In questo appunto vediamo quali sono i criteri di similitudine dei triangoli. Per poter comprendere a fondo il contenuto di questo appunto è necessario conoscere a fondo le proprietà di un triangolo tra le quali la somma degli angoli interni (180°) e la loro classificazione e i criteri di congruenza. Nel seguente appunto vediamo:

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Quando due triangoli si dicono simili

In questo appunto vedremo quali sono i criteri di similitudine dei triangoli. Ma prima di descriverli nel dettaglio è importante capire quando due triangoli si dicono simili. Osserviamo la seguente figura:

criteri di similitudine: quando due triangoli si dicono simili

Abbiamo tre triangoli: ABC; A’B’C’; A”B”C”. Osservandoli attentamente possiamo notare che i primi due triangoli hanno qualcosa in comune mentre il terzo triangolo è totalmente diverso. Ma cosa accomuna ABC e A’B’C’? I due triangoli hanno la stessa forma pur essendo le dimensioni diverse. I due triangoli sono di fatto due triangoli simili e questo accade perché sono verificate le seguenti due condizioni:

  • I tre angoli dei triangoli sono ordinatamente congruenti tra loro. Ciò vuol dire che:

 

C\widehat{A}B = C'\widehat{A'}B' \\\,\\A\widehat{B}C = A'\widehat{B'}C' \\\,\\B\widehat{C}A = B'\widehat{C'}A' \\\,\\
  • i tre lati sono ordinatamente proporzionali tra loro. Ciò vuol dire che:
\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = k

Dunque, il rapporto tra lati corrispondenti è pari ad una costante che indicheremo con k. Se k=1 accade che i due triangoli oltre ad essere simili si dicono congruenti. La proporzionalità tra i lati ha effetti anche su altre dimensioni e misure dei due triangoli.

  • per ciascuna delle tre altezze riferita a uno dei lati si verifica che la proporzionalità è mantenute:
\frac{h}{h'}=k

la proporzionalità è mantenuta nel rapporto tra i due perimetri:

 P' = \overline{A'B'} + \overline{B'C'} + \overline{A'C'} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AC}  = k\,\overline{A'B'} + k\,\overline{B'C'} + k\,\overline{A'C'} = k(\overline{A'B'} + \overline{B'C'} + \overline{A'C'}) = kP' \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{P}{P'}=k

il rapporto tra le aree è invece pari al quadrato della costante k di proporzionalità tra i lati:

A'= h'*\overline{A'B'}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\A= h*\overline{AB} = kh'*k\,\overline{A'B'} = k^{2} h'*\overline{A'B'} = k^{2}A' \\\,\\ \frac{A}{A'}=k^{2}

Nei prossimi paragrafi vedremo che esistono 3 criteri che consentono dire che due triangoli sono tra loro simili.

Primo criterio di similitudine

Il primo dei criteri di similitudine afferma che:

Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti

Dunque il criterio afferma che è necessario sapere che due angoli dei triangoli sono ordinatamente congruenti per poter affermare che i due triangoli sono simili. Dimostriamo tale criterio di congruenza considerando i seguenti due triangoli:

criteri di similitudine: primo criterio

Consideriamo i due triangoli ABC e A’B’C aventi ordinatamente congruenti due angoli.

Ipotesi

C\widehat{A}B =C'\widehat{A'}B' \\\,\\ B\widehat{C}A =B'\widehat{C'}A'

Tesi

I due triangoli sono simili

Dimostrazione

Partiamo subito da una considerazione. Dal teorema degli angoli interni di un triangolo, possiamo facilmente dimostrare che i due triangoli hanno anche il terzo angolo congruente. Questa considerazione non è indispensabile ai fini della dimostrazione che andremo a fare ma serve a capire perché l’enunciato del teorema richiede come requisito minimo che due angoli e non tre siano congruenti.

Procediamo con la dimostrazione e facciamo una prima ipotesi. Ipotizziamo che i due triangoli abbiano congruenti il lato compreso tra i due angoli congruenti. Per il secondo criterio di congruenza allora i due triangoli sono congruenti e di conseguenza anche simili. Dimostrato questo primo semplice caso, possiamo passare a quello più generico nel quale i due lati AC e A’C’ siano diversi tra loro. In questa dimostrazione poniamo:

\overline{AC}< \overline{A'C'}

come tra l’altro suggerisce la figura sopra riportata. Individuiamo sul lato A’C’ un punto P tale che la sua distanza da A sia uguale alla lunghezza del lato AC:

\overline{A'D}=\overline{AC}

e tracciamo dal punto D la retta parallela al lato B’C’ che incontrerà il lato A’B’ nel punto E:

Adesso, possiamo considerare le rette passanti da DE e B’C’ come due rette parallele tagliate da una trasverale (lato A’C’). Ne consegue che gli angoli in C’ e in D siano due angoli corrispondenti e di conseguenza saranno due angoli congruenti:

B'\widehat{C'}A' =E\widehat{D}A'

 

Consideriamo ancora le due rette parallele tagliate dalle trasversali A’C’ e A’B’, per il teorema di Talete possiamo scrivere la seguente proporzione:

\overline{A'C'}:\overline{A'D} = \overline{A'B'}:\overline{A'E}

Adesso consideriamo i due triangoli ABC e A’ED. Possiamo dire per il secondo criterio di congruenza che i due triangoli sono congruenti avendo un lato (AC e A’D) e i due angoli adiacenti congruenti. Dunque possiamo sostituire nella proporzione i lati appartenenti al triangolo ABC- La proporzione diventa:

\overline{A'C'}:\overline{AC} = \overline{A'B'}:\overline{AB}

Che possiamo riscrivere come:

\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} =k

Abbiamo così dimostrato che i due triangoli hanno tra loro due lati proporzionali tra loro. Per poter dimostrare la similitudine tra i due triangoli occorre ancora dimostrare che anche per il terzo lato la proporzionalità è soddisfatta. Individuiamo allora un punto F sul lato A’C’ la cui distanza dal punto C’ sia uguale alla lunghezza del lato AC:

\overline{FC'}=\overline{AC}

Dal punto F mandiamo come la parallela al lato A’B’ che incontra il lato B’C’ nel punto G:

Come fatto precedentemente possiamo dire che gli angoli in A’ e in F sono congruenti in quanto angoli corrispondenti di due rette parallele tagliate da una trasversale, e che per il teorema di Talete valgono le seguenti proporzioni:

\overline{A'C'}:\overline{FC'}=\overline{B'C'}:\overline{C'G}

ma poiché per il secondo criterio di congruenza i due triangoli ABC e C’FG sono congruenti, possiamo sostituire i lati di ABC nella proporzione:

\overline{A'C'}:\overline{AC}=\overline{B'C'}:\overline{BC}

che possiamo riscrivere in:

\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}=k'

Confrontiamo le due proporzioni ottenute. In entrambe si riporta il rapporto tra A’C’ e AC e nella prima proporzione questo è uguale a k e nella seconda a k’. Ma ciò non è possibile a meno che k=k’. Risulta dunque che

\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}=k' = k =\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}

Il che equivale a dire che:

\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}= \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=k

Dunque tutti e tre i lati sono in proporzione! I due triangoli sono dunque simili. Ecco dimostrato il primo criterio di similitudine!

Il primo criterio di similitudine ha dei corollari associati ai diversi tipi di triangoli:

Primo corollario: Tutti i triangoli equilateri sono simili! Infatti tutti i triangoli equilateri hanno ciascun angolo pari a 60°

Secondo corollario: Due triangoli rettangoli con un angolo acuto corrispondente congruente sono simili

Terzo corollario: due triangoli isosceli, con gli angoli al vertice congruenti, sono simili.

Secondo criterio di similitudine

Il secondo dei criteri di similitudine afferma che:

Se due triangoli hanno due lati ordinatamente proporzionali e gli angoli fra essi compresi uguali allora sono simili

Dimostriamo nel seguito il secondo criterio di similitudine prendendo in considerazione i seguenti due triangoli:

criteri di similitudine: secondo criterio

Ipotesi

C\widehat{A}B = C'\widehat{A'}B' \\\,\\\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{AB}:\overline{A'B'}

Tesi

I due triangoli sono simili

Dimostrazione

Come fatto per il primo criterio, partiamo dal caso limite in cui AC sia congruente ad A’C’. Ne risulta che il rapporto tra AC e A’C’ sia pari ad 1. Di conseguenza anche il rapporto tra AB e A’B’ sarà pari ad 1. Dunque anche AB e A’B’ saranno tra loro congruenti. Abbiamo dunque due triangoli aventi due lati congruenti e l’angolo fra essi compreso congruente. Allora per il primo criterio di congruenza, i due angoli sono congruenti e di conseguenza simili.

Vediamo adesso il secondo caso in cui

\overline{AC}< \overline{A'C'}

sul lato A’C’ individuiamo un punto D tale che la sua distanza da A’ sia congruente ad AC. Allo stesso modo sul lato A’B’ individuiamo un punto E tale che la sua distanza da A’ sia congruente ad AB. Congiungiamo i punti DE:

riprendiamo adesso la proporzione riportata nella nostra ipotesi:

\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{AB}:\overline{A'B'}

ma poiché per costruzione abbiamo che AC è congruente ad A’D e AB è congruente ad A’E, possiamo sostituire A’D e A’E nella proporzione ed ottenere:

\overline{A'D}:\overline{A'C'}=\overline{A'E}:\overline{A'B'}

Questa proporzione ci dice che il segmento DE con il segmento B’C’ determina segmenti proporzionali sui lati A’C’ e A’B’. Ne consegue che DE e B’C’ sono tra loro paralleli per il teorema inverso di Talete. Ciò comporta che l’angolo in D e l’angolo in C’ siano due angoli corrispondenti e quindi congruenti:

Dunque i due triangoli A’DE e A’B’C’ hanno due angoli congruenti e per il primo principi di similitudine sono due triangoli simili. Adesso, poiché i due triangoli ABC e A’DE hanno due lati congruenti per costruzione e l’angolo fra essi compreso, essi sono congruenti per il primo principio di congruenza. Ne risulta dunque, per la proprietà transitiva, che anche ABC e A’B’C’ sono simili tra loro come volevasi dimostrare.

Corollario. Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i cateti in proporzione

Terzo criterio di similitudine

Il terzo dei criteri di similitudine afferma che:

Due triangoli sono simili se hanno tutti e tre i lati ordinatamente in proporzione

Proviamo a dimostrare il terzo principio considerando i seguenti due triangoli:

criteri di similitudine: terzo criterio

Ipotesi

\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{AB}:\overline{A'B'}=\overline{BC}:\overline{B'C'}

Tesi

I due triangoli sono simili

Dimostrazione

Partiamo dal caso più semplice in cui il lato AC sia congruente al lato A’C’. Ne risulta che il rapporto di proporzione tra AC e A’C’ è pari a 1 e questo lo sarà anche per le altre coppie di lati. Quindi i due triangoli avranno tutti e tre i lati congruenti e per il terzo principio di congruenza risulterà che i due triangoli saranno congruenti e di conseguenza simili.

Vediamo adesso il secondo caso in cui:

\overline{AC}<\overline{A'C'}

Identifichiamo sul lato A’C’ un punto D tale che la sua distanza dal vertice A’ sia tale da essere pari alla lunghezza di AB. Dal punto D tracciamo la parallela al lato B’C’ che interseca il lato A’B’ nel punto E:

Prendiamo in considerazione i due triangoli A’B’C’ e A’DE. Questi due triangoli hanno l’angolo in A’ in comune, l’angolo in D congruente all’angolo in C’. Per il primo criterio di similitudine i due triangoli possono dunque essere considerati simili. Il che significa che possiamo scrivere:

\overline{A'D}:\overline{A'C'}=\overline{A'E}:\overline{A'B'} = \overline{DE}:\overline{B'C'}

consideriamo i primi due termini della proporzione:

\overline{A'D}:\overline{A'C'}=\overline{A'E}:\overline{A'B'}

Si noti che per costruzione abbiamo scelto D in modo tale che A’D fosse uguale ad AC. Possiamo dunque sostituire A’D con AC nella proporzione:

\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{A'E}:\overline{A'B'}

Consideriamo l’ipotesi iniziale della nostra dimostrazione:

\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{AB}:\overline{A'B'}=\overline{BC}:\overline{B'C'}

Il rapporto tra AC e A’C’ è uguale al rapporto tra A’E e A’B’ nella nostra costruzione e al rapporto tra AB e A’B’ per ipotesi. Ne consegue che AB e A’E sono tra loro congruenti. Dunque possiamo scrivere:

\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{A'E}:\overline{A'B'} \,\,\,\, \Rightarrow  \,\,\,\,\overline{AC}:\overline{A'C'}=\overline{AB}:\overline{A'B'}

Allo stesso modo possiamo dimostrare che DE è congruente ad AB. Dunque ne consegue che i due triangoli ABC e A’DE hanno tutti e tre i lati ordinatamente congruenti. Dunque per il terzo principio di congruenza i due triangoli sono tra loro congruenti.

Ne consegue che se A’B’C’ è simile ad A’DE, per la proprietà transitiva sarà simile anche al triangolo ABC come volevasi dimostrare.

Criteri di similitudine dei triangoli