In questo appunto vediamo in che modo calcolare l’angolo compreso tra due rette in un piano cartesiano. Capita spesso negli esercizi geometria analitica che possa essere necessario conoscere l’angolo compreso tra due rette. In questo appunto mostriamo la formula per ottenere questa informazione ed il procedimento per ricavarla. Per poter comprendere completamente il contenuto di questo appunto consigliamo di approfondire i concetti relativi all’equazione di una retta, al coefficiente angolare di una retta e alle formule di sottrazione delle formule goniometriche. In questo appunto vediamo come:
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Come calcolare l’angolo compreso tra due rette
Immaginiamo di avere un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e di avere due rette le cui equazione in forma esplicita sono del tipo:
y=mx+q \\\,\\ y=m'x+q'
dove assumiamo che:
m \neq m'
ci chiediamo dunque qual è l’angolo che le rette formano incrociandosi. L’aver imposto che i coefficienti angolari delle due rette fossero diversi è legata al fatto che se il coefficiente angolare fosse il medesimo per le due rette, l’angolo tra di esse formato sarebbe nullo in quanto le due rette sarebbero parallele. Rappresentiamo dunque graficamente il nostro problema:
la retta di equazione y=mx+q forma un angolo α con l’asse delle x tale che:
m= tan\alpha
la retta y=m’x+q’ forma un angolo β con l’asse delle x tale che:
m'=tan\beta
Le due rette si incontrano nel punto A e formano tra loro 4 angoli a due a due congruenti per il teorema degli angoli opposti al vertice. Tra questi ci interessiamo all’angolo acuto che indichiamo con il simbolo γ. Ma a quanto equivale questo angolo? Guardando la figura notiamo che le due rette formano con l’asse delle x un triangolo ABC i cui angoli sono β, 180°-α (in quanto supplementare all’angolo α) e γ in quanto opposto al vertice di due rette che si incontrano. Poiché la somma degli angoli interni ad un triangolo deve essere pari a 180° abbiamo che:
180°= \beta+180°-\alpha+\gamma
da cui:
\gamma = \alpha-\beta
Poiché quando abbiamo a che fare con due rette, l’informazione disponibile non riguarda l’angolo che queste formano con l’asse delle x ma il coefficiente angolare della loro equazione, proviamo a ricavare la tangente dell’angolo γ in funzione dei coefficienti angolari delle due rette. Grazie alle formule di sottrazione possiamo scrivere:
tan\gamma =tan (\alpha -\beta ) = \frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta} = \frac{m-m'}{1+mm'}
facciamo due considerazioni:
- questo risultato ci conferma che se le due rette avessero avuto lo stesso coefficiente angolare l’angolo tra essi formato sarebbe stato nullo in quanto le rette sarebbero parallele
- Il risultato ottenuto deriva dall’assunzione implicita nel nostro disegno che α>β e quindi non è rappresentativo di tutte le possibili casistiche.
- Se le due rette sono perpendicolari tra loro e quindi tali che il coefficiente angolare dell’uno è antireciproco dell’altra, la formula ci fornisce un risultato impossibile con uno 0 al denominatore
Consideriamo dunque il caso in cui α<β. In questo caso avremmo che:
\gamma = \beta-\alpha
e dunque ripercorrendo i passaggi fatti per il primo caso avremmo:
tan\gamma =tan (\beta -\alpha ) = \frac{tan\beta-tan\alpha}{1+tan\beta tan\alpha} = \frac{m'-m}{1+m'm}
La differenza tra le due forme sta nel termine al numeratore che può dunque dare un risultato positivo o negativo a seconda dei casi. Si noti che se le due rette incrociandosi formano sempre due tipi di angoli, uno acuto ed uno ottuso ( a meno di avere a che fare con due rette perpendicolari). I due angoli sono sempre supplementari e tali che:
tan(180°-\gamma) = - tan \gamma
ma un angolo acuto ha sempre una tangente positiva. Possiamo dunque concludere che se con γ indichiamo l’angolo acuto formato dalle due rette, possiamo scrivere che:
tan \gamma = \left | \frac{m-m'}{1+mm'} \right |
Esempi di esercizi
Esempio 1
Calcolare gli angoli che formano tra loro le seguenti rette:
y=3x+3 \\\,\\ y=2x-5
I coefficienti di angolare delle due rette sono m=3 e m’=2. Dalla formula riportata nel paragrafo precedente ricaviamo la tangente dell’angolo acuto compreso tra le due rette:
tan \gamma = \left| \frac{m-m'}{1+mm'} \right| = \left| \frac{3-2}{1+6} \right| = \frac{1}{7} \approx 0,143
adesso possiamo ricavarci il valore dell’angolo:
\gamma= arctang (0,143) = 8,13°
ne cosnegue che il secondo angolo, supplementare al primo sarà:
\delta = 180°-\gamma =180°-8,13° = 171,87°
Esempio 2
Calcolare gli angoli che le seguenti rette formano incontrandosi tra loro:
y= -2x+3 \\\,\\ y=\frac{1}{2}x
Utilizziamo ancora una volta la formula vista nel paragrafo precedente per calcolare la tangente dell’angolo acuto che le due rette formano incontrandosi:
tan \gamma = \left| \frac{m-m'}{1+mm'} \right| = \left| \frac{-2-\frac{1}{2}}{1+(-2)\frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{-\frac{5}{2}}{1-1} \right| =\left| \frac{-\frac{5}{2}}{0} \right|
Abbiamo uno zero al denominatore. A cosa è dovuto questa impossibilità di ottenere un risultato? Il motivo è legato al fatto che le due rette sono perpendicolari tra loro. Avremmo potuto notarlo dai due coefficienti angolari in quanto l’uno è l’antireciproco dell’altro.
