Come calcolare le coordinate del punto medio di un segmento

In questo appunto vediamo come calcolare le coordinate del punto medio di un segmento. In particolare vedremo:

• Definizione di un punto medio di un segmento
• Formula per il calcolo delle coordinate del punto medio di un segmento
• Esempi

Definizione di un punto medio di un segmento

Dato un segmento AB, si definisce punto medio M, un punto del segmento per il quale è valida la seguente condizione:

Ciò vuol dire che il punto medio è quel punto appartenente al segmento, e quindi non esterno, che divide il segmento in due parti esattamente uguali in lunghezza. Questa definizione non si limita al solo piano cartesiano, ma è valida anche per sistemi di riferimento a più dimensioni.

Abbiamo visto al seguente link in che modo è possibile calcolare la distanza tra due punti all’interno di un piano cartesiano. Data la condizione vista precedentemente,  per il punto medio M(x_M,y_M), deve quindi verificarsi la seguente condizione:

dove x_A e y_A sono le coordinate del punto A e x_B,y_B le coordinate del punto B. Vedremo nel prossimo paragrafo in che modo è possibile calcolare le coordinate del punto medio una volta conosciute le coordinate dei punti A e B. E’ stato importante però aver definito il punto medio di un segmento in quanto non sempre negli esercizi, è possibile ricavare le coordinate del punto medio per logica dalla sua definizione senza per forza applicare le formule che vedremo sotto.

Formule per il calcolo delle coordinate del punto medio di un segmento

Consideriamo i due punti A e B con le loro coordinate. Partendo dal disegno mostrato precedentemente tracciamo le proiezioni dei punti verso i due assi delle ascisse e delle ordinate:

Prendiamo in considerazione le proiezioni lungo l’asse delle x.  che qui abbiamo indicato come A’,B’ e M’. Le linee di proiezione sono tre rette parallele e sono tagliate dai segmenti AB e A’B’. Secondo il teorema di Talete ne consegue che:

Le stesse considerazioni si possono fare per i segmenti A”M”e B”M”. Riportiamo tali uguaglianza in termini di lunghezze. Ricordiamo che i punti A’M’ e B’ e i punti A”M” e B” sono a tre a tre allineati tre di loro. Ne consegue che per il calcolo delle lunghezze dei segmenti utilizzeremo le formule semplificate delle distanze di punti allineati tra loro. Otteniamo dunque:

Abbiamo quindi due equazioni con modulo da risolvere. Risolviamo solo la prima in quanto la seconda richiede passaggi identici. Essendo un’equazione con due moduli, essa è soddisfatta, sia se gli argomenti in essa mantengono i segni presenti e sia se uno di essi cambia segno. Ovvero:

La seconda soluzione ci dice che l’equazione con i due moduli è soddisfatta se le due ascisse dei punti A e  B sono uguali (punti allineati). La prima soluzione, più generica, ci consente di calcolare l’ascissa del punto M. Estendendo questa soluzione anche per l’ordinata, otteniamo che il punto M avrà coordinata:

Ne consegue, che in uno spazio a più dimensioni, queste formule si estendono a tutte le coordinate delle dimensioni dello spazio. Per concludere, possiamo notare come le coordinate del punto medio di un segmento non siano altro che la media delle coordinate dei punti estremi del segmento.

Esempi

Vediamo di seguito alcuni esempi di calcolo delle coordinate del punto medio.

Esempio 1:

Calcolare il punto medio del segmento AB sapendo che A(6,3) e B(2,3).

Applichiamo le formule per le coordinate del punto medio di un segmento:

Esempio 2:

Calcolare il punto medio del segmento AB sapendo che A(2,3) B(-2,3)

Applichiamo le formule: