In questo appunto vedremo in che modo calcolare l’area di un triangolo isoscele ed alcuni esempi di esercizi di difficoltà crescente. In particolare vedremo:

Per rivedere la definizione e le proprietà di un triangolo isoscele seguire il seguente link. Per altri argomenti di geometria piana ti rimandiamo al relativo indice

Come calcolare l’area di un triangolo isoscele

L’area di un qualsiasi triangolo altro non è che il semiprodotto della base per l’altezza:

A= \frac{b*h}{2}

nel caso del triangolo isoscele la formula per il calcolo dell’area chiaramente non cambia.

area di un triangolo isoscele

Dunque per poter definire l’area di un triangolo isoscele abbiamo bisogno di solo queste due informazioni. Spesso però non si hanno a disposizione direttamente i valori di h e di b per il calcolo del perimetro, ma è necessario ricavarli dai dati e applicando la conoscenza di alcune delle proprietà del triangolo isoscele.

Una proprietà sicuramente utile del triangolo isoscele è la seguente. Se consideriamo come base il lato diverso, come nella figura sopra, l’altezza relativa a tale base è anche mediana della stessa ed asse di simmetria. Ciò significa che l’altezza divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli. Di conseguenza possiamo applicare il teorema di Pitagora:

l = \sqrt{h^{2}+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}}

ed in particolare le sue formule inverse per poter ricavare il valore della base o dell’altezza in caso sia nota la lunghezza dei lati identici:

h= \sqrt{l^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}} \\\,\\ b= 2\sqrt{l^{2}-h^{2}}

Dunque queste formule ci consentono di ricavare il valore della base o dell’altezza del triangolo isoscele quando è noto il valore della lunghezza dei due lati congruenti.

Ricorda che:

quando per base intendiamo il terzo lato del triangolo isoscele, poiché l’altezza è anche asse di simmetria e mediana, questa divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli tra loro congruenti. Dunque conoscere l’area di uno dei triangoli rettangoli significa conoscere metà dell’area del triangolo isoscele

Calcolo dell’area di un triangolo isoscele quando è nota l’altezza relativa a uno dei lati congruenti

Ricordiamo che un triangolo isoscele può essere rappresentato in due modi:

area di un triangolo isoscele

La rappresentazione 1 è quella trattata nel paragrafo precedente e che vede come base il terzo lato, quello diverso dagli altri due. Si tratta della rappresentazione più comune, soprattutto nei primi anni di scuola, e che consente, come abbiamo visto, di sfruttare il fatto che l’altezza relativa a tale lato sia anche sua mediana e suo asse di simmetria.

In realtà è possibile calcolare l’area di un triangolo isoscele anche quando è noto uno dei due lati congruenti e l’altezza ad essa relativa. Abbiamo rappresentato questo caso con la rappresentazione due dell’immagine sopra ma il triangolo può essere posizionato in qualsiasi modo. Ciò che interessa è dunque che possiamo calcolare l’area anche con la formula:

A= \frac{l*h_{1}}{2}

Ricordiamo però che in questo caso l’altezza che abbiamo indicato con h1 non ha nessuna delle proprietà viste per l’altezza h nel paragrafo precedente.

Formule utili per esercizi sul triangolo isoscele

Dunque, ponendo insieme i pezzi abbiamo che l’area può essere calcolata in due modi:

A= \frac{b*h}{2} \\\,\\ A=\frac{l*h_{1}}{2}

da queste due relazioni possiamo ricavare l’uguaglianza:

\frac{b*h}{2}=\frac{l*h_{1}}{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b*h=l*h_{1}

quest’ultima relazione ci consente di calcolare ciascuno dei 4 elementi che la costituiscono se conosciamo gli altri tre. Possiamo infatti ricavare 4 formule inverse:

b= \frac{l*h_{1}}{h} \\\,\\ h=\frac{l*h_{1}}{b}  \\\,\\ h_{1}=\frac{b*h}{l} \\\,\\ l=\frac{b*h}{h_{1}} 

riepiloghiamo nella seguente tabella alcune delle relazioni che possono essere utili nella risoluzione degli esercizi sui triangoli isoscele:

formule
Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare l’area del triangolo isoscele sapendo che il lato diverso ha lunghezza 15 cm e l’altezza ad esso relativa ha lunghezza 8 cm

Il problema ci fornisce tutte le informazioni necessarie per calcolare direttamente l’area. Infatti sono note sia la base che l’altezza. Applichiamo dunque la fomrula:

A= \frac{b*h}{2} = \frac{15*8}{2} = 60cm^{2}

Esercizio 2

Calcolare l’area del triangolo isoscele avente i due lati congruenti di lunghezza 13 m ed il terzo lato di lunghezza 24m

Per poter calcolare l’area del triangolo isoscele ci serve conoscere la lunghezza di una delle altezze. Poiché abbiamo visto che l’altezza relativa alla base è anche mediana ed asse di simmetria, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare il suo valore. Infatti possiamo considerare il triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato “obliquo” del triangolo isoscele e come cateti l’altezza del triangolo relativa al terzo lato e la metà del terzo lato.

Dunque la formula da applicare è:

h= \sqrt{l^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}} = \sqrt{13^{2}-\left(\frac{24}{2}\right)^{2}} = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5m

Adesso che l’altezza è nota possiamo moltiplicarla per la sua base e dividerla per due per ottenere l’area:

A=\frac{b*h}{2} = \frac{24*5}{2} = 60m^{2}

Esercizio 3

Calcolare l’area del triangolo isoscele avente i lati congruenti di lunghezza pari a 8dm e l’altezza ad essa relativa di 4 dm.

Anche in questo caso il problema ci fornisce già tutti i dati per calcolare l’area:

A=\frac{l*h_{1}}{2} = \frac{8*4}{2} = 16dm^{2}

Esercizio 4

Calcolare l’area del triangolo isoscele avente perimetro P 16m e i lati congruenti di lunghezza 5m

Il problema in questo caso non fornisce apparentemente, alcuna informazione per il calcolo dell’area del triangolo isoscele. Osservando i dati possiamo intuire che la conoscenza del perimetro e del lato obliquo ci consente di calcolare la lunghezza del terzo lato del triangolo isoscele:

b= P-2l = 16-2*5 =16-10=6m

adesso applicando il teorema di Pitagora è possibile calcolare l’altezza relativa al terzo lato come già visto nell’esercizio 2:

h= \sqrt{l^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}} = \sqrt{5^{2}-\left(\frac{6}{2}\right)^{2}} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4m

Dunque possiamo calcolare l’area:

A=\frac{b*h}{2} = \frac{6*4}{2}=12m^{2}
Come calcolare l’area di un triangolo isoscele