Come calcolare l’equazione di un’ellisse passante per due punti

In questo appunto vediamo come calcolare l’equazione di un’ellisse passante per due punti del piano cartesiano. In particolare l’appunto è così strutturato:

• Equazione dell’ellisse: concetti chiave
• Come calcolare l’equazione di un’ellisse passante per due punti
• Caso di ellisse traslata
• Esempi di esercizi

Prima di proseguire con la lettura di questo appunto, ti rimandiamo al seguente link se hai bisogno di rivedere altri concetti di geometria analitica. L’appunto sull’equazione dell’ellisse lo trovi invece a questo link

Equazione dell’ellisse: concetti chiave

Ricordiamo che l’equazione generica di un’ellisse avente centro nell’origine degli assi è del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

dove se:

• a > b l’ellisse ha i fuochi posizionati sull’asse delle ascisse. L’asse maggiore è orizzontale
• a< b l’ellisse ha i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate. L’asse maggiore è verticale

Si noti che l’equazione generale di un’ellisse con il centro nell’origine degli assi dipende dunque dai due parametri a e b. Trovare il valore dei 2 parametri consente di definire l’ellisse in maniera univoca. Per farlo è sempre necessario che siano conosciute 2 informazioni indipendenti tra loro.

Come calcolare l’equazione di un’ellisse passante per due punti

Passando all’oggetto di questo appunto, conoscere le coordinate di due punti A e B significa effettivamente avere due informazioni indipendenti tra loro a meno che i due punti non siano simmetrici rispetto all’origine oppure rispetto ai due assi cartesiani. Poiché infatti un’ellisse con centro nell’origine degli assi è simmetrica rispetto all’origine e rispetto agli assi cartesiani il passaggio per un generico punto A(xA,yA) implica il passaggio dai punti:

A'(-x_{A},y_{A}) \\\,\\ A''(-x_{A},-y_{A}) \\\,\\ A'''(x_{A},-y_{A}) 

Poiché per un punto passano infiniti ellissi, possiamo concludere che per questi 4 punti passino infinite ellisse.

Immaginiamo dunque di conoscere le coordinare punto A(xA, yA) ed il punto B(xB, yB) di un’ellisse e di voler calcolare l’equazione dell’ellisse passante per questi due punti. I due punti forniscono due informazioni indipendenti se e solo se:

|x_{A}| \neq |x_{B}|

il che implica anche:

|y_{A}| \neq |y_{B}|

Dunque, ritorniamo al generico problema di dover calcolare l’equazione di un’ellisse passante per due punti A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B). La soluzione di questo problema si ottiene imponendo che le coordinate dei punti A e B soddisfino l’equazione dell’ellisse. Dunque deve essere soddisfatto il passaggio dell’ellisse per il punto A:

\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1

ed il passaggio per B:

\frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1

poiché entrambe le equazioni devono essere soddisfatte, è necessario risolvere il relativo sistema di equazioni fratte di secondo grado:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right.

La risoluzione di tale sistema consente di ricavare il valore dei coefficienti a e b. In genere, per semplificare la risoluzione di tale sistema si può optare di porre:

s= \frac{1}{a^{2}} 
\\\,\\
t= \frac{1}{b^{2}} 

il sistema diventa dunque:

\left\{\begin{matrix}
x_{A}^{2}s+y^{2}_{A}t=1
 \\\,\\ x_{B}^{2}s+y^{2}_{B}t=1
\end{matrix}\right.

dunque abbiamo un sistema di primo grado. Una volta calcolati i valori di s e di t, possiamo ricavare i valori di a² e b²:

a^{2}= \frac{1}{s} \\\,\\b^{2}= \frac{1}{t}

L’ellisse esiste se e solo se i valori di s e t e quindi di a² e b² sono positivi.

Ricapitoliamo dunque i passaggi:

1. Verificare che i punti non siano simmetrici tra loro. In caso di simmetria non è possibile calcolare l’equazione dell’ellisse
2. Imporre il passaggio dell’ellisse dai due punti dati sostituendo i valori delle coordinate dei punti alle variabili x e y dell’equazione dell’ellisse
3. Risolvere il sistema di equazioni. Ricorda che può essere più semplice farlo ponendo s=1/a² e t=1/b²

Caso di ellisse traslata

Nel caso in cui si ha a che fare con l’ellisse traslata il passaggio da due punti non è sufficiente a determinare l’ellisse. Infatti occorre conoscere altre 2 informazioni indipendenti come ad esempio le coordinate del centro dell’ellisse. Ricordiamo che l’equazione dell’ellisse traslata è del tipo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}=1

I parametri dunque ignoti sono x_C, y_C, a e b.

Altra complicazione dell’ellisse traslata è che non è immediato riconoscere le eventuali simmetrie, dunque è possibile che il problema fornisca due punti simmetrici rispetto al centro dell’ellisse o rispetto alle rette x=x_C e y=y_C e che non sia possibile determinare l’equazione dell’ellisse.

