Come disegnare una parabola in un piano cartesiano

In questo breve appunto vediamo quali passi e accorgimenti seguire per disegnare una parabola in un piano cartesiano data la sua equazione. Sappiamo che per tre punti passa una sola parabola. Ma basta quindi conoscere tre punti per poter rappresentare fedelmente una parabola? La risposta è no perché a differenza della retta, non siamo in grado di determinare lo sviluppo nel piano cartesiano di una parabola. Vedremo quindi nel seguito:

• Informazioni preliminari utili che si possono ricavare dall’equazione di una parabola
• Step per disegnare una parabola in un piano cartesiano
• Esempi

Informazioni preliminari utili che si possono ricavare dall’equazione di una parabola

Vediamo adesso quali utili informazioni preliminari possono essere ricavate dall’equazione di una parabola per semplificare e migliorare la sua rappresentazione nel piano cartesiano:

• Tipologia di parabola: dall’equazione di una parabola possiamo sapere innanzitutto se abbiamo a che fare con una parabola verticale oppure con una parabola orizzontale a seconda che l’equazione sia esplicita per la variabile y o la variabile x.
• Direzione della curvatura della parabola: il coefficiente a della parabola ci dice se la curvatura è verso l’alto (a>0) o verso il basso (a<0)
• Posizione dell’asse della parabola: ricordiamo che l’asse di una parabola si trova nella posizione -b/2a sia se abbiamo a che fare con parabole verticali che con parabole orizzontali.
• Posizione del vertice: la posizione del vertice è importantissima per poter disegnare fedelmente una parabola. E’ vero che bastano 3 punti per definire l’equazione della parabola, ma senza conoscere il vertice, il disegno della parabola sarebbe molto approssimato. Ricordiamo le formule per le coordinate del vertice proponendo nell’ordine prima il caso di parabole verticali e poi quello di parabole orizzontali

• Ricordiamo infine che se b=0, il vertice della parabola è posizionato su uno degli assi e l’asse di simmetria della parabola coincide con esso. se c=0 la parabola passa per l’origine. Se b=0 e c=0 il vertice della parabola coincide con l’origine

Vediamo nel prossimo paragrafo quali step seguire per completare il disegno di una parabola nel piano cartesiano

Step per disegnare una parabola in un piano cartesiano

Una volta aver definito dall’equazione della parabola il tipo di parabola, la curvatura e le coordinate del vertice non ci rimane altro che trovare altri punti appartenenti alla parabola e unirli. Più punti si hanno a disposizione e più fedele sarà la riproduzione della parabola. In esercizi in cui è richiesto di verificare la posizione della parabola rispetto ad altri elementi nel piano cartesiano (una retta o una circonferenza) potrebbe essere utile aumentare il numero di punti per una riproduzione quanto più fedele. Ricordiamo che:

• Per trovare tali punti basta assegnare un valore alla variabile indipendente e trovare di conseguenza il valore della variabile dipendente. Ciò significa che per parabole verticali occorre assegnare un valore alla variabile x e calcolare tramite equazione la corrispondente y. Per parabole orizzontali sarà il contrario. E’ chiaro che in questo caso è necessario quanto più possibile non complicarsi la vita scegliendo dei valori semplici.
• Ad ogni punto ne corrisponde uno simmetrico rispetto all’asse di simmetria. Identificare due o più punti simmetrici aiuta a definire meglio i tratti della parabola e ad assegnare alla stessa un andamento simmetrico.

Esempi

Vediamo adesso due esempi in cui è richiesto di disegnare una parabola a partire dalla sua equazione. Proponiamo un caso di parabola con asse verticale ed un caso di parabola con asse orizzontale.

Esempio 1

Disegnare in un sistema di assi cartesiani la parabola di equazione y=-x² + 2x+1

Dall’equazione della parabola ricaviamo alcune informazioni preliminari. Essa è di tipo verticale e che ha una curvatura verso il basso. Il vertice è posizionato nel punto:

Poiché il vertice è posizionato sull’asse di simmetria e la parabola è di tipo verticale allora avremo che l’equazione dell’asse di simmetria è x=1. Le informazioni finora individuate rappresentano un infinito numero di parabole.

Per restringere il campo calcoliamo le coordinate di 4 punti appartenenti alla parabola:

• Il primo punto è molto semplice ed è l’intersezione della parabola con l’asse delle y (x=0). Tale punto avrà sempre coordinate A(0,c) nel nostro caso il coefficiente dell’equazione della parabola è c=1. Per cui A(0,1).
• Il secondo punto della parabola che vogliamo calcolare sarà il punto B simmetrico ad A. Esso avrà stessa ordinata (y=1) ed il valore dell’ascissa sarà data considerando la simmetria rispetto all’asse della parabola:

quindi B(2,1). Da notare che il punto simmetrico a (0,c) sarà sempre il punto (2x_asse,c)

• Per il terzo punto C, siamo costretti ad utilizzare l’equazione della parabola. Potremmo assegnare per semplicità x=1, ma avremmo un punto molto vicino ad A e B. Preferiamo scegliere x=3. Otteniamo dunque:

Il punto ha coordinate C(3,-2).

• Il quarto punto D sarà dunque simmetrico al C. Esso avrà stessa ordinata y=-2 ed un’ascissa pari a:

quindi D(-1,-2). Rappresentando tali punti nel piano cartesiano e poi unendoli si otterrà il disegno della parabola:

Esempio 2

Disegnare la parabola con equazione x=2y²-3

Risolviamo questo esercizio più celermente. Si tratta di una parabola orizzontale con curvatura verso destra (a>0). L’asse di simmetria è l’asse delle x in quanto b=0 ed il vertice ha coordinate (-3,0). Calcoliamo i 4 punti:

• punto A a cui associamo il valore y=1. Il valore dell’ascissa corrispondente sarà x=-1. Per cui A(-1,1)
• Calcoliamo il punto B simmetrico al punto A. Esso avrà stessa ascissa x=1 e ordinata pari a 2y_asse– y_A. Quindi B(-1,-1)
• Punto C a cui associamo il valore y=2. Il valore dell’ascissa corrispondente sarà x=5. C(5,2)
• Punto D simmetrico a C. Avrà coordinate D(5,-2)

Disegniamo la parabola: