In questo appunto diamo una definizione alla parola angolo e vediamo in che modo è possibile classificarli in base al valore della propria ampiezza. L’appunto è strutturato nei seguenti paragrafi:

Se hai bisogno di approfondire ulteriori appunti di geometria piana ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.

Definizione di angolo

In geometria l’angolo è un elemento con una sua ben precisa definizione. Immaginiamo di avere due semirette in un piano aventi in comune il proprio punto di origine. Si definisce angolo:

la parte di piano compresa tra le due semirette.

In realtà quando due semirette hanno l’origine in comune, il piano viene suddiviso in due porzioni, ciascuna delle quali, può essere considerata un angolo:

definizione di angolo come porzione di piano delimitata da due semirette aventi l'origine in comune
Nella figura sopra, due semirette hanno l’origine in comune (punto P). In questo modo esse dividono il piano in due porzioni. Ciascuna porzione (in figura indicare con il colore giallo e azzurro) è per definizione un angolo

Misurare un angolo significherebbe, dunque, misurare una porzione di piano che ha un’estensione infinita. Poiché un piano è steso all’infinito, allora anche ciascun angolo sarà esteso all’infinito. Ma se ogni angolo ha un’estensione infinita, come possiamo discriminarli? Se ci concentriamo infatti sulla figura sopra, possiamo notare come le due semirette definiscano due angoli e come questi siano profondamente diversi tra di loro. E’ vero che entrambi si estendono all’infinito, ma uno (quello azzurro) lo fa più lentamente di un altro (quello giallo). Data l’impossibilità di definire un angolo mediante la sua area, il trucco è stato quello di misurare la posizione relativa delle due semirette. Tale posizione relativa è misurata in termini dell’ampiezza dell’angolo che è una conseguenza e non una misura della sua estensione!

ampiezza di un angolo
Come si misura l’ampiezza di un angolo

Esistono fondamentalmente due metodi con cui è possibile misurare l’ampiezza di un angolo:

  • Metodo di misura in gradi
  • Metodo di misura in radianti

Vediamo nei prossimi paragrafi su cosa si basano questi metodi di misura

Metodo di misura in gradi

Il metodo di misura in gradi è anche detto metodo sessagesimale ed è un sistema ereditato dagli antichi babilonesi che avevano notato come la posizione delle stelle si ripetesse all’incirca ogni 360 giorni. Tale sistema consente di misurare l’ampiezza di qualsiasi angolo esprimendo questa in:

  • gradi: il grado viene definito come un angolo di ampiezza pari a 1/360 rispetto all’angolo giro. Il grado si indica con il simbolo °. Il grado è un numero appartenente ai numeri naturali e dovrebbe essere compreso tra 0 e 360°. L’utilizzo di numeri oltre tale intervallo ha senso quando si ha a che fare con argomenti più complessi come le funzioni goniometriche
  • primi: un primo è la sessantesima parte di un grado. Dunque 60 primi equivalgono a un grado. I primi si indicano con il simbolo . Essi possono assumere valori interi compresi tra 0 e 59
  • secondi: un secondo è la sessantesima parte di un primo e la tremilaseicentesima parte di un grado. Dunque 60 secondi fanno un primo e 3600 secondi fanno un grado. I secondi si indicano con il simbolo . I secondi possono assumere valori, anche non interi, minori di 60.

Date le seguenti definizioni, un generico angolo è espresso nella forma:

gradi° primi' secondi''

un esempio potrebbe essere:

75°\,\, 25'\,\, 59,45''

per saperne di più su questo metodo di misura segui il link all‘appunto dedicato.

Metodo di misura in radianti

Il secondo metodo di misura più utilizzato per esprimere l’ampiezza di un angolo è il metodo di misura in radianti. Cosa significa esprimere l’ampiezza in radianti? Per capirlo è necessario conoscere aspetti della geometria più complessi come la misura della lunghezza di una circonferenza e la definizione di angolo al centro. Se non hai familiarità con questi argomenti ti consigliamo di non considerare qui e nel proseguo dell’appunto la misura dell’ampiezza in radianti.

Consideriamo una generica circonferenza avente centro nel punto O e raggio r. Su di essa costruiamo due angoli al centro che indicheremo con α1 e α2:

agli angoli α1 e α2 corrispondono due archi che abbiamo indicato in figura con l1 ed l2. Si può notare che all’aumentare dell’ampiezza dell’angolo aumenta la lunghezza dell’arco ad esso associato. Infatti possiamo dire che poiché α1 < α2 allora l1 < l2. In qualche modo allora l’ampiezza dell’angolo può essere associata a quella dell’arco corrispondente, ma quest’ultimo dipende dal raggio della circonferenza. Cosa significa ciò? Significa che se abbiamo due circonferenze con raggi diversi, ad uno stesso angolo corrispondono due archi di lunghezza diversa. L’espressione dell’ampiezza in radianti si libera dalla dipendenza del raggio attraverso la relazione:

\alpha_{rad} = \frac{l}{r}

dunque l’ampiezza espressa in radianti è il rapporto tra la lunghezza dell’arco definito dall’angolo al centro ed il raggio della circonferenza su cui tale arco insiste. Si noti che, poiché l’ampiezza dell’angolo in radianti è data dal rapporto tra due lunghezze (tra quella dell’arco e quella del raggio) allora è un numero puro e adimensionale (privo di unità di misura). Esprimere l’ampiezza in questo modo consente di avere una misura uguale per qualsiasi circonferenza.

A cosa corrisponde il radiante?

Dopo aver definito nel precedente paragrafo in cosa consiste la misura dell’ampiezza in radianti è lecito chiedersi cosa è il radiante? Ritorniamo a questo punto alla formula del paragrafo precedente e chiediamoci in quale caso l’ampiezza dell’angolo è pari ad 1 radiante. Ciò accade quando la lunghezza dell’arco, rettificato, è proprio pari al raggio:

tale ampiezza è uguale per qualsiasi circonferenza e corrisponde ad un valore in sessagesimali di:

1 rad = 57,2958°

Nel prossimo paragrafo vediamo in che modo è possibile convertire gli angoli da radianti a gradi e viceversa.

Conversione da gradi in radianti e viceversa

Vediamo adesso in che modo è possibile trasformare l’ampiezza di un angolo da gradi in radianti. Per farlo consideriamo ancora una generica circonferenza e ci chiediamo a quanto corrisponde in radianti l’angolo giro (360°). Sappiamo che all’angolo giro corrisponde un arco di lunghezza pari al perimetro della circonferenza. Ricordiamo che il perimetro della circonferenza è pari a:

P = 2\pi r

l’ampiezza dell’angolo giro in radianti è pari a:

\alpha_{rad} = \frac{l}{r} = \frac{P}{r} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi

dunque poiché sappiamo che l’angolo giro in radianti è pari a 2π, per conoscere la corrispondenza di un qualsiasi altro angolo in gradi o in radianti possiamo applicare la seguente proporzione:

2\pi: 360 = \alpha_{rad}:\alpha_{gradi}

ne consegue che, se vogliamo eseguire la conversione da gradi a radianti dobbiamo utilizzare la formula:

\alpha_{rad} = \frac{2\pi \alpha_{grad}}{360}

Viceversa, se vogliamo convertire l’ampiezza da radianti a gradi dobbiamo utilizzare la formula:

\alpha_{grad} = \frac{360*\alpha_{rad}}{2\pi}

Immaginiamo dunque di voler sapere a quanti radianti corrisponde un’ampiezza di 30°. Applichiamo la prima delle due formule:

\alpha_{rad} = \frac{2\pi 30}{360} = \frac{\pi}{6}

Si noti che nell’esprimere l’ampiezza in radianti si preferisce solitamente mantenere la forma in termini di frazioni di π. Al contrario, se volessimo sapere a quanti gradi corrisponde un quarto di π, dovremmo utilizzare la seconda formula:

\alpha_{grad} =\frac{360 \frac{\pi}{4}}{2\pi} = 45°
Convertitore online

Ecco un convertitore online che ti aiuterà nella conversione da gradi in radianti e viceversa

Tabella corrispondenza angoli principali

Vediamo di seguito una tabella che riassume in gradi ed in radianti gli angoli principali:

Tipologie di angoli

Vediamo in questo paragrafo in che modo è possibile classificare gli angoli in funzione della misura della loro ampiezza.

