In questo appunto vediamo quali sono i criteri di congruenza dei triangoli. Per poter comprendere a fondo il contenuto di questo appunto è necessario conoscere a fondo le proprietà di un triangolo tra le quali la somma degli angoli interni (180°) e la loro classificazione. Nel seguente appunto vediamo:

Cosa si intende per criteri di congruenza fra triangoli

Per comprendere l’utilità dei criteri di congruenza partiamo dal definire quando due triangoli possono dirsi congruenti. In geometria due figure si dicono congruenti quando è possibile sovrapporle perfettamente mediante un movimento rigido (traslazione o rotazione) e senza deformazione di una delle due figure. Le due figure una volta sovrapposte devono essere tali che ogni punto di una figura sia sovrapposto ad un punto della seconda figura e viceversa. Ciò accade quando le due figure hanno stessa forma e stessa dimensione

congruenza fra due poligoni

 

Se osserviamo attentamente le due figure dell’immagine sopra, abbiamo subito la sensazione che queste hanno qualcosa in comune e che possano essere perfettamente coincidenti. Per dimostrarlo potremmo stampare le immagini, ritagliarle e provarle a sovrapporle per averne conferma.

Beh nel caso dei triangoli esistono dei criteri che consentono di definire se due triangoli sono congruenti senza dover eseguire un’operazione di sovrapposizione. Tali criteri consentono mediante la conoscenza di alcune informazioni preliminari, come la misura di uno o più lati o di uno o più angoli di definire o meno la proprietà di congruenza. Vedremo nei prossimi paragrafi che esistono 3 criteri per mezzo dei quali è possibile definire o meno la congruenza di due triangoli.

Primo criterio di congruenza

Il primo criterio di congruenza afferma che:

Se due triangoli hanno due lati congruenti e l’angolo tra essi compreso, allora i due triangoli sono congruenti.

Tale criterio di congruenza non è dimostrabile e per questo si dice postulato. Euclide ne suggerisce la dimostrazione attraverso la sovrapposizione di un triangolo sul secondo. Vediamo con un esempio in cosa consiste esattamente tale criterio:

criteri di congruenza dei triangoli: primo criterio

Nell’immagine sopra sono rappresentati i due triangoli ABC e A’B’C’. Tali due triangoli soddisfano il primo criterio di congruenza in quanto:

  • Il lato AC è congruente al lato A’C’
  • Il lato BC è congruente al lato B’C’
  • L’angolo compreso tra AC e BC è congruente all’angolo compreso tra A’C’ e B’C’

Abbiamo dunque due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti. I due triangoli sono congruenti.

Secondo criterio di congruenza

Il secondo criterio di congruenza afferma che:

Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un lato ed i due angoli ad esso adiacenti sono congruenti

Consideriamo dunque i due triangoli:

criteri di congruenza dei triangoli: secondo criterio

Il secondo principio ci dice che poiché i due triangoli hanno:

  • il lato BC congruente al lato B’C’
  • L’angolo ACB, adiacente al lato BC, congruente all’angolo A’C’B’ e l’angolo ABC, anch’esso adiacente al lato BC, congruente all’angolo A’B’C’.
A\widehat{C}B \cong A'\widehat{C}'B'\\\,\\ A\widehat{B}C \cong A'\widehat{B'}C'

allora i due triangoli sono congruenti.

A differenza del primo principio è possibile dimostrare il secondo principio di congruenza.

Dimostrazione del secondo principio di congruenza

Dimostriamo il secondo principio di congruenza per assurdo. Dimostrare per assurdo vuol dire ipotizzare che la nostra tesi iniziale sia falsa ed arrivare di conseguenza ad un risultato discordante con l’ipotesi falsa. Nel caso del secondo criterio di congruenza, la nostra ipotesi sarà:

  • Se due triangolo ABC e A’B’C’ hanno un lato e gli angoli ad esso adiacenti congruenti, allora i due triangoli non sono congruenti.

Consideriamo ad esempio i due triangoli:

criteri di congruenza dei triangoli: secondo criterio dimostrazione

con:

BC \cong B'C' \\\,\\ A\widehat{C}B \cong A'\widehat{C}'B'\\\,\\ A\widehat{B}C \cong A'\widehat{B'}C'

poiché stiamo ipotizzando che i due triangoli non sono congruenti ne consegue che AB>A’B’ o che AB<A’B’. Continuiamo la nostra dimostrazione ipotizzando che AB>A’B’ (otterremmo alla fine lo stesso risultato se avessimo scelto il caso AB<A’B’). Se AB>A’B’ allora esiste un punto P interno al lato AB tale che:

PB \cong A'B' 
criteri di congruenza dei triangoli: dimostrazione secondo criterio

Allora se consideriamo i due triangoli PBC e A’B’C’ essi sono tali che:

PB \cong A'B' \\\,\\BC \cong B'C' \\\,\\  P\widehat{B}C \cong A'\widehat{B'}C'

dunque i due triangoli hanno due lati e l’angolo fra essi compreso congruenti. Ne consegue per il primo principio di congruenza che i due triangoli PBC e A’B’C’ sono congruenti. Ma se PBC e A’B’C’ sono congruenti allora:

P\widehat{C}P \cong A'\widehat{C'}B'

ma ciò non è possibile perché all’inizio della nostra dimostrazione abbiamo detto che i due triangoli sono tali che:

 A\widehat{C}B \cong A'\widehat{C}'B'

Ne consegue che, ipotizzare che ABC non sia congruente ad A’B’C’ avendo tali triangoli un lato e gli angoli ad esso adiacenti congruenti porta ad un risultato discordante. Allora i due triangoli sono congruenti ed il secondo principio di congruenza è dimostrato!

