Come individuare la retta tangente ad una parabola e passante per un punto

In questo appunto vedremo in che modo calcolare l’equazione della retta tangente ad una parabola e passante per un punto. Abbiamo già introdotto la condizione di tangenza rispetto quando abbiamo parlato della posizione relativa di una retta rispetto ad una parabola. Una retta è tangente ad una parabola se e solo se con essa ne condivide un unico punto del piano cartesiano. Nel seguito di questo appunto approfondiremo il concetto di tangenza mostrando il modo in cui individuare l’equazione di tale retta. Vedremo in particolare:

• Per quali punti è possibile avere una retta tangente alla parabola
  
  
• Formula generale per il calcolo del coefficiente angolare della retta tangente
  
  
• Metodo passo passo per il calcolo dell’equazione della retta tangente
  
  
• Formula di sdoppiamento: come calcolare la retta tangente se il punto P appartiene alla parabola
  
  
• Formula di sdoppiamento: come calcolare la retta tangente se il punto P è esterno alla parabola
  
  
• Curiosità
  
  
• Esempi

Per quali punti è possibile avere una retta tangente alla parabola

Data una parabola ed un punto nel piano cartesiano, è sempre possibile calcolare l’equazione di una retta tangente alla parabola? La risposta è no. Esistono tre possibili casi:

• Se il punto è interno alla parabola, non esistono rette, passanti per esso, tangenti alla parabola. Tutte le rette infatti saranno secanti
• Quando il punto è esterno alla parabola, esistono sempre due rette passanti per tale punto tangenti alla parabola
• Se il punto appartiene alla parabola esiste una ed una sola retta passante per tale punto e tangente alla parabola

Vedremo nel seguito che queste tre condizioni coincideranno con i tre possibili casi del segno del discriminante di un’equazione di secondo grado. Vediamo graficamente questi 3 casi:

Nei prossimi paragrafi vedremo in che modo è possibile calcolare, qualora possibile, l’equazione delle rette tangenti alla parabola e passanti per un punto. In particolare dimostreremo come ricavare una formula generale per il calcolo del coefficiente angolare (da non utilizzare per lo svolgimento degli esercizi) e poi mostreremo il metodo classico per eseguire tale calcolo.

Formula generale per il calcolo del coefficiente angolare della retta tangente

Nel seguente paragrafo ricaveremo una formula generale per il calcolo del coefficiente angolare della retta, o delle rette, tangenti alla parabola e passanti per un determinato punto. La formula che otterremo non è di facile memorizzazione e non è consigliabile un suo utilizzo nella risoluzione degli esercizi. Tuttavia, gli step che qui verranno utilizzati per ricavare la formula generica sono gli stessi richiesti per la risoluzione degli esercizi. Per conoscere il metodo classico da utilizzare per la risoluzione degli esercizi prosegui al paragrafo successivo.

• Si immagini di avere a che fare con la generica parabola di equazione y=ax²+bx+c e di avere un punto nel piano cartesiano di coordinate A(x₁,y₁).

• Si calcoli l’equazione del fascio proprio di rette proprio avente come centro il punto A:

che in forma esplicita diventa:

• Ricordiamo che per poter calcolare i punti di intersezione della retta con la parabola, bisogna mettere a sistema l’equazione della retta con l’equazione della parabola. Ottenendo dunque:

• Risolviamo il sistema applicando il metodo di sostituzione, sostituendo alla variabile y della prima equazione il contenuto del secondo membro della seconda equazione.. Otteniamo così la seguente equazione di secondo grado:

tale equazione è caratterizzata dai seguenti indici:

a’ = a

b’ = b-m

c’ = c+mx₁-y₁

• Abbiamo visto al seguente link che l condizione di tangenza di una retta verso una parabola richiede di imporre il discriminante di tale equazione pari a zero. Imporre il discriminante pari a zero comporta risolvere una seconda equazione di secondo grado, dove questa volta la variabile è il coefficiente angolare:

tale equazione è caratterizzata dai seguenti coefficienti

a”=1

b”=-4ax₁ -2b

c” = b²-4ac+4ay₁

• Risolviamo tale equazione per la variabile m. Otteniamo dunque:

la formula ottenuta:

ci dice dunque il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla parabola data. Se per il coefficiente angolare ci sono due soluzioni distinte, allora il punto A è esterno alla parabola. Se esistono due soluzioni reali e coincidenti, allora il punto appartiene alla parabola. Quando non ci sono soluzioni, il punto è interno alla parabola. L’utilizzo di tale formula ad esempio in un programma di calcolo, consente di calcolare immediatamente i valori dei coefficienti angolare nel caso di una parabola verticale.

Vedremo negli esempi sotto come gli step sopra mostrati per l’ottenimento della formula generale siano utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Attenzione la formula generale è stata ottenuta nel caso di parabole verticali. Quando si ha a che fare con parabole orizzontali, il procedimento e le condizioni da imporre sono esattamente le stesse (vedi esempio 3).

Metodo passo passo per il calcolo dell’equazione della retta tangente

Dal paragrafo sopra riportato abbiamo visto come ottenere la formula generale per il calcolo dei coefficienti angolari delle rette tangenti ad una parabola (verticale) e passante per un punto specifico. In questo paragrafo vogliamo elencare gli step seguiti per ottenere tale formula e che devono essere eseguiti per la risoluzione degli esercizi.

• Primo step: calcolare l’equazione del fascio di rette passante per il punto A
• Secondo step: mettere a sistema l’equazione della parabola con il fascio di rette ed applicare il metodo di sostituzione. Si otterrà un’equazione di secondo grado
• Terzo step: Imporre la condizione di tangenza di una retta rispetto alla parabola. Tale condizione consiste nel porre il discriminante dell’equazione di secondo grado pari a zero. Questa condizione porta ad una nuova equazione di secondo grado in cui la variabile è il coefficiente angolare m.
• Quarto step: risolvere l’equazione per il coefficiente angolare m. Possiamo avere 3 casi:
  • 2 soluzioni reali e distinte per il coefficiente angolare. Ciò accade se il punto A è esterno alla parabola
  • Nessuna soluzione. Ciò accade se il punto è interno alla parabola
  • 2 soluzioni reali e coincidenti. Ciò accade se il punto appartiene alla parabola
• Quinto step: sostituire i valori dei coefficienti angolari trovati, nell’equazione del fascio proprio di rette in modo da ricavare l’equazione delle rette tangenti

Negli esempi che seguiranno nell’ultimo paragrafo di questo appunto, vedremo in che modo eseguire tali step.

Formula di sdoppiamento: come calcolare la retta tangente se il punto P appartiene alla parabola

Quando il punto P (x₀; y₀) noto appartiene alla parabola, è possibile calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola in quel punto utilizzando la formula di sdoppiamento. Si tratta di sicuro di una procedura più semplice e immediata di quella generale. Ricorda però: la formula di sdoppiamento vale solo nel caso in cui il punto noto appartiene alla parabola. Ciò deriva dal fatto che nella dimostrazione imponiamo il punto P (x₀; y₀) come unica soluzione del sistema!  Tale formula dice:

\frac{y+y_{0}}{2} = ax_{0}x + b \left(\frac{x+x_{0}}{2}\right) +c

ma come si arriva a tale formula? Vediamo di seguito la dimostrazione. Consideriamo il fascio di rette passante per il punto P. Esso avrà equazione:

  y-y_{0} = m(x-x_{0})

Di tale fascio, avente come centro il punto P, interessa la retta tangente alla parabola. Per trovare mettiamo dunque a sistema l’equazione generica della parabola con l’equazione del fascio. Otteniamo dunque il seguente sistema:

 \left\{\begin{matrix}
y=ax^{2}+bx+c\\ 
y-y_{0} = m(x-x_{0}) 

\end{matrix}\right. \Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
y=ax^{2}+bx+c\\ 
y = m(x-x_{0}) + y_{0}

\end{matrix}\right. 

Dai secondi membri delle due equazioni otteniamo dunque la seguente uguaglianza:

ax^{2}+bx+c= m(x-x_{0}) + y_{0} \Rightarrow\,\,\, \mathbf{ax^{2} + (b-m)x+c+mx_{0}-y_{0} =0}

