Significato ed interpretazione grafica dei coefficienti di una parabola

In questo appunto vedremo il significato dei coefficienti di una parabola. Per capire quanto riportato in questo appunto, è necessario avere ben chiaro cosa è l’equazione di una parabola. Daremo quindi per scontato cosa sia l’equazione di una parabola e tratteremo direttamente i suoi coefficienti. Utilizzeremo come riferimento per le formule e le figure, l’equazione generica di una parabola con asse parallelo all’asse delle y:

Considerazioni simili possono essere comunque fatte quando l’asse è parallelo all’asse delle x. Vediamo nell’ordine i coefficienti:

• a: concavità di una parabola
• b: simmetria rispetto all’asse delle ordinate e movimento di fuoco e vertice
• c: intersezione con asse delle ordinate

Coefficiente a

Il coefficiente a è il primo coefficiente della parabola. Esso determina sia il grado di concavità della parabola che la sua direzione. Vediamo in questo grafico come varia la forma della parabola al variare del valore di a valori positivi di a:

All’aumentare del valore di a, la parabola si sposta verso sinistra, diminuisce la sua concavità, che è sempre rivolta verso l’alto,ed il fuoco e la direttrice sono più vicini tra loro. Per apprezzare meglio il solo effetto di a, consideriamo la parabola y=ax² con i coefficienti b e c=0. Si tratta di una parabola con vertice nell’origine degli assi e asse di simmetria coincidente con l’asse delle y. Avendo annullato b, si annulla lo spostamento della parabola nel piano cartesiano. Vediamo cosa accade considerando i soli valori positivi di a:

dove con lo stesso colore sono stati disegnati la parabola, il suo fuoco e la sua direttrice. Come si vede dal grafico, quando la parabola si chiude (a aumenta), il fuoco e la direttrice si avvicinano tra loro. Adesso eliminiamo il fuoco e la direttrice e consideriamo anche valori negativi del coefficiente a:

Abbiamo 3 quindi casi da valutare:

• caso a>0: la concavità della parabola è rivolta rivolta verso la direzione positiva delle ascisse. Al diminuire del suo valore, il fuoco e la direttrice si allontanano tra di loro. Il fuoco è posizionato sopra la direttrice. Nell’immagine sopra non abbiamo riportato fuoco e direttrice delle parabole per rendere più semplice da analizzare.
• a=0. Si tratta del caso limite che si ottiene diminuendo il valore di del coefficiente fino ad annullarlo. Questo accade perché la direttrice e il fuoco si allontanano all’infinito (il denominatore di a 2f-2k tende all’infinito). La parabola in questo caso degenera in una retta parallela all’asse delle x
• caso a<0. Il fuoco e la direttrice tornano a riavvicinarsi ma cambiando la loro posizