In questo appunto vediamo in che modo è possibile calcolare le equazioni delle bisettrici di due rette in un piano cartesiano. In particolare vedremo:

Definizione di bisettrice di due rette

Immaginiamo di avere due rette non parallele in un piano cartesiano. Esse si incontreranno in un punto e formeranno tra loro 4 angoli a due a due uguali e che qui indicheremo come α e β:

intersezione rette

I due angoli α e β sono supplementari tra di loro. Si può facilmente osservare che la loro somma è pari ad un angolo piatto (180°). Adesso, ricordiamo dalla geometria piana che la bisettrice di un angolo è quella semiretta che divide l’angolo in due parti uguali. Nella geometria piana, l’angolo è delimitato da due lati o segmenti. Nel caso di due rette che si intersecano, invece, la bisettrice è anch’essa una retta, che interseca le due rette nello stesso punto di intersezione.  Poiché due rette che si intersecano formano 4 angoli a due a due uguali e simmetrici, le bisettrici da considerare sono due.

La prima bisettrice è quindi la retta che divide entrambi gli angoli di ampiezza α in due parti uguali e di ampiezza α/2. La seconda bisettrice è invece quella che divide entrambi gli angoli di ampiezza β in due parti uguali di ampiezza β/2. Nell’immagine sotto, le due bisettrici sono disegnate in rosso:

bisettrici di due rette
Proprietà delle bisettrici di due rette

Le bisettrici di due rette oltre a dividere gli angoli in due parti uguali hanno anche altre proprietà. La prima che qui riportiamo è quella di equidistanza. Abbiamo definito il concetto di distanza di un punto da una retta al seguente link. La bisettrice di due rette è infatti definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti dalle due rette. Ciò vuol dire che per ogni punto P appartenente alla bisettrice vale la relazione:

dove H e H’ sono le proiezioni del punto P rispettivamente sulle due rette. Le vediamo graficamente per una delle due bisettrici:

bisettrici di due rette: equidistanza

chiaramente, il concetto di equidistanza vale anche per la bisettrice dell’angolo β. Vedremo nel prossimo paragrafo come questa definizione consentirà di ottenere la formula per il calcolo delle equazioni delle due bisettrici.

La seconda proprietà che qui vogliamo sottolineare è la perpendicolarità delle due bisettrici. Dall’immagine mostrata precedentemente è possibile notare che le due bisettrici formano un angolo tra loro pari a α/2+β/2. Poiché i due angoli α e β sono supplementari, ne consegue che:

ergo le  due bisettrici sono perpendicolari tra loro. Cosa comporta questa informazione? Essa comporta che le equazioni delle due bisettrici, se riportate in forma esplicita, saranno tali da avere l’una il coefficiente angolare dell’altra. Ovvero vale la relazione:

Formula per il calcolo delle equazioni delle bisettrici di due rette

La formula per il calcolo delle bisettrici di due rette è la seguente:

formula implicita bisettrici di due rette

con ax+by+c e a’x+b’y+c’ indicanti le equazioni delle due rette espresse in forma implicita. Per risolvere tale equazione con due moduli, sarà necessario risolvere sia il caso in cui gli argomenti dei moduli abbiano lo stesso segno e sia il caso in cui gli argomenti abbiano segno opposto. Ovvero, questa equazione si divide in due equazioni:

dove ciascuna porterà all’equazione di una delle due bisettrici. Se invece, le equazioni delle due rette sono riportate in forma esplicita,la formula da utilizzare è:

formula esplicita bisettrici di due rette

anche in questo caso, la risoluzione dell’equazione con moduli porterà alla risoluzione dei due casi:

Spesso nelle esercitazioni capita che una delle rette sia in forma esplicita e la seconda in forma implicita. E’possibile utilizzare sia una che l’altra forma trasformando una delle due equazioni nella forma desiderata.

Come calcolare il coefficiente angolare delle due bisettrici.

Procediamo adesso con una curiosità. Sottolineiamo sin da subito che il contenuto di questo paragrafo non è necessario per la risoluzione degli esercizi e non è riportato nei libri di testo. Per cui, a meno che tu non sia curioso, ti suggeriamo di saltare questa parte e di passare a quella relativa agli esempi.

Immaginiamo di avere due rette generiche e non parallele:

y=m1x+q1

y=m2x+q2

Esse si incontreranno in un punto P. Poiché conosciamo i coefficienti angolari delle due rette, abbiamo un’informazione sull’angolo che le due rette formano con l’asse delle x. La domanda a cui qui vogliamo rispondere è: è possibile allora conoscere i coefficienti angolari delle bisettrici? La risposta è si. Per dimostrarlo, consideriamo le parallele alle due rette date passanti per l’origine. Esse avranno equazione:

y=m1x

y=m2x

questa operazione ci consente di eliminare dalle equazioni le intercette q1 e q2 non essenziali per il proseguo della trattazione e di semplificare notevolmente i calcoli che verranno. Adesso scegliamo due punti su tali rette A e B tali che le distanze dall’origine siano uguali tra loro:

coefficiente angola bisettrici di due rette
calcolo coefficiente angolare

Il punto A avrà coordinate (x1,y1). Ma y1=m1x1 come da equazione della retta a cui appartiene. Stesse considerazioni per il punto B. Nel disegno abbiamo riportate solo i punti equidistanti rispetto all’origine nella zona positiva degli assi. In realtà ci sono altre due punti che serviranno a calcolare la seconda bisettrice. Il disegno è semplificato, i calcoli porteranno a entrambe le soluzioni. Adesso tracciamo la retta passante per B e parallela alla prima retta e la retta passante per A e parallela alla seconda retta.

bisettrici di due rette: rombo

Poiché delle due rette conosciamo un punto (AoB) ed il coefficiente angolare, possiamo ricavarne l’equazione. Avremo rispettivamente:

Mettendo a sistema le due equazioni, saremo in grado di calcolare le coordinate del punto P. Perchè ci interessano tali coordinate? Il quadrilatero che si è venuto così a formare  OABP è un rombo. La retta passante per OP sarà dunque bisettrice dell’angolo formato dai due lati OA e OB. Attenzione valutazioni assolutamente identiche possono essere fatte per la seconda bisettrice di cui non abbiamo disegnato il rombo. Procediamo con la risoluzione del sistema di equazioni:

ne deriva che:

l’ascissa del punto P è allora data dalla somma delle ascisse dei punti A e B. A questa conclusione si può arrivare anche geometricamente ma lascio a voi la semplice dimostrazione. Sostituendo il valore di x a una delle due equazioni si ottiene per y:

Anche in questo caso l’ordinata del punto P è data dalla somma delle ordinate dei punti A e B. Indicheremo le coordinate del punto P con xP e yP. Adesso, il coefficiente angolare della retta passante per OP e che indicheremo con m3 sarà data da:

ma quanto vale il rapporto x1/x2? Riconsideriamo la relazione imposta inizialmente di uguaglianza dei due segmenti OA e OB.

coefficiente angolare bisettrice 1

Dove il segno più ed il segno meno individuano due casi che porteranno alle due bisettrici. Se ci pensate, nella figura abbiamo disegnato un solo caso con le due ascisse x1 e x2 positive. Ma in realtà non abbiamo messo alcuna condizione iniziale che limitasse la dimostrazione ad una sola bisettrice. Sostituiamo il valore positivo all’equazione di m3:

che è il coefficiente angolare di una delle due bisettrici.

coefficiente angolare bisettrice 2

Sostituendo invece all’equazione il valore negativo del rapporto di x1 e x2 otteniamo il coefficiente angolare della seconda bisettrice:

Si può facilmente dimostrare che m3 e m4 sono l’uno l’anti reciproco dell’altro e che le due bisettrici sono perpendicolari. Attenzione queste due relazioni consentono di ricavare i coefficienti angolari delle bisettrici da quelli delle rette. Per sapere l’equazione della bisettrice occorrerà applicare la formula per il calcolo dell’equazione di una retta con coefficiente angolare noto e passante per il punto di intersezione delle due rette originarie:

y=m1x+q1

y=m2x+q2

Esempi

Vediamo in questo paragrafo alcuni esempi di calcolo delle bisettrici di due rette

Esempio 1

Calcolare le equazioni delle bisettrici delle rette 3x-4y+2=0 e x-3y-2=0

Poichè le due equazioni delle rette sono riportate in forma implicita utilizzeremo la formula:

Si ottengono dunque le due equazioni delle due bisettrici:

Esempio 2

Calcolare le equazioni delle bisettrici delle due rette y=2x-2 e y=-2x+4

Poichè le rette sono in forma esplicita utilizziamo la formula conseguente:

risolvendo otteniamo:

 

Come calcolare le bisettrici di due rette
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