo scrivere:

f(A) = B

in altri termini si potrebbe scrivere:

\forall y \epsilon B \,\, \exists \, x\epsilon A \,\, t.c. \,\,\, y=f(x)

Ciò significa che l’insieme B è tale da contenere tutti gli elementi immagine degli elementi dell’insieme A. In altre parole, non esiste un elemento dell’insieme B che non sia immagine di un elemento dell’insieme A.

• Iniettiva: se ad elementi distinti dell’insieme di partenza A corrispondono elementi distinti dell’insieme di arrivo B. Possiamo quindi scrivere:

\forall \, x_{1},x_{2} \epsilon A \,\,\ t.c.   \, x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow \, f(x_{1})\neq x_{2}

Dunque a due elementi distinti dell’insieme A sono associati due elementi distinti dell’insieme B. Si noti che non è detto che tutti gli elementi di B siano immagine di elementi dell’insieme A che è invece la condizione necessaria per definire la funzione suriettiva.

• Biiettiva: se la funzione è contemporaneamente suriettiva ed iniettiva. Quando ciò accade la funzione di partenza è invertibile, ovvero sarà possibile definire una funzione inversa che ad ogni elemento di B fa corrispondere uno ed un solo elemento di A.

possiamo dunque scrivere:

B= f(A) \\\,\\ A=f^{-1}(B) 

dove f^-1 è la funzione inversa di F. Dunque una biiettiva (o biunivoca) è una funzione a cui per ogni elemento di A è associato un elemento di B e viceversa.

Tipologia di funzioni a variabile reale e funzione composta

Esistono diversi tipi di funzioni reali a variabile reale. Le possiamo distinguere nelle seguenti due categorie:

• funzioni algebriche: si tratta dell’insieme di tutte quelle funzioni in cui sono presenti operazioni di moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice. Possiamo definire le seguenti sottocategorie:
  • razionali intere: quando parliamo di polinomi del tipo

f(x) = x^{6}+3x^{2}+1

• • razionali fratta: se abbiamo il caso di una frazione algebrica del tipo:

f(x) = \frac{x^{3}-1}{2x^{2}}

• irrazionali: se compaiono operazioni di estrazione di una radice al cui argomento è presente la variabile x:

f(x) = \sqrt{x^{3}-1}

• funzioni trascendenti: si tratta di tutte quelle funzioni matematiche in cui compare un operatore al cui argomento è presente la variabile x. Esempi di funzioni trascendenti sono tutte le funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, cotangente), le funzioni logaritmica e le funzioni esponenziali.

f(x) = sin (x) \\\,\\ f(x) = cos (x)

Ci sono casi in cui per poter associare ad un elemento dell’insieme A, un elemento dell’insieme B è necessario applicare più funzioni.

un esempio di funzione composta potrebbe essere la seguente:

f(g(x))

dove y=g(x) è del tipo:

g(x) = x^{2}-3

e f(y) è invece del tipo:

f(y) = \sqrt{y}

Per cui:

f(g(x)) = \sqrt{x^{2}-3}

Massimo e minimo 

Quando consideriamo il caso di una funzione reale a variabili reali, il suo codominio è un insieme di numeri reali ed in quanto tale possiamo riscontrare tutte le caratteristiche di un insieme di numeri reali. Alla funzione si associano le caratteristiche del suo codominio.

Ad esempio:

• Se il codominio è limitato superiormente o inferiormente allora la funzione si dice rispettivamente limitata superiormente o inferiormente. L’estremo superiore ed inferiore del codominio, e quindi della funzione, si indicano con sup(f(x)) e inff(x).
• Se il codominio possiede un valore x di massimo o di minimo si dice che la funzione possiede un massimo assoluto o un minimo assoluto. In particolare:
  • Il punto x₀ è un punto di massimo assoluto se:

\forall\, x \,\epsilon \,Dom(f(x)),  \,f(x)\leq f(x_{0})

• • Il punto x₀ è un punto di minimo assoluto se:

\forall\, x \,\epsilon \,Dom(f(x)),  \,f(x)\geq f(x_{0})

Pensiamo ad esempio ad una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y la cui equazione è del tipo:

y=ax^{2}+bx+c

Ricorderai che dalla sua equazione è possibile ricavare le coordinate del vertice. Avremo che:

y_{V} = -\frac{b^{2}-4ac}{4a}

se il parametro a è positivo allora il vertice della parabola è un punto di minimo assoluto della parabola, ovvero

\forall x \epsilon R, f(x) \geq y_{V}

La parabola in questo caso risulta limitata inferiormente ma non superiormente. Se a è negativo allora il vertice è un punto di massimo assoluto, ovvero

\forall x \epsilon R, f(x) \leq y_{V}

La parabola in questo caso risulta limitata superiormente ma non inferiormente.

Vedremo in futuro che è possibile definire dei massimi o minimi locali della funzione, ovvero dei valori che risultano massimi o minimi solo in una porzione del codominio, ovvero in un intorno del punto di massimo o di minimo locale.

Monotonia 

E’ possibile classificare le funzioni anche considerando il proprio andamento nell’intero dominio o in parte di esso attraverso il concetto di monotonia di una funzione.

In particolare, una funzione si dice

• monotona crescente se

\forall x_{1}, x_{2} \, \epsilon \, Dom(f(x)) \, t.c. \, x_{1} < x_{2}  \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})

• Si noti che se f(x₁) <= f(x₂) allora la funzione si dice monotona non decrescente
• monotona decrescente se

\forall x_{1}, x_{2} \, \epsilon \, Dom(f(x)) \, t.c. \, x_{1} > x_{2}  \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})

• Si noti che se f(x₁) >= f(x₂) allora la funzione si dice monotona non crescente

Non tutte le funzioni hanno un andamento monotono globale, anzi, la maggior parte di esse non mostra un andamento globale. Tuttavia, è possibile identificare degli intervalli del dominio in cui la funzione mostra localmente andamenti monotoni.

Per cui dato un intervallo I sottoinsieme del dominio di f(x) possiamo dire che la funzione si dice:

• monotona crescente sull’intervallo I se

\forall x_{1}, x_{2} \, \epsilon \, I \, t.c. \, x_{1} < x_{2}  \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})

• Si noti che se f(x₁) <= f(x₂) allora la funzione si dice monotona non decrescente sull’intervallo I
• monotona decrescente sull’intervallo I se

\forall x_{1}, x_{2} \, \epsilon \, I \, t.c. \, x_{1} > x_{2}  \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})

• Si noti che se f(x₁) >= f(x₂) allora la funzione si dice monotona non crescente sull’intervallo I