Otteniamo dunque una equazione di secondo grado in x. Poiché dal sistema ci attendiamo due soluzioni reali e coincidenti a x₀ (per la condizione di tangenza), abbiamo che il delta dell’equazione sarà pari a zero. Per cui:

x_{1,2} = x_{0} = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^{2}-4a'c'}}{2a'} =  
\frac{-b' \pm \sqrt{0}}{2a'} = \mathbf{\frac{-b'}{2a'}}

dove abbiamo indicato i termini generici dell’equazione di secondo grado con a’,b’ e c’ per non creare confusione. Ricordando dunque che a’=a; b’ = (b-m) otteniamo:

x_{0} = -\frac{b-m}{2a} \Rightarrow \mathbf{ m = 2ax_{0}+b}

sostituiamo questa forma del coefficiente angolare all’equazione del fasico di rette. Adesso che il coefficiente angolare non è più generico, l’equazione non rappresenta più il generico fascio, ma la retta tangente alla parabola in P:

y-y_{0} = (2ax_{0} + b) (x-x_{0})

Questa forma già consente il calcolo diretto dell’equazione della retta. Per renderla nella forma vista prima (formula di sdoppiamento), aggiungiamo e sottraiamo ad entrambi i membri il valore 2y₀:

y-y_{0} + 2y_{0} = (2ax_{0} + b) (x-x_{0})+ 2y_{0} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, y+y_{0} = 2ax_{0}x -2ax_{0}^{2}+bx-bx_{0}+2ax_{0}^{2}+2bx_{0} +2c

Dalla quale eseguendo le opportune semplificazioni algebriche e dividendo entrambi i membri per 2, ricaviamo la formula di sdoppiamento mostrata a inizio paragrafo

Formula di sdoppiamento: come calcolare la retta tangente se il punto P è esterno alla parabola

In questo paragrafo vediamo cosa succede se si applicano le formule di sdoppiamento ad un punto P esterno alla parabola. Anche in questo caso le formule di sdoppiamento consentono comunque di calcolare l’equazione di una retta, ma questa non sarà tangente alla parabola. Cosa rappresenterà tale retta? Essa viene detta polare del punto P rispetto alla parabola. Tale retta polare interseca la parabola in due punti. Tali punti sono i punti per i quali passano le due rette tangenti alla parabola e passanti nel punto P. Vediamo quanto detto con un esempio:

Calcolare la retta polare alla parabola y=3x²+2x-1 del punto P(0;-3) esterno alla parabola

Utilizziamo la formula di sdoppiamento:

\frac{y+y_{P}}{2} = ax_{0}x + b\left (\frac{x+x_{P}}{2} \right )+c \Rightarrow \\\\\\
\frac{y-3}{2} = 3(0)x + 2\left (\frac{x+0}{2} \right )-1 \Rightarrow \\\\\\
y = 2x+1

Si ottiene dunque la retta y=2x+1. Tale retta intersecherà la parabola in due punti che indichiamo con A e B. I punti A e B sono tali che le due rette passanti per A e P e per B e P sono tangenti alla parabola:

Se il punto P è invece interno alla parabola, allora le formule di sdoppiamento consentiranno di calcolare ancora l’equazione di una retta, ma questa non avrà alcun punto in comune con la parabola.

Curiosità sulle rette tangenti (contenuto non necessario per lo studio della parabola)

In questo paragrafo vogliamo dimostrare che ai punti della parabola aventi la stessa ordinata del fuoco (parabole verticali), corrispondono sempre due rette tangenti aventi coefficiente angolare m=1 e m=-1. Ricordiamo che nel caso di una generica parabola verticale di equazione y=ax²+bx+c, il fuoco ha coordinate pari a:

Calcoliamo adesso le coordinate dei punti della parabola aventi la stessa ordinata del fuoco. Per farlo, sostituiamo nell’equazione della parabola, alla generica variabile dipendente y, il valore dell’ordinata del fuoco. Si ottiene:

poiché il coefficiente a è certamente diverso da zero possiamo riorganizzare l’equazione moltiplicando entrambi i membri per a ed esplicitando il discriminante:

risolviamo adesso quest’ultima equazione di secondo grado per x:

Allora i due punti aventi la stessa ordinata del fuoco sono i punti:

Adesso proseguiamo la nostra dimostrazione con uno solo dei due punti. Scegliamo di proseguire con il punto B. Verifichiamo qual è la retta tangente alla parabola e passante per il punto B. Come sappiamo dai precedenti paragrafi, il primo step consiste nel calcolo dell’equazione del fascio di rette passante per B:

il secondo step richiede di mettere a sistema l’equazione del fascio di rette con l’equazione della parabola:

applicando il metodo di sostituzione:

Adesso per calcolare il valore del coefficiente angolare della retta tangente imponiamo il discriminante pari a zero:

la soluzione dell’equazione come si può notare dall’ultima forma riportata è m=1. Dimostrazione identica può essere fatta per il punto A dove avremo m=-1. Allora possiamo concludere che per qualsiasi parabola verticale le rette tangenti ai punti aventi stessi ordinata del fuoco avranno coefficiennte angolare rispettivamente m=1 e m=-1

Esempi

Vediamo nel seguito alcuni esempi di esercizi in cui è richiesto il calcolo della retta tangente ad una parabola e passante per un punto.

Esempio 1

Consideriamo la parabola di equazione y=2x²-3x+1 e il punto A di coordinate (5,4). Determinare se il punto è esterno, interno o appartenente alla parabola e l’equazione delle rette tangenti qualora esistenti.

Dalla teoria sappiamo che se un punto appartiene alla parabola, ci sarà una sola retta tangente alla parabola passante per esso. Se interno, non ci saranno rette tangenti, se esterno le rette tangenti saranno due. Proseguiamo dunque con il calcolo delle equazioni delle rette tangenti. Non utilizzeremo la formula generale calcolata nel paragrafo precedente, ma svilupperemo l’esercizio seguendo gli stessi passaggi.

Primo step: calcolare l’equazione del fascio di rette passante per il punto A

Il fascio di rette passante per il punto A di coordinate (5,4) sarà:

Secondo step: mettere a sistema l’equazione della parabola con il fascio di rette ed applicare il metodo di sostituzione:

Terzo step: Imporre la condizione di tangenza di una retta rispetto alla parabola. Il delta dell’equazione risultante della risoluzione del sistema deve essere pari a zero per garantire un unico punto di intersezione tra la retta e la parabola:

Quarto step: risolvere l’equazione per il coefficiente angolare m:

NB: si sarebbe dovuto utilizzare la formula semplificata del delta essendo il coefficiente b’ pari.

Quinto step: sostituire all’equazione del fascio i due coefficienti ottenuti

Sesto step: Poiché esistono due rette passanti per il punto A e tangenti alla parabola, possiamo concludere che il punto A è esterno alla parabola. Per conoscere i punti di tangenza di queste rette, non bisogna fare altro che risolvere per ogni retta il sistema di equazioni dato dalla retta tangente e dalla parabola

Esempio 2

Calcolare, se esistono, le rette tangenti alla parabola y=2x²+2x+2 e passanti per il punto A(1,6)

Primo step: calcolare l’equazione del fascio di rette con centro nel punto A

Secondo step mettere a sistema il fascio di rette passanti per il punto A e l’equazione della parabola

Terzo step: imporre il delta uguale a zero

allora abbiamo due soluzioni per m reali e coincidenti. La retta con m=6 è l’unica passante per il punto A e tangente alla parabola. Ciò vuol dire che il punto appartiene alla parabola. La retta tangente è dunque

Esempio 3

Calcolare, se esistono, le rette tangenti alla parabola x=y² + y+1 e passanti per il punto A(6,1)

1. Calcolare l’equazione del fascio di rette passanti per il punto A

2. mettere a sistema l’equazione del fascio di rette con l’equazione della parabola

3. applichiamo il metodo di sostituzione

4. Imporre il discriminante dell’equazione risolvente pari a zero

Quest’ultima equazione di secondo grado per la variabile m non ha soluzioni (Ha un discriminante minore di zero. Non esistono allora soluzioni per l’esercizio svolto. Dal punto A non passano rette tangenti alla parabola, ergo… Il punto A è interno alla parabola

Esempio 4

Calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola y=3x²– 2x +1 nel punto A appartenente alla parabola A(1;2).

Per la risoluzione di questo esercizio utilizziamo la formula di sdoppiamento 

\frac{y+y_{0}}{2} = ax_{0}x+ b\left(\frac{x+x_{0}}{2} \right ) + c 

e sostituiamo a x0 e y0 le coordinate del punto A e ad a,b e c i coefficienti della parabola. Otteniamo dunque: 

\frac{y+2}{2} = 3(1)x- 2\left(\frac{x+1}{2} \right ) + 1  \Rightarrow y+2 = 6x-2x-2+2-2 \Rightarrow \mathbf{y = 4x-2}

y = 4x-2 è dunque l’equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto A.