In questo appunto vedremo in che modo calcolare il perimetro di un triangolo isoscele ed alcuni esempi di esercizi di difficoltà crescente. In particolare vedremo:
Per rivedere la definizione e le proprietà di un triangolo isoscele seguire il seguente link. Per altri argomenti di geometria piana ti rimandiamo al relativo indice
Come calcolare il perimetro di un triangolo isoscele
Il perimetro di un triangolo altro non è che la somma delle lunghezze dei suoi tre lati:
P = l_{1}+l_{2}+l_{3}
la prima particolarità del triangolo isoscele è che due dei suoi lati sono uguali. Se consideriamo la seguente figura:
Il perimetro allora sarà dato da:
P= l+l+b= 2l+b
Questa può essere considerata come la formula generale del perimetro di un triangolo isoscele. Spesso però non si hanno a disposizione direttamente i valori di l e di b per il calcolo del perimetro, ma è necessario ricavarli dai dati e applicando la conoscenza di alcune delle proprietà del triangolo isoscele.
Una proprietà sicuramente utile del triangolo isoscele è la seguente. Se consideriamo come base il lato diverso, come nella figura sopra, l’altezza relativa a tale base è anche mediana della stessa ed asse di simmetria. Ciò significa che l’altezza divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli. Di conseguenza possiamo applicare il teorema di Pitagora:
l = \sqrt{h^{2}+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}}
Il teorema di Pitagora ci consente dunque di ricavare il valore del lato l o della base b direttamente dall’altezza h.
In altre occasioni potrebbe essere disponibile l’area del triangolo e da lì sarà necessario calcolare la lunghezza dei lati o della base. Riportiamo di seguito alcune delle relazioni che potrebbero essere utili nel calcolo dei vari elementi fondamentali di un triangolo isoscele:
Vediamo adesso alcuni esempi di esercizi
Esempi di esercizi
Esempio 1
Calcolare il perimetro del triangolo isoscele avente i due lati congruenti di lunghezza 7cm ed il terzo lato di lunghezza 4cm.
Poiché conosciamo contemporaneamente la lunghezza dei lati congruenti e della base, possiamo utilizzare la formula generale per il calcolo del perimetro:
P=2l+b= 2*7+ 4= 14+4= 18 cm
Esempio 2
Calcolare il perimetro del triangolo isoscele avente i due lati congruenti di lunghezza 5 cm e l’altezza relativa al terzo lato di lunghezza 4 cm
In questo caso la traccia del problema ci fornisce il valore dei lati congruenti ma non della base. Possiamo però ricavare quest’ultima informazione utilizzando il teorema di Pitagora:
l^{2} = h^{2}+\left( \frac{b}{2}\right)^{2}
da cui ricaviamo:
\frac{b}{2} = \sqrt{l^{2}-h^{2}} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b= 2\sqrt{l^{2}-h^{2}}
per cui:
b= 2\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 2\sqrt{25-16} = 2*3 = 6 cm
Adesso possiamo calcolare il perimetro:
P = 2l + b = 2*5 + 6 = 16cm
Esempio 3
Calcolare il perimetro di un triangolo isoscele avente area di 168 m2 e il lato diverso di 14 m
In questo esercizio conosciamo il valore del terzo lato del triangolo isoscele ma non conosciamo il valore della lunghezza del lato obliquo. Possiamo però ricavare il valore dell’altezza del triangolo isoscele relativa alla base dall’area:
h= \frac{2A}{b} = \frac{2*168}{14} = \frac{336}{14} = 24m
Adesso utilizzando il teorema di Pitagora per calcolare il valore della lunghezza dei lati congruenti:
l = \sqrt{h^{2}+\left(\frac{b}{2} \right)^{2}} = \sqrt{24^{2}+\left(\frac{14}{2} \right)^{2}} = \sqrt{576+49} = \sqrt{625} = 25m
Possiamo adesso calcolare il perimetro del triangolo isoscele:
P = 2l+b = 2*25+14 = 64m
Esercizio 4 (richiede la conoscenza di equazioni di secondo grado)
Calcolare il perimetro del triangolo isoscele avente area 60 cm2 e i lati uguali di lunghezza 13 cm
In questo caso non è possibile calcolare la base o l’altezza direttamente dai dati esistenti. E’ necessario combinare le informazioni a disposizione per eseguire il calcolo. Sappiamo infatti dal teorema di Pitagora che:
h^{2}+\left( \frac{b}{2}\right)^{2} = l^{2} = 13^{2} = 169 cm^{2}
mentre sappiamo che:
\frac{b*h}{2} = A \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b*h=2A= 2*60 = 120cm^{2}
possiamo dunque combinare queste due informazioni in un sistema di equazioni:
\left\{\begin{matrix}
h^{2}+\left( \frac{b}{2}\right)^{2} = 169 cm^{2} \\ \,\\
b*h = 120cm^{2}
\end{matrix}\right.
dalla seconda equazione ricaviamo:
h = \frac{120}{b}
che possiamo sostituire nella prima equazione:
\left( \frac{120}{b} \right)^{2} + \left( \frac{b}{2}\right)^{2} = 169 cm^{2}
svolgiamo i calcoli:
\frac{14400}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{4} = 169 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 57600+b^{4} -676 b^{2} = 0
poniamo adesso b2=x e otteniamo:
x^{2}-676x+57600=0
che è un’equazione di secondo grado. Calcoliamo le soluzioni:
x_{1,2} =\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac}}{a}= \frac{338\pm\sqrt{338^{2}-57600}}{1} = 338\pm\sqrt{114244-57600} = 338\pm\sqrt{56644} = 338\pm238 \\\,\\ x_{1} = 576 \\\,\\ x_{2} = 100
Poiché abbiamo posto che b^{2}=x allora possiamo calcolare i valori della base b:
b_{1,2} = \pm \sqrt{576} \Rightarrow b_{1}= 24cm \,\,\,\,\,b_{2}=-24cm \\\,\\ b_{3,3} = \pm \sqrt{100} \Rightarrow b_{3}= 10cm \,\,\,\,\,b_{4}=-10cm
ma una lunghezza non può essere negativa, dunque prendiamo solo i valori positivi! Abbiamo due possibili valori della base b che risolvono il problema, La prima vede la base lunga 24 cm e la seconda vede la base lunga 10 cm. Calcoliamo le rispettive altezze. Sappiamo che:
b*h = 120cm^{2} \Rightarrow \,\,\,\,\,\
h_{1}= \frac{120}{24}= 5cm\,\,\,\,\,\
h_{2}= \frac{120}{10}= 12cm
Possiamo dunque dire che esistono due triangoli isosceli che risolvono il problema. Il primo ha base 24cm, altezza 5 cm e lato obliquo 13 cm. Il secondo triangolo ha base 10cm, altezza 12 cm e lato obliquo 13 cm.
