In questo appunto vediamo quali sono i criteri di similitudine dei triangoli. Per poter comprendere a fondo il contenuto di questo appunto è necessario conoscere a fondo le proprietà di un triangolo tra le quali la somma degli angoli interni (180°) e la loro classificazione e i criteri di congruenza. Nel seguente appunto vediamo:
- Quando due triangoli si dicono simili
- Primo criterio di similitudine
- Secondo criterio di similitudine
- Terzo criterio di similitudine
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Quando due triangoli si dicono simili
In questo appunto vedremo quali sono i criteri di similitudine dei triangoli. Ma prima di descriverli nel dettaglio è importante capire quando due triangoli si dicono simili. Osserviamo la seguente figura:
Abbiamo tre triangoli: ABC; A’B’C’; A”B”C”. Osservandoli attentamente possiamo notare che i primi due triangoli hanno qualcosa in comune mentre il terzo triangolo è totalmente diverso. Ma cosa accomuna ABC e A’B’C’? I due triangoli hanno la stessa forma pur essendo le dimensioni diverse. I due triangoli sono di fatto due triangoli simili e questo accade perché sono verificate le seguenti due condizioni:
- I tre angoli dei triangoli sono ordinatamente congruenti tra loro. Ciò vuol dire che:
C\widehat{A}B = C'\widehat{A'}B' \\\,\\A\widehat{B}C = A'\widehat{B'}C' \\\,\\B\widehat{C}A = B'\widehat{C'}A' \\\,\\
- i tre lati sono ordinatamente proporzionali tra loro. Ciò vuol dire che:
\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = k
Dunque, il rapporto tra lati corrispondenti è pari ad una costante che indicheremo con k. Se k=1 accade che i due triangoli oltre ad essere simili si dicono congruenti. La proporzionalità tra i lati ha effetti anche su altre dimensioni e misure dei due triangoli.
- per ciascuna delle tre altezze riferita a uno dei lati si verifica che la proporzionalità è mantenute:
\frac{h}{h'}=k
la proporzionalità è mantenuta nel rapporto tra i due perimetri:
P' = \overline{A'B'} + \overline{B'C'} + \overline{A'C'} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AC} = k\,\overline{A'B'} + k\,\overline{B'C'} + k\,\overline{A'C'} = k(\overline{A'B'} + \overline{B'C'} + \overline{A'C'}) = kP' \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{P}{P'}=k
il rapporto tra le aree è invece pari al quadrato della costante k di proporzionalità tra i lati:
A'= h'*\overline{A'B'}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\A= h*\overline{AB} = kh'*k\,\overline{A'B'} = k^{2} h'*\overline{A'B'} = k^{2}A' \\\,\\ \frac{A}{A'}=k^{2}
Nei prossimi paragrafi vedremo che esistono 3 criteri che consentono dire che due triangoli sono tra loro simili.
Primo criterio di similitudine
Il primo dei criteri di similitudine afferma che:
Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti
Dunque il criterio afferma che è necessario sapere che due angoli dei triangoli sono ordinatamente congruenti per poter affermare che i due triangoli sono simili. Dimostriamo tale criterio di congruenza considerando i seguenti due triangoli:
Consideriamo i due triangoli ABC e A’B’C aventi ordinatamente congruenti due angoli.
Ipotesi
C\widehat{A}B =C'\widehat{A'}B' \\\,\\ B\widehat{C}A =B'\widehat{C'}A'
Tesi
I due triangoli sono simili
Dimostrazione
Partiamo subito da una considerazione. Dal teorema degli angoli interni di un triangolo, possiamo facilmente dimostrare che i due triangoli hanno anche il terzo angolo congruente. Questa considerazione non è indispensabile ai fini della dimostrazione che andremo a fare ma serve a capire perché l’enunciato del teorema richiede come requisito minimo che due angoli e non tre siano congruenti.
Procediamo con la dimostrazione e facciamo una prima ipotesi. Ipotizziamo che i due triangoli abbiano congruenti il lato compreso tra i due angoli congruenti. Per il secondo criterio di congruenza allora i due triangoli sono congruenti e di conseguenza anche simili. Dimostrato questo primo semplice caso, possiamo passare a quello più generico nel quale i due lati AC e A’C’ siano diversi tra loro. In questa dimostrazione poniamo:
\overline{AC}< \overline{A'C'}
come tra l’altro suggerisce la figura sopra riportata. Individuiamo sul lato A’C’ un punto P tale che la sua distanza da A sia uguale alla lunghezza del lato AC:
\overline{A'D}=\overline{AC}
e tracciamo dal punto D la retta parallela al lato B’C’ che incontrerà il lato A’B’ nel punto E:
Adesso, possiamo considerare le rette passanti da DE e B’C’ come due rette parallele tagliate da una trasverale (lato A’C’). Ne consegue che gli angoli in C’ e in D siano due angoli corrispondenti e di conseguenza saranno due angoli congruenti:
B'\widehat{C'}A' =E\widehat{D}A'
Consideriamo ancora le due rette parallele tagliate dalle trasversali A’C’ e A’B’, per il teorema di Talete possiamo scrivere la seguente proporzione:
\overline{A'C'}:\overline{A'D} = \overline{A'B'}:\overline{A'E}
Adesso consideriamo i due triangoli ABC e A’ED. Possiamo dire per il secondo criterio di congruenza che i due triangoli sono congruenti avendo un lato (AC e A’D) e i due angoli adiacenti congruenti. Dunque possiamo sostituire nella proporzione i lati appartenenti al triangolo ABC- La proporzione diventa:
\overline{A'C'}:\overline{AC} = \overline{A'B'}:\overline{AB}
Che possiamo riscrivere come:
\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} =k
Abbiamo così dimostrato che i due triangoli hanno tra loro due lati proporzionali tra loro. Per poter dimostrare la similitudine tra i due triangoli occorre ancora dimostrare che anche per il terzo lato la proporzionalità è soddisfatta. Individuiamo allora un punto F sul lato A’C’ la cui distanza dal punto C’ sia uguale alla lunghezza del lato AC:
\overline{FC'}=\overline{AC}
Dal punto F mandiamo come la parallela al lato A’B’ che incontra il lato B’C’ nel punto G:
Come fatto precedentemente possiamo dire che gli angoli in A’ e in F sono congruenti in quanto angoli corrispondenti di due rette parallele tagliate da una trasversale, e che per il teorema di Talete valgono le seguenti proporzioni:
\overline{A'C'}:\overline{FC'}=\overline{B'C'}:\overline{C'G}
ma poiché per il secondo criterio di congruenza i due triangoli ABC e C’FG sono congruenti, possiamo sostituire i lati di ABC nella proporzione:
\overline{A'C'}:\overline{AC}=\overline{B'C'}:\overline{BC}
che possiamo riscrivere in:
\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}=k'
Confrontiamo le due proporzioni ottenute. In entrambe si riporta il rapporto tra A’C’ e AC e nella prima proporzione questo è uguale a k e nella seconda a k’. Ma ciò non è possibile a meno che k=k’. Risulta dunque che
\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}=k' = k =\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}
Il che equivale a dire che:
\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}= \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=k
Dunque tutti e tre i lati sono in proporzione! I due triangoli sono dunque simili. Ecco dimostrato il primo criterio di similitudine!
Il primo criterio di similitudine ha dei corollari associati ai diversi tipi di triangoli:
Primo corollario: Tutti i triangoli equilateri sono simili! Infatti tutti i triangoli equilateri hanno ciascun angolo pari a 60°
Secondo corollario: Due triangoli rettangoli con un angolo acuto corrispondente congruente sono simili
Terzo corollario: due triangoli isosceli, con gli angoli al vertice congruenti, sono simili.
Secondo criterio di similitudine
Il secondo dei criteri di similitudine afferma che:
Se due triangoli hanno due lati ordinatamente proporzionali e gli angoli fra essi compresi uguali allora sono simili
Dimostriamo nel seguito il secondo criterio di similitudine prendendo in considerazione i seguenti due triangoli:
Ipotesi
C\widehat{A}B = C'\widehat{A'}B' \\\,\\\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{AB}:\overline{A'B'}
Tesi
I due triangoli sono simili
Dimostrazione
Come fatto per il primo criterio, partiamo dal caso limite in cui AC sia congruente ad A’C’. Ne risulta che il rapporto tra AC e A’C’ sia pari ad 1. Di conseguenza anche il rapporto tra AB e A’B’ sarà pari ad 1. Dunque anche AB e A’B’ saranno tra loro congruenti. Abbiamo dunque due triangoli aventi due lati congruenti e l’angolo fra essi compreso congruente. Allora per il primo criterio di congruenza, i due angoli sono congruenti e di conseguenza simili.
Vediamo adesso il secondo caso in cui
\overline{AC}< \overline{A'C'}
sul lato A’C’ individuiamo un punto D tale che la sua distanza da A’ sia congruente ad AC. Allo stesso modo sul lato A’B’ individuiamo un punto E tale che la sua distanza da A’ sia congruente ad AB. Congiungiamo i punti DE:
riprendiamo adesso la proporzione riportata nella nostra ipotesi:
\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{AB}:\overline{A'B'}
ma poiché per costruzione abbiamo che AC è congruente ad A’D e AB è congruente ad A’E, possiamo sostituire A’D e A’E nella proporzione ed ottenere:
\overline{A'D}:\overline{A'C'}=\overline{A'E}:\overline{A'B'}
Questa proporzione ci dice che il segmento DE con il segmento B’C’ determina segmenti proporzionali sui lati A’C’ e A’B’. Ne consegue che DE e B’C’ sono tra loro paralleli per il teorema inverso di Talete. Ciò comporta che l’angolo in D e l’angolo in C’ siano due angoli corrispondenti e quindi congruenti:
Dunque i due triangoli A’DE e A’B’C’ hanno due angoli congruenti e per il primo principi di similitudine sono due triangoli simili. Adesso, poiché i due triangoli ABC e A’DE hanno due lati congruenti per costruzione e l’angolo fra essi compreso, essi sono congruenti per il primo principio di congruenza. Ne risulta dunque, per la proprietà transitiva, che anche ABC e A’B’C’ sono simili tra loro come volevasi dimostrare.
Corollario. Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i cateti in proporzione
Terzo criterio di similitudine
Il terzo dei criteri di similitudine afferma che:
Due triangoli sono simili se hanno tutti e tre i lati ordinatamente in proporzione
Proviamo a dimostrare il terzo principio considerando i seguenti due triangoli:
Ipotesi
\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{AB}:\overline{A'B'}=\overline{BC}:\overline{B'C'}
Tesi
I due triangoli sono simili
Dimostrazione
Partiamo dal caso più semplice in cui il lato AC sia congruente al lato A’C’. Ne risulta che il rapporto di proporzione tra AC e A’C’ è pari a 1 e questo lo sarà anche per le altre coppie di lati. Quindi i due triangoli avranno tutti e tre i lati congruenti e per il terzo principio di congruenza risulterà che i due triangoli saranno congruenti e di conseguenza simili.
Vediamo adesso il secondo caso in cui:
\overline{AC}<\overline{A'C'}
Identifichiamo sul lato A’C’ un punto D tale che la sua distanza dal vertice A’ sia tale da essere pari alla lunghezza di AB. Dal punto D tracciamo la parallela al lato B’C’ che interseca il lato A’B’ nel punto E:
Prendiamo in considerazione i due triangoli A’B’C’ e A’DE. Questi due triangoli hanno l’angolo in A’ in comune, l’angolo in D congruente all’angolo in C’. Per il primo criterio di similitudine i due triangoli possono dunque essere considerati simili. Il che significa che possiamo scrivere:
\overline{A'D}:\overline{A'C'}=\overline{A'E}:\overline{A'B'} = \overline{DE}:\overline{B'C'}
consideriamo i primi due termini della proporzione:
\overline{A'D}:\overline{A'C'}=\overline{A'E}:\overline{A'B'}
Si noti che per costruzione abbiamo scelto D in modo tale che A’D fosse uguale ad AC. Possiamo dunque sostituire A’D con AC nella proporzione:
\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{A'E}:\overline{A'B'}
Consideriamo l’ipotesi iniziale della nostra dimostrazione:
\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{AB}:\overline{A'B'}=\overline{BC}:\overline{B'C'}
Il rapporto tra AC e A’C’ è uguale al rapporto tra A’E e A’B’ nella nostra costruzione e al rapporto tra AB e A’B’ per ipotesi. Ne consegue che AB e A’E sono tra loro congruenti. Dunque possiamo scrivere:
\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{A'E}:\overline{A'B'} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{AB}:\overline{A'B'}
Allo stesso modo possiamo dimostrare che DE è congruente ad AB. Dunque ne consegue che i due triangoli ABC e A’DE hanno tutti e tre i lati ordinatamente congruenti. Dunque per il terzo principio di congruenza i due triangoli sono tra loro congruenti.
Ne consegue che se A’B’C’ è simile ad A’DE, per la proprietà transitiva sarà simile anche al triangolo ABC come volevasi dimostrare.