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro nell’origine e passante per i punti A(1,4) e B(-2,-3)

I punti A e B non sono in simmetria tra loro rispetto all’origine o rispetto agli assi. Imponiamo il passaggio della generica equazione dell’ellisse da tali punti:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{a^{2}}+\frac{16}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{4}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

eseguiamo la sostituzione:

s= \frac{1}{a^{2}} 
\\\,\\
t= \frac{1}{b^{2}} 

il sistema di equazioni diventa:

\left\{\begin{matrix}
s+16t=1
 \\\,\\ 4s+9t=1
\end{matrix}\right. 

moltiplichiamo per 4 entrambi i membri della prima equazione:

\left\{\begin{matrix}
4s+64t=4
 \\\,\\ 4s+9t=1
\end{matrix}\right. 

sottraiamo la seconda equazione alla prima e otteniamo:

55t=3

da cui:

t= \frac{1}{b^{2}} = \frac{3}{55}

adesso calcoliamo il valore di 2 sostituendo il valore ottenuto per t nella seconda equazione:

4s+9\frac{3}{55} =1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 4s=1-\frac{27}{55} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ s= \frac{7}{55}

l’equazione dell’ellisse diventa dunque:

\frac{7x^{2}}{55}+\frac{3y^{2}}{55}=1

Esercizio 2

Calcolare l’equazione dell’ellisse avente centro nell’origine degli assi e passante per i punti A(0,3) e B(-1,1)

I due punti non sono in simmetria tra loro rispetto all’origine o agli assi. Imponiamo il passaggio dell’ellisse per i due punti:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{0}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

eseguiamo la sostituzione:

s= \frac{1}{a^{2}} 
\\\,\\
t= \frac{1}{b^{2}} 

il sistema di equazioni diventa:

\left\{\begin{matrix}
9t=1
 \\\,\\ s+t=1
\end{matrix}\right. 

dalla prima equazione otteniamo:

t= \frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{9}

sostituiamo il valore di t nella seconda equazione:

s+\frac{1}{9}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ s=\frac{1}{a^{2}}= \frac{8}{9}

l’equazione dell’ellisse è dunque:

\frac{8x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9}=1

Esercizio 3

Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro nell’origine degli assi e passante per i punti A(3,1) B(-4,2)

I due punti A e B non sono in simmetria tra di loro rispetto all’origine degli assi e rispetto agli assi. Imponiamo il passaggio dell’equazione generica dell’ellisse dai punti A e B:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{x_{B}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B}^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{9}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{16}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

eseguiamo la sostituzione:

s= \frac{1}{a^{2}} 
\\\,\\
t= \frac{1}{b^{2}} 

Il sistema di equazioni diventa:

\left\{\begin{matrix}
9s+t=1
 \\\,\\ 16s +4t=1
\end{matrix}\right. 

moltiplichiamo entrambi i membri della prima equazione per 4:

\left\{\begin{matrix}
36s+4t=4
 \\\,\\ 16s +4t=1
\end{matrix}\right. 

sottraiamo la seconda equazione alla prima e otteniamo:

20s =3 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ s=\frac{1}{a^{2}} = \frac{3}{20}

sostituiamo il valore di s nella seconda equazione:

16\frac{3}{20}+4t =1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{12}{5}+4t=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ t=\frac{1}{b^{2}}=-\frac{7}{20}

abbiamo ottenuto un valore di 1/b² negativo. Ciò significa che non esiste alcun ellisse passante per i punti A(3,1) B(-4,2)

Esercizio 4

Calcolare l’equazione dell’ellisse avente centro nel punto C(3,2) e passante per i punti A(5,3) e B(0,2)

In questo caso poiché il centro dell’ellisse non coincide con l’origine degli assi, è meno immediato verificare le possibili simmetrie tra i punti A e B. Allora scriviamo l’equazione generale dell’ellisse avente centro in C:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{(x-3)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-2)^{2}}{b^{2}}=1

imponiamo adesso il passaggio dell’ellisse dai due punti A e B e risolviamo il relativo sistema:

\left\{\begin{matrix}
\frac{(x_{A}-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y_{A}-2)^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{(x_{B}-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y_{B}^{2}-2)}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{(5-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(3-2)^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{(0-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(2-2)}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{9}{a^{2}}+\frac{0}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

eseguiamo la sostituzione:

s= \frac{1}{a^{2}} 
\\\,\\
t= \frac{1}{b^{2}} 

il sistema di equazioni diventa:

\left\{\begin{matrix}
4s+t=1
 \\\,\\ 9s=1
\end{matrix}\right. 

dalla seconda equazione abbiamo:

s=\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{9}

sostituiamo tale valore nella prima equazione:

4\frac{1}{9} +t=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ t=\frac{1}{b^{2}}= \frac{5}{9}

l’equazione della ellisse diventa dunque:

\frac{(x-3)^{2}}{9} + \frac{5(y-2)^{2}}{9}=1

Esercizio 5

Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro in C(3,2) e passante per i punti A(5,3) e B(1,1)

In questo caso poiché il centro dell’ellisse non coincide con l’origine degli assi, è meno immediato verificare le possibili simmetrie tra i punti A e B. Allora scriviamo l’equazione generale dell’ellisse avente centro in C:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{(x-3)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-2)^{2}}{b^{2}}=1

imponiamo adesso il passaggio dell’ellisse dai due punti A e B e risolviamo il relativo sistema:

\left\{\begin{matrix}
\frac{(x_{A}-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y_{A}-2)^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{(x_{B}-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y_{B}^{2}-2)}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{(5-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(3-2)^{2}}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{(1-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(1-2)}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1
 \\\,\\ \frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right. 

osserviamo adesso le due equazioni del sistema. Le due equazioni sono identiche e ne risulta allora che il sistema di equazioni è un sistema indeterminato! Perché ciò accade? Il motivo è legato al fatto che i due punti A e B non forniscono due informazioni indipendenti in quanto godono di una simmetria. Essi sono simmetrici rispetto al punto C centro dell’ellisse.