Come riconoscere il tipo di iperbole

In questo breve appunto vediamo come riconoscere il tipo di iperbole a partire dalla sua equazione. Per comprendere al meglio il contenuto di questo appunto è necessario conoscere la definizione di iperbole e equazione canonica di un’iperbole. In particolare qui vedremo:

• Equazione canonica di iperbole con fuochi allineati orizzontalmente e centro nell’origine degli assi
• Equazione canonica di iperbole con i fuochi allineati verticalmente e centro nell’origine degli assi
• Traslazione dell’iperbole
• Iperbole equilatera e riferimento rispetto agli asintoti
• Funzione omografica per rappresentare un’iperbole equilatera traslata
• Tabella riepilogativa per riconoscere il tipo di iperbole

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Equazione canonica di iperbole con fuochi allineati orizzontalmente e centro nell’origine degli assi

Per capire come riconoscere il tipo di iperbole dalla sua equazione partiamo dal caso più semplice di iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente e centro nell’origine degli assi:

un’iperbole di questo tipo ha equazione generica di tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Un’equazione di questo tipo è caratterizzata da:

• un termine x² al quale viene sottratto un termine y² . Il secondo membro vale +1 . Non esistono termini di primo grado x e y o termini misti xy.
• a e b rappresentano le lunghezze rispettivamente del semiasse trasverso e del semiasse non trasverso
• Non importa se a>b o se a<b o a=b. In tutti i casi l’iperbole avrà sempre i fuochi allineati orizzontalmente. Questo punto è fondamentale e lo esplicitiamo in quanto per l’ellisse, normalmente studiata prima dell’iperbole, non è così.

Dunque, le seguenti equazioni sono tutte rappresentative di un’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente ed avente centro nell’origine degli assi:

\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{6}=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\, a^{2}=5 ;b^{2}=6 \\\,\\\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{2}=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\, a^{2}=8 ;b^{2}=3 \\\,\\3x^{2}-5y^{2}=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\, a^{2}=\frac{1}{3} ;b^{2}=\frac{1}{5} \\\,\\

Equazione canonica di iperbole con i fuochi allineati verticalmente e centro nell’origine degli assi

Vediamo adesso il cado di un’iperbole con i fuochi allineati verticalmente e centro coincidente con l’origine degli assi:

l’equazione canonica di questo tipo di iperbole può essere espressa in due modi:

\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=-1 \\\,\\ \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1

Nel primo modo:

• al termine x² al quale viene sottratto un termine y² e il secondo membro vale -1. Non esistono termini in primo grado di x e y o termini misti xy
• a e b rappresentano le lunghezze rispettivamente del semiasse trasverso e del semiasse non trasverso
• Non importa se a>b o se a<b o a=b. In tutti i casi l’iperbole avrà sempre i fuochi allineati verticalmente.

Nel secondo modo:

• al termine y² al quale viene sottratto un termine x² e il secondo membro vale 1. Non esistono termini in primo grado di x e y o termini misti xy
• a e b rappresentano le lunghezze rispettivamente del semiasse trasverso e del semiasse non trasverso
  Non importa se a>b o se a<b o a=b. In tutti i casi l’iperbole avrà sempre i fuochi allineati verticalmente.

E’ chiaro che è possibile passare da una forma all’altra semplicemente moltiplicando entrambi i membri per -1. In alcuni testi di matematica si preferisce rappresentare questo tipo di iperbole con la prima formula, in alcuni libri di testo si preferisce la seconda. Vediamo adesso alcuni esempi di iperbole con i fuochi allineati verticalmente e centro nell’origine degli assi:

\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{3}=1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\, a^{2}=4;b^{2}=3 \\\,\\\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=-1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\, a^{2}=3;b^{2}=4 \\\,\\ 2x^{2}-3y^{2}=-1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\, a^{2}=\frac{1}{3};b^{2}=\frac{1}{2}

Traslazione dell’iperbole

Un’iperbole traslata è un’iperbole che ha i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente ma il cui centro non coincide con l’origine degli assi:

Nel caso di un’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente, l’equazione generica dell’iperbole traslata è del tipo:

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

le caratteristiche di tale equazione sono:

• questa volta i termini x² e y² sono sostituiti con il quadrato di un binomio. Ciò significa che possono comparire termini di primo grado in x e in y ma non termini misti xy. Al quadrato del binomio con la variabile x viene sottratto il quadrato del binomio con la variabile y.
• a e b rappresentano le lunghezze rispettivamente del semiasse trasverso e del semiasse non trasverso
• Non importa se a>b o se a<b o a=b. In tutti i casi l’iperbole avrà sempre i fuochi allineati orizzontalmente. Questo punto è fondamentale e lo esplicitiamo in quanto per l’ellisse, normalmente studiata prima dell’iperbole, non è così.

Nel caso invece di un’iperbole con i fuochi allineati verticalmente, l’equazione generica dell’iperbole traslata è generalmente rappresentata con una delle seguenti due forme:

\frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=-1\\\,\\\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}=1

Come per l’iperbole con i fuochi allineati verticalmente e centro nell’origine degli assi, le due forme sono equivalenti ed è possibile passare dall’una all’altra moltiplicando per -1. L’unica variante è per l’appunto la presenza del quadrato di un binomio in x e in y al posto di x² e y².

Iperbole equilatera e riferimento rispetto agli asintoti

L’iperbole equilatera è un particolare tipo di iperbole avente la lunghezza dei due semiassi a e b coincidente. Dunque la sua equazione è facilmente riconoscibile in quanto ha tutte le caratteristiche di una delle equazioni viste precedente ma con l’unica proprietà aggiuntiva che a=b.

Quando l’iperbole equilatera è riferita rispetto ai propri asintoti, la sua equazione assume la forma del tipo:

xy=k

dove k può assumere sia un valore positivo che un valore negativo:

Funzione omografica per rappresentare un’iperbole equilatera traslata

Si può dimostrare che l’iperbole equilatera traslata, quindi avente il centro non nell’origine degli assi, può essere rappresentata da una funzione omografica. Un appunto completo sulla funzione omografica è disponibile al seguente link. La funzione omografica è una funzione del tipo:

y= \frac{ax+b}{cx+d}

Affinché tale funzione possa rappresentare un’iperbole devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

• i coefficienti a,b,c,d siano numeri reali
• il coefficiente c sia diverso da zero. In caso contrario la funzione rappresenterebbe una retta:

y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}

• il prodotto ad sia diverso da bc. In caso contrario la funzione rappresenterebbe una retta parallela all’asse delle ascisse e non più un’iperbole equilatera traslata.

Tabella riepilogativa

Di seguito una tabella riepilogativa che consente di riconoscere il tipo di iperbole a seconda delle caratteristiche della sua equazione: