In questo appunto vediamo in cosa consiste la definizione della parabola sia come luogo geometrico di punti che come sezione conica. Conoscere la definizione della parabola è fondamentale per comprendere ad esempio l’origine della sua equazione. Il seguente appunto è dunque così strutturato:
- Definizione della parabola come luogo geometrico di punti
- Definizione della parabola come sezione conica
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Definizione della parabola come luogo geometrico di punti
Definire una curva come luogo geometrico di punti significa individuare una proprietà geometrica che è comune a ciascun punto facente parte della curva stessa. Esiste dunque anche una definizione della parabola come luogo geometrico di punti. Tale definizione afferma che:
La parabola è un luogo geometrico di punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice della parabola.
proviamo dunque a rappresentare graficamente cosa si intende con questa definizione:
Dunque dato un punto generico punto P appartenente alla parabola e chiamato con F il suo fuoco e con H la proiezione del punto P sulla direttrice, deve verificarsi la relazione:
\overline{PF} = \overline{PH}
Esprimendo la distanza PF utilizzando la formula della distanza tra i due punti P ed F ed utilizzando la formula della distanza di un punto da una retta per calcolare la lunghezza PH è possibile ricavare l’equazione della parabola. Troverai l’intero svolgimento al seguente link.
Definizione della parabola come sezione conica
Esiste un’altra definizione della parabola come curva conica. Una curva conica è una curva che deriva dall’intersezione di un piano con un cono a due falde. Un cono a due falde è una porzione di spazio definita da una retta detta asse del cono e due rette dette generatrici che formano con l’asse del cono un angolo che potremmo indicare on la lettera α. La rotazione intorno all’asse del cono delle due rette generatrici che definisce nello spazio il cono a due falde. Le curve coniche si ottengono dall’intersezione di un piano con il cono a due falde.
Una parabola si ottiene ogni qual volta un piano parallelo ad una delle generatrici interseca la superficie del cono a due falde.
Il piano dunque deve formare con l’asse del cono un angolo pari ad α. Poiché tale definizione è difficile da immaginare, aiutiamo la comprensione con un’immagine:
come si evince dalla figura, la parabola è dunque l’insieme dei punti in comune la superficie del cono ed il piano quando questo è parallelo ad una delle rette generatrici.