Angolo nullo, piatto e giro

Iniziamo con alcune tipologie di angoli che si ottengono quando le due semirette che definiscono gli angoli sono sovrapposte:

angolo giro e angolo nullo
  • Nullo: poiché le due semirette sono esattamente sovrapposte le loro posizioni coincidono. Dunque esse definiscono un angolo di ampiezza nulla, pari quindi a 0° o 0 radianti.
  • Giro: quando le due semirette sono sovrapposte, oltre all’angolo nullo, ne delimitano un altro la cui estensione coincide con l’estensione totale del piano ed il cui nome è proprio angolo giro. La sua ampiezza è 360° o 2π radianti e ci dice che le due semirette, già sovrapposte, si sovrappongono nuovamente eseguendo una rotazione completa di una delle due rispetto all’origine.
  • Piatto: se le due semirette hanno l’origine in comune, sono disposte sulla stessa retta ma sono opposte tra loro, allora danno origine a due angoli piatti:
Angolo piatto

Si noti che esso è esattamente la metà di uno giro ed ha quindi ampiezza di 180° o π radianti.

Angolo acuto, retto e ottuso

Proseguiamo con la definizione di angoli ottuso, retto e acuto:

  • Acuto: si tratta di un angolo la cui ampiezza è minore di 90° o di π/2 radianti.
  • Retto: si tratta di un angolo la cui ampiezza è esattamente uguale a 90° o a π/2 radianti. Data questa definizione esso è sempre maggiore di qualsiasi angolo acuto. Esso è la metà di uno piatto ed un quarto di uno giro.
  • Ottuso: si tratta di un angolo la cui ampiezza è compresa tra 90° e 180° o tra π/2 e π radianti. Secondo questa definizione esso è sempre maggiore di uno retto ma è sempre minore di uno piatto.

Rappresentiamo graficamente questi tre tipi di angoli:

angolo acuto, angolo retto e angolo ottuso
Angoli complementari, supplementari ed esplementari

Esiste anche una classificazione che interessa coppie di angoli in base all’ampiezza della loro somma. Esistono tre tipi di coppie di angoli: complementari, supplementari ed esplementari a seconda che la loro somma restituiscano un angolo retto, piatto o giro:

  • Angoli complementari: si tratta di angoli la cui somma delle ampiezze restituisce un angolo retto (90° o π/2 radianti). Forzatamente tali angoli devono essere acuti per poter soddisfare tale definizione. Esempi di angoli complementari sono:
30°+60° =90° \\\,\\
25°+65°=90°\\\,\\
45°+45°=90°
  • Angoli supplementari: si tratta di angoli la cui somma delle ampiezze restituisce un angolo piatto (180° o π radianti). Due angoli supplementari possono essere o due angoli retti oppure uno ottuso e uno acuto. Non è possibile avere due angoli acuti o due angoli ottusi supplementari. Questa affermazione è facile da dimostrare. La somma delle ampiezze di due angoli acuti sarà per forza minore di 180°, mentre la somma delle ampiezze di due angoli ottusi sarà per forza maggiore di 180°. Esempi di angoli supplementari sono:
90°+90°= 180° \\\,\\60°+120°= 180° \\\,\\135°+45°= 180° \\\,\\
  • Angoli esplementari: si tratta di angoli la cui somma restituisce un angolo giro (360° o 2π radianti). Esempi di angoli esplementari sono:
180°+180°= 360° \\\,\\60°+320°= 360° \\\,\\270°+90°= 360° \\\,\\

Rappresentiamo graficamente questa classificazione:

angoli complementari, supplementari ed esplementari
Cosa è un angolo e quanti tipi di angoli esistono?
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