Vediamo in questo appunto in che modo è possibile calcolare l’equazione di una retta passante per due punti. Abbiamo già affrontato il tema dell’equazione della retta al seguente link, quindi daremo per scontato i concetti di equazione in forma esplicita ed implicita.

In particolare nei seguenti paragrafi vedremo:

Formule per individuare la retta passante per due punti

Immaginiamo di avere le coordinate di due punti del piano cartesiano A(xA,yA) e B(xB,yB) e di voler calcolare la retta passante per questi due punti. Sappiamo dalla geometria euclidea che per due punti passa una ed una sola retta, ma come fare ad individuare quale questa sia? In questo appunto vedremo in che modo si giunge alla formulazione di due formule. Probabilmente, se stai leggendo questo appunto non ti sono ancora noti il concetto di di fascio improprio di rette. In questo caso, il primo metodo che mostreremo è più semplice da capire in quanto parte dall’equazione generica della retta in forma esplicita ma giunge ad una formula abbastanza tediosa da applica. Il secondo metodo invece, parte dal concetto di fascio improprio ed ottiene una formula generica di più semplice applicazione. Vediamo nel seguito i due metodi.

Metodo 1: formula equazione di una retta passante per due punti

Consideriamo l’equazione generica della retta in forma esplicita:

equazione retta esplicita

Il nostro obiettivo è quello di trovare quale retta in questa forma è passante per i due punti A(xA,yA) e B(xB,yB). Attenzione! con questa impostazione stiamo escludendo il caso delle rette parallele all’asse y che possono essere espresse solo da un’equazione del tipo x=k. Vedremo nei paragrafi successivi come affrontare questo semplice caso. Poiché i due punti A(xA,yA) e B(xB,yB) devono appartenere alla retta possiamo per entrambi i punti sostituire le proprie coordina all’equazione generale in forma esplicita. Otterremo:

retta passante per due punti: equazioni dei due punti

Adesso sottraiamo la seconda equazione alla prima. Otteniamo:

retta passante per due punti

da cui:

possiamo quindi ricavare il valore di m della retta:

retta passante per due punti: coefficiente angolare

notiamo come questa equazione per il coefficiente angolare m non consente di calcolo nel caso in cui xA = xB e quindi il caso x=k (rette parallele all’asse delle y) in quanto il denominatore sarebbe nullo. L’equazione della retta diviene allora:

ma come calcolare q? utilizziamo ancora le coordinate di uno dei due punti e le sostituiamo all’equazione:

da cui:

 

si ottiene dunque il valore di q:

da cui ricaviamo la formula generale con questo primo metodo:

retta passante per due punti: primo metodo

esempio

Proviamo adesso a calcolare l’equazione della retta che passa per questi due specifici punti: A(4,3) e B (6,4). Applichiamo la formula appena ottenuta:

A questo punto possiamo disegnare la retta sul piano cartesiano passante per due punti:

Caretta passante per due punti: esempio
Metodo 2: formula equazione di una retta passante per due punti

Il secondo metodo che qui andiamo a presentare si basa sulla conoscenza del concetto di fascio proprio. Se non conosci questo concetto, allora considera solo la formula finale di questo paragrafo. Se invece sai come calcolare un fascio proprio seguici nei prossimi passi. Consideriamo ancora i due punti A(xA,yA) e B(xB,yB). Sappiamo che il punto A è il centro di un fascio proprio di equazione:

la retta di questo fascio di rette proprio che passa per il punto B deve avere un’equazione tale che sostituendo a x e y i valori delle coordinate di B, l’uguaglianza tra i due membri dell’equazione è conservata. Allora eseguendo tale sostituzione abbiamo:

da cui possiamo ricavare il valore del coefficiente angolare m dividendo entrambi i membri per xB– xA. Per farlo dobbiamo però ammettere che xB è diverso da xA. La formula che da qui in avanti andremo ad ottenere non vale quindi per rette di equazione x=k. Ovvero non vale per le rette parallele all’asse delle y

sostituendolo alla prima equazione di questo paragrafo otteniamo:

adesso dividiamo entrambi i membri per yB– yA. Per farlo dobbiamo però ammettere che yB è diverso da yA. La formula che da qui in avanti andremo ad ottenere non vale quindi per rette di equazione y=q. Ovvero per le rette parallele all’asse delle x. Otteniamo quindi la formula generale per calcolare l’equazione della retta passante per due punti:

retta passante per due punti: secondo metodo

esempio

Calcoliamo con questa nuova formula l’equazione della retta passante per i punti A(4,3) e B (6,4).

Casi in cui non è necessario o possibile utilizzare le formule

Abbiamo visto nel paragrafo precedente che le due formule non consentono di ricavare le equazioni delle rette parallele all’asse delle x e nel secondo caso, anche le equazioni delle rette passanti per y. Ma per questi casi, è davvero necessario avere una formula di supporto? La risposta è no. Infatti, se i due punti hanno o stessa ascissa o stessa ordinata possiamo subito dedurre l’equazione della retta senza l’ausilio di alcuna formula.

Consideriamo i due punti A(3,4) e B(3,7). I due punti hanno stessa ascissa x=3. Si può dedurre quindi che l’equazione della retta sarà per l’appunto x=3.

Consideriamo adesso i due punti A(-3,5) e B(15,5). I due punti hanno stessa ordinata y=5. Si può dedurre quindi che l’equazione della retta sarà per l’appunto y=5.

Adesso consideriamo un paio di casi in cui è possibile utilizzare le formule sopra riportate ma allo stesso tempo è possibile riconoscere l’equazione della retta per via logica. Consideriamo il caso della bisettrice del primo terzo quadrante y=x e della bisettrice del secondo e quarto quadrante y=-x.

La prima è riconoscibile quando si ha a che fare con due punti caratterizzati da coordinate uguali tra loro. Ad esempio, nel caso in cui avessimo i due punti A(3,3) e B(4,4) ciò che notiamo è che per ogni punto l’ordinata è uguale all’ascissa e quindi per entrambi i punti y=x. Si può dedurre che l’equazione della retta è y=x.

La seconda è riconoscibile in quanto si a a che fare con due punti in cui per ciascuno l’ascissa è uguale in modulo all’ordinata ma di segno diverso. Consideriamo i punti A(-2,2) e B(1,-1). Per entrambi l’ascissa è l’opposto dell’ordinata y=-x. Si può dedurre che l’equazione della retta è y=-x.

Riassumiamo

Abbiamo due metodi generali per il calcolo dell’equazione della retta passante per due punti. Il primo utilizza la formula:

retta passante per due punti: primo metodo

Tale formula non è utilizzabile nel caso di rette con equazione x=k e quindi parallele all’asse delle y. Il secondo utilizza la formula:

retta passante per due punti: secondo metodo

che non è utilizzabile sia per retta parallele all’asse delle y (x=k) che per rette parallele all’asse delle x (y=q). In entrambi i casi, non è possibile calcolare l’equazione della retta quando si ha a che fare con punti coincidenti del tipo A(2,3) e B(2,3). Tali punti coincidono e sappiamo che per un punto passano infinite rette.

Come calcolare l’equazione della retta passante per due punti
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