In questo appunto vediamo come calcolare l’equazione di un’ellisse passante per due punti del piano cartesiano. In particolare l’appunto è così strutturato:

Prima di proseguire con la lettura di questo appunto, ti rimandiamo al seguente link se hai bisogno di rivedere altri concetti di geometria analitica. L’appunto sull’equazione dell’ellisse lo trovi invece a questo link

Equazione dell’ellisse: concetti chiave

Ricordiamo che l’equazione generica di un’ellisse avente centro nell’origine degli assi è del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

dove se:

  • a > b l’ellisse ha i fuochi posizionati sull’asse delle ascisse. L’asse maggiore è orizzontale
  • a< b l’ellisse ha i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate. L’asse maggiore è verticale

Si noti che l’equazione generale di un’ellisse con il centro nell’origine degli assi dipende dunque dai due parametri a e b. Trovare il valore dei 2 parametri consente di definire l’ellisse in maniera univoca. Per farlo è sempre necessario che siano conosciute 2 informazioni indipendenti tra loro.

Come calcolare l’equazione di un’ellisse passante per due punti

Passando all’oggetto di questo appunto, conoscere le coordinate di due punti A e B significa effettivamente avere due informazioni indipendenti tra loro a meno che i due punti non siano simmetrici rispetto all’origine oppure rispetto ai due assi cartesiani. Poiché infatti un’ellisse con centro nell’origine degli assi è simmetrica rispetto all’origine e rispetto agli assi cartesiani il passaggio per un generico punto A(xA,yA) implica il passaggio dai punti:

A'(-x_{A},y_{A}) \\\,\\ A''(-x_{A},-y_{A}) \\\,\\ A'''(x_{A},-y_{A}) 

Poiché per un punto passano infiniti ellissi, possiamo concludere che per questi 4 punti passino infinite ellisse.

Immaginiamo dunque di conoscere le coordinare punto A(xA, yA) ed il punto B(xB, yB) di un’ellisse e di voler calcolare l’equazione dell’ellisse passante per questi due punti. I due punti forniscono due informazioni indipendenti se e solo se:

|x_{A}| \neq |x_{B}|

il che implica anche:

|y_{A}| \neq |y_{B}|

Dunque, ritorniamo al generico problema di dover calcolare l’equazione di un’ellisse passante per due punti A(xA, yA) e B(xB, yB). La soluzione di questo problema si ottiene imponendo che le coordinate dei punti A e B soddisfino l’equazione dell’ellisse. Dunque deve essere soddisfatto il passaggio dell’ellisse per il punto A:

\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1

ed il passaggio per B:

\frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1

poiché entrambe le equazioni devono essere soddisfatte, è necessario risolvere il relativo sistema di equazioni fratte di secondo grado:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right.

La risoluzione di tale sistema consente di ricavare il valore dei coefficienti a e b. In genere, per semplificare la risoluzione di tale sistema si può optare di porre:

s= \frac{1}{a^{2}} 
\\\,\\
t= \frac{1}{b^{2}} 

il sistema diventa dunque:

\left\{\begin{matrix}
x_{A}^{2}s+y^{2}_{A}t=1
 \\\,\\ x_{B}^{2}s+y^{2}_{B}t=1
\end{matrix}\right.

dunque abbiamo un sistema di primo grado. Una volta calcolati i valori di s e di t, possiamo ricavare i valori di a2 e b2:

a^{2}= \frac{1}{s} \\\,\\b^{2}= \frac{1}{t}

L’ellisse esiste se e solo se i valori di s e t e quindi di a2 e b2 sono positivi.

Ricapitoliamo dunque i passaggi:

  1. Verificare che i punti non siano simmetrici tra loro. In caso di simmetria non è possibile calcolare l’equazione dell’ellisse
  2. Imporre il passaggio dell’ellisse dai due punti dati sostituendo i valori delle coordinate dei punti alle variabili x e y dell’equazione dell’ellisse
  3. Risolvere il sistema di equazioni. Ricorda che può essere più semplice farlo ponendo s=1/a2 e t=1/b2
Caso di ellisse traslata

Nel caso in cui si ha a che fare con l’ellisse traslata il passaggio da due punti non è sufficiente a determinare l’ellisse. Infatti occorre conoscere altre 2 informazioni indipendenti come ad esempio le coordinate del centro dell’ellisse. Ricordiamo che l’equazione dell’ellisse traslata è del tipo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}=1

I parametri dunque ignoti sono xC, yC, a e b.

Altra complicazione dell’ellisse traslata è che non è immediato riconoscere le eventuali simmetrie, dunque è possibile che il problema fornisca due punti simmetrici rispetto al centro dell’ellisse o rispetto alle rette x=xC e y=yC e che non sia possibile determinare l’equazione dell’ellisse.

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro nell’origine e passante per i punti A(1,4) e B(-2,-3)

I punti A e B non sono in simmetria tra loro rispetto all’origine o rispetto agli assi. Imponiamo il passaggio della generica equazione dell’ellisse da tali punti:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{a^{2}}+\frac{16}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{4}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

eseguiamo la sostituzione:

s= \frac{1}{a^{2}} 
\\\,\\
t= \frac{1}{b^{2}} 

il sistema di equazioni diventa:

\left\{\begin{matrix}
s+16t=1
 \\\,\\ 4s+9t=1
\end{matrix}\right. 

moltiplichiamo per 4 entrambi i membri della prima equazione:

\left\{\begin{matrix}
4s+64t=4
 \\\,\\ 4s+9t=1
\end{matrix}\right. 

sottraiamo la seconda equazione alla prima e otteniamo:

55t=3

da cui:

t= \frac{1}{b^{2}} = \frac{3}{55}

adesso calcoliamo il valore di 2 sostituendo il valore ottenuto per t nella seconda equazione:

4s+9\frac{3}{55} =1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 4s=1-\frac{27}{55} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ s= \frac{7}{55}

l’equazione dell’ellisse diventa dunque:

\frac{7x^{2}}{55}+\frac{3y^{2}}{55}=1
Esercizio 2

Calcolare l’equazione dell’ellisse avente centro nell’origine degli assi e passante per i punti A(0,3) e B(-1,1)

I due punti non sono in simmetria tra loro rispetto all’origine o agli assi. Imponiamo il passaggio dell’ellisse per i due punti:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{0}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

eseguiamo la sostituzione:

s= \frac{1}{a^{2}} 
\\\,\\
t= \frac{1}{b^{2}} 

il sistema di equazioni diventa:

\left\{\begin{matrix}
9t=1
 \\\,\\ s+t=1
\end{matrix}\right. 

dalla prima equazione otteniamo:

t= \frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{9}

sostituiamo il valore di t nella seconda equazione:

s+\frac{1}{9}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ s=\frac{1}{a^{2}}= \frac{8}{9}

l’equazione dell’ellisse è dunque:

\frac{8x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9}=1
Esercizio 3

Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro nell’origine degli assi e passante per i punti A(3,1) B(-4,2)

I due punti A e B non sono in simmetria tra di loro rispetto all’origine degli assi e rispetto agli assi. Imponiamo il passaggio dell’equazione generica dell’ellisse dai punti A e B:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{9}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{16}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

eseguiamo la sostituzione:

s= \frac{1}{a^{2}} 
\\\,\\
t= \frac{1}{b^{2}} 

Il sistema di equazioni diventa:

\left\{\begin{matrix}
9s+t=1
 \\\,\\ 16s +4t=1
\end{matrix}\right. 

moltiplichiamo entrambi i membri della prima equazione per 4:

\left\{\begin{matrix}
36s+4t=4
 \\\,\\ 16s +4t=1
\end{matrix}\right. 

sottraiamo la seconda equazione alla prima e otteniamo:

20s =3 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ s=\frac{1}{a^{2}} = \frac{3}{20}

sostituiamo il valore di s nella seconda equazione:

16\frac{3}{20}+4t =1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{12}{5}+4t=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ t=\frac{1}{b^{2}}=-\frac{7}{20}

abbiamo ottenuto un valore di 1/b2 negativo. Ciò significa che non esiste alcun ellisse passante per i punti A(3,1) B(-4,2)

Esercizio 4

Calcolare l’equazione dell’ellisse avente centro nel punto C(3,2) e passante per i punti A(5,3) e B(0,2)

In questo caso poiché il centro dell’ellisse non coincide con l’origine degli assi, è meno immediato verificare le possibili simmetrie tra i punti A e B. Allora scriviamo l’equazione generale dell’ellisse avente centro in C:

 

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{(x-3)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-2)^{2}}{b^{2}}=1

imponiamo adesso il passaggio dell’ellisse dai due punti A e B e risolviamo il relativo sistema:

\left\{\begin{matrix}
\frac{(x_{A}-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y_{A}-2)^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{(x_{B}-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y_{B}^{2}-2)}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{(5-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(3-2)^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{(0-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(2-2)}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{9}{a^{2}}+\frac{0}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

eseguiamo la sostituzione:

s= \frac{1}{a^{2}} 
\\\,\\
t= \frac{1}{b^{2}} 

il sistema di equazioni diventa:

\left\{\begin{matrix}
4s+t=1
 \\\,\\ 9s=1
\end{matrix}\right. 

dalla seconda equazione abbiamo:

s=\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{9}

sostituiamo tale valore nella prima equazione:

4\frac{1}{9} +t=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ t=\frac{1}{b^{2}}= \frac{5}{9}

l’equazione della ellisse diventa dunque:

\frac{(x-3)^{2}}{9} + \frac{5(y-2)^{2}}{9}=1
Esercizio 5

Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro in C(3,2) e passante per i punti A(5,3) e B(1,1)

In questo caso poiché il centro dell’ellisse non coincide con l’origine degli assi, è meno immediato verificare le possibili simmetrie tra i punti A e B. Allora scriviamo l’equazione generale dell’ellisse avente centro in C:

 

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{(x-3)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-2)^{2}}{b^{2}}=1

imponiamo adesso il passaggio dell’ellisse dai due punti A e B e risolviamo il relativo sistema:

\left\{\begin{matrix}
\frac{(x_{A}-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y_{A}-2)^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{(x_{B}-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y_{B}^{2}-2)}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{(5-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(3-2)^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{(1-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(1-2)}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

osserviamo adesso le due equazioni del sistema. Le due equazioni sono identiche e ne risulta allora che il sistema di equazioni è un sistema indeterminato! Perché ciò accade? Il motivo è legato al fatto che i due punti A e B non forniscono due informazioni indipendenti in quanto godono di una simmetria. Essi sono simmetrici rispetto al punto C centro dell’ellisse.

Come calcolare l’equazione di un’ellisse passante per due punti
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