Secondo criterio di congruenza generalizzato

Il secondo criterio di congruenza generalizzato afferma che:

Due triangoli sono congruenti se hanno due angoli congruenti e qualsiasi lato

Si dice generalizzato in quanto il lato di cui è nota la congruenza non è forzatamente quello a cui sono adiacenti i due angoli. Ma come è possibile ciò? Chiamiamo con α e β i due angoli congruenti. Per entrambi i triangoli si avrà che il terzo angolo sarà dato da:

\gamma = 180°-\alpha - \beta

Ne consegue dunque che i due triangoli hanno tutti e tre gli angoli congruenti. In tal modo sarà possibile individuare due angoli adiacenti a tale lato ed applicare il secondo criterio di congruenza

Terzo criterio di congruenza

Il terzo criterio di congruenza afferma che:

Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti tutti e tre i lati in modo ordinato allora sono congruenti

Consideriamo dunque i due triangoli:

criteri di congruenza dei triangoli: terzo criterio

Il terzo criterio di congruenza ci dice che poiché i due triangoli hanno:

AC \cong A'C' \\\,\\ BC \cong B'C' \\\,\\ AB \cong A'B' 

allora i due triangoli sono congruenti. Proviamo nel prossimo paragrafo a dimostrare il terzo principio di congruenza.

Dimostrazione del terzo principio di congruenza

Consideriamo i due triangoli visti nel paragrafo precedente. Ribaltiamo A’B’C’ e posizioniamolo in modo tale che B’C’ coincida con BC. Essendo BC congruente a B’C’ questa operazione è piuttosto semplice. A questo punto uniamo A con A’:

criteri di congruenza dei triangoli: dimostrazione terzo criterio

Osservando la figura notiamo che si sono formati due triangoli: il triangolo ABA’ ed il triangolo ACA’. Questi due triangoli sono entrambi isosceli rispetto alla base AA’ in quanto hanno rispettivamente i lati obliqui congruenti:

AB \cong A'B' \\\,\\ AC \cong A'C'

Essendo tali due triangoli isosceli, ne consegue che anche gli angoli alla base saranno congruenti. Possiamo dunque scrivere per il primo triangolo che:

B\widehat{A}A' \cong B\widehat{A'}A

e per il secondo triangolo che:

C\widehat{A}A' \cong C\widehat{A'}A

date queste congruenze, ne consegue dunque che:

B\widehat{A}A' +C\widehat{A}A'  \cong B\widehat{A'}A +C\widehat{A'}A 

ma:

C\widehat{A}B = B\widehat{A}A' +C\widehat{A}A'  \\\,\\
C'\widehat{A'}B' = B\widehat{A'}A +C\widehat{A'}A  

ne consegue dunque che:

C\widehat{A}B \cong C'\widehat{A'}B'

Dunque i due triangoli hanno due angoli congruenti. Possiamo, quindi, applicare il primo principio di congruenza. Infatti i due triangoli hanno due lati e l’angolo fra essi compreso congruenti. Ecco dimostrato il terzo principio di congruenza!

Caso del triangolo rettangolo e del triangolo isoscele

Un paragrafo dedicato sui principi di congruenza meritano il triangolo rettangolo ed il triangolo isoscele. Le caratteristiche di tali triangoli fanno si che l’applicazione dei principi sia più immediata.

Triangolo rettangolo

Nell’affrontare i problemi del triangolo rettangolo bisogna ricordarsi che:

  • uno degli angoli è 90°
  • gli altri due angoli sono complementari per cui la loro somma è 90°

Ne consegue che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno:

  • i due cateti congruenti. Infatti per il primo principio di congruenza i due triangoli hanno due lati (i due cateti) e l’angolo fra essi compresso (l’angolo retto) congruenti
  • un lato (cateto e ipotenusa) e un angolo acuto congruenti. Infatti avere un angolo acuto congruente implica che i due triangoli abbiano tutti e tre gli angoli congruenti: l’angolo retto, l’angolo acuto stesso l’angolo adesso complementare. Sarà dunque sempre possibile individuare una coppia di angoli adiacenti al lato congruente. Ne consegue che i due triangoli sono congruenti per il secondo principio di congruenza
  • l’ipotenusa e uno dei cateti congruenti. Utilizzando il teorema di Pitagora è possibile dimostrare che anche il secondo cateto sarà congruente. Dunque i due triangoli sono congruenti per il terzo principio di congruenza

Triangolo isoscele

Nell’affrontare i problemi dei triangoli isosceli bisogna considerare che un triangolo isoscele è tale se ha due angoli congruenti e due lati congruenti. Solitamente, posizionando il triangolo isoscele in modo tale che il lato diverso sia la base, i due angoli congruenti sono detti angoli alla base mentre i due lati congruenti sono detti lati obliqui. In questa configurazione il terzo angolo è detto angolo al vertice. Considerando queste proprietà, quando possiamo dire che due triangoli isosceli sono congruenti? Possiamo dirlo se:

  • i due triangoli hanno un angolo ed un lato corrispondenti congruenti. Infatti, conoscere uno degli angoli del triangolo isoscele consente di conoscere contemporaneamente e corrispondentemente tutti gli altri 3 e di applicare di conseguenza il secondo criterio di congruenza considerando il lato congruenti ed i due lati ad esso adiacenti. Infatti:
    • se è noto l’angolo al vertice (che chiameremo gamma), gli angoli alla base (che chiameremo alfa) sono dati da:
\alpha = \frac{180-\gamma}{2}
    • mentre se sono noti gli angoli alla base (congruenti tra loro), l’angolo al vertice è dato da:
\gamma = 180-2\alpha
Criteri di congruenza dei triangoli
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