Vediamo in questo appunto come calcolare l’area di un rettangolo ed alcuni esempi di esercizi. In particolare vedremo:
- Cosa è un rettangolo
- Come calcolare l’area di un rettangolo:
- Esempi di esercizi
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Cosa è un rettangolo
Il rettangolo è una figura geometrica bidimensionale che fa parte della famiglia dei quadrilateri. E’ possibile fornire diversi tipi di definizioni ognuno legata ad una sua proprietà che rende tale figura geometrica peculiare. Potremmo definire il rettangolo dunque come un quadrilatero i cui lati sono a due a due paralleli e che formano angoli interni tutti di 90°. Il rettangolo è dunque un caso particolare di parallelogramma con gli angoli interni tutti uguali e retti.
Nella figura sopra, il rettangolo è la figura ABCD. I segmenti AC e BD sono le diagonali del rettangolo. Tali diagonali sono congruenti tra loro. Esse si intersecano tra loro nel punto O. Le diagonali non sono mai perpendicolari in un rettangolo a meno che il rettangolo non degenera in un quadrato (potremmo infatti definire il quadrato un particolare rettangolo con i lati tutti uguali tra loro).
Come calcolare l’area di un rettangolo noti i suoi lati
L’area di un rettangolo è la misura della sua superficie interna, ovvero della superficie racchiusa dai suoi lati. Dato il rettangolo ABCD mostrato nella figura del paragrafo precedente, chiamiamo il lato CD “base” b del rettangolo e la indicheremo genericamente con il simbolo b e chiamiamo il lato AD come altezza del rettangolo. Nel rettangolo, il lato AD può essere considerata “l’altezza” h del rettangolo in quanto perpendicolare alla base.
Calcolare l’area del rettangolo significa dunque misurare la sua superficie interna, che di seguito coloreremo di azzurro:
Dunque per calcolare l’area del rettangolo basta moltiplicare la lunghezza della base per la lunghezza dell’altezza:
A_{rettangolo} = b*h
applicare tale formule significa andare a calcolare quanti quadratini di area unitaria sono contenuti all’interno del rettangolo:
Come calcolare l’area di un rettangolo noto il perimetro e la lunghezza di uno dei suoi lati
Conoscere il perimetro del rettangolo non consente di ricavare l’area dello stesso. Esistono infatti infiniti rettangoli diversi con lo stesso perimetro. Consideriamo infatti i seguenti due rettangoli:
- Rettangolo 1 avente base 4cm e altezza 5 cm. Questo avrà perimetro pari a 18 cm e area data da:
A_{rettangolo1} = b*h = 4*5 = 20 cm^{2}
- Rettangolo 2 avente base 3cm e altezza 6 cm. Questo avrà come il precidente un perimetro pari a 18 cm ma avrà un’area diversa:
A_{rettangolo2} = b*h = 3*6= 18cm^{2}
Dunque conoscere solo il perimetro non ci consente di poter ricavare l’area del rettangolo. Ricordiamo che dati base e altezza di un rettangolo, il suo perimetro sarà pari a :
P = 2(b+h)
Vediamo adesso che per poter calcolare l’area del rettangolo, oltre al perimetro è necessario conoscere la lunghezza di almeno uno dei due lati. Che sia base o altezza non interessa. Conoscendo perimetro e base possiamo ad esempio ricavare l’altezza:
h= \frac{P}{2} - b
per cui l’area del rettangolo diventa:
A = b*h=b*\left(\frac{P}{2}-b\right)
situazione simile se oltre al perimetro è nota l’altezza:
A=b*h = h*\left(\frac{P}{2}-h\right)
Riflettendo sui passaggi fatti, possiamo dire che, se è noto il perimetro ed uno dei suoi lati, il calcolo dell’area richiede di ricavare il secondo lato dal perimetro e di ottenere l’area come prodotto delle lunghezze di base e altezza come visto nel paragrafo precedente.
Calcolare l’area del rettangolo note la somma e la differenza dei suoi lati
Può capitare di dover calcolare l’area di un rettangolo avendo come dati la somma della base e dell’altezza e la loro differenza. I dati a diposizione sono dunque:
b+h = s \\\,\\ b-h=d
avendo ipotizzato il caso che b sia maggiore di h. Come affrontare questo caso? Ancora una volta dobbiamo ricavare i dati di base e altezza per calcolare l’area. Questo significa risolvere il seguente sistema:
\left\{\begin{matrix}
b+h = s\\
b-h = d
\end{matrix}\right.
da cui possiamo ricavare che:
b= \frac{s+d}{2} \\ \,\\ h= \frac{s-d}{2}
per cui, l’area del rettangolo diviene:
A= b*h = \frac{s+d}{2}*\frac{s-d}{2} =\frac{(s+d)(s-d)}{4} =\frac{s^{2}-d^{2}}{4}
dunque abbiamo ottenuto una formula per l’area del rettangolo quando sono note la somma e la differenza di base e altezza.
Calcolare l’area del rettangolo nota la diagonale ed uno dei suoi lati
Come visto per il perimetro, anche per la diagonale, la sola conoscenza della sua lunghezza non ci consente di calcolare l’area del rettangolo. Ricordiamo che le due diagonali nel rettangolo sono uguali tra loro, ma esistono infiniti rettangoli che possono avere le stesse diagonali. Per convincersi basti pensare che, dato un rettangolo con una determinata diagonale, esiste un quadrato che avrà la stessa diagonale. Ciò che cambia tra i vari rettangoli saranno gli angoli che le diagonali formeranno intersecandosi.
Dunque, per poter calcolare l’area del rettangolo nota la diagonale, è necessario conoscere almeno uno dei suoi lati, o la base o l’altezza. Infatti, se indichiamo con c la diagonale, vale vale il teorema di Pitagora:
b^{2}+h^{2} = c^{2}
dunque noto c, e noto uno dei due lati, è possibile ricavare il secondo lato utilizzando una delle formule inverse del teorema di Pitagora. Se conoscessi diagonale e base, l’altezza sarebbe:
h= \sqrt{c^{2}-b^{2}}
e l’area del rettangolo sarebbe dunque pari a:
A=b*h=b*\sqrt{c^{2}-b^{2}}
Se invece conoscessimo la diagonale e l’altezza, dovremmo prima ricavarci la base applicando la formula:
b=\sqrt{c^{2}-h^{2}}
e poi calcolare l’area come:
A=b*h = b*h=\sqrt{c^{2}-h^{2}}*h
Calcolare l’area del rettangolo conosciuta la lunghezza della diagonale e l’angolo che la diagonale forma con la base
Un altra tipologia di problema che si può riscontrare quando si ha a che fare con la goniometria e quindi quando sono note le funzioni seno e coseno è quello in cui per ricavare la base o l’altezza è necessario utilizzare uno dei teoremi sui triangoli rettangoli. Troverai questi teoremi al seguente link. Quello che proponiamo è solo un esempio dove il problema ci fornisce la lunghezza della diagonale e l’angolo che questa forma con la base:
In figura è indicato con α l’angolo che la diagonale forma con la base. Conoscere α consente di conoscere anche gli altri angoli sfruttando le diverse proprietà geometriche. In particolare si noti che è possibile conoscere anche i due angoli che le diagonali formano intersecandosi tra loro
qualora siano note diagonale c e angolo α con la base, potremmo ricavarci la base e l’altezza utilizzando le formule goniometriche seno e coseno:
b= c*cos\alpha \\\,\\ h=c*sin\alpha
Dunque l’area del rettangolo sarebbe:
A=b*h = c^{2}sin\alpha cos\alpha
Nota:
In tutti i problemi che richiedono il calcolo dell’area del rettangolo, il problema si riduce essenzialmente nell’individuare il valore della base e dell’altezza e poi moltiplicarli tra loro.
Esempi di esercizi
Esercizio 1
Calcolare l’area del rettangolo sapendo che la sua base è 40cm e la sua altezza è 22cm
Poiché conosciamo sia base che altezza, ci basta applicare la formula dell’area:
A= b*h = 40*22= 880cm^{2}
Esercizio 2
Calcolare l’area del rettangolo sapendo che il suo perimetro è di 20m e la sua base è 3m
Ricordiamo che il perimetro di un rettangolo è due volte la somma di base e altezza:
P=2(b+h)
per cui, conoscendo perimetro e base, possiamo calcolarci l’altezza:
h=\frac{P}{2}-b = \frac{20}{2}m-3m=10m-3m=7m
e calcolare di conseguenza l’area del rettangolo:
A=b*h=3m*7m=21m^{2}
Esercizio 3
Calcolare l’area del rettangolo avente come una diagonale di 25 cm e l’altezza di 7 cm
Poiché conosciamo la diagonale c e altezza h, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare l’altezza b:
c^{2}=b^{2}+h^{2} \Rightarrow b^{2}=c^{2}-h^{2} \Rightarrow b=\sqrt{c^{2}-h^{2}} \\\,\\b=\sqrt{25^{2}-7^{2}} = \sqrt{25^{2}-7^{2}}=\sqrt{625-49} = \sqrt{576}=24 cm
adesso possiamo calcolare l’area del rettangolo:
A=b*h=24cm*7cm= 168 cm^{2}
Esercizio 4
Calcolare l’area del rettangolo avente le diagonali di 10m e che intersecandosi formano angoli di 120° e 60°
questo esercizio è il più complicato di quelli proposti. Riprendiamo la figura vista precedentemente quando abbiamo parlato dell’angolo che la diagonale forma con la base:
senza entrare nei dettagli, si noti che gli angoli che formano le diagonali tra loro sono connessi con gli angoli che le diagonali formano con la base e con l’altezza. Gli angoli che le diagonali formano tra loro sono il doppio degli angoli che le diagonali formano con base e altezza. Possiamo dunque concludere che se le diagonali formano angoli di 120° e 60° tra loro, esse formeranno angoli di 60° e 30° con base e altezza. Il problema non ci dice quale angolo sia formato con la base e quale angolo sia formato con l’altezza.
Però possiamo dire che scegliendo uno dei due angoli, il prodotto della diagonale per il coseno ed il seno di quell’angolo daranno i valori di base e altezza. Per cui possiamo calcolare l’area nel seguente modo:
A=c\,sin\alpha*c \,cos\alpha = c^{2}sin\alpha cos\alpha =10^{2}sin30 cos 30 = 100*\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}m^{2}
Esercizio 5
Calcolare l’area del rettangolo sapendo che la somma di base e altezza è 15cm e la differenza è 3cm. La base è maggiore dell’altezza
Sappiamo dunque dal problema che b+h=15cm e b-h=3 cm. Abbiamo visto nei paragrafi precedenti che per trovare base e altezza bisognerebbe risolvere il seguente sistema di equazioni:
\left\{\begin{matrix}
b+h = s\\
b-h = d
\end{matrix}\right.
da cui possiamo ricavare che:
b= \frac{s+d}{2} \\ \,\\ h= \frac{s-d}{2}
per cui, l’area del rettangolo diviene:
A= b*h = \frac{s+d}{2}*\frac{s-d}{2} =\frac{(s+d)(s-d)}{4} =\frac{s^{2}-d^{2}}{4}=\frac{15^{2}-3^{2}}{4}= 54cm^{2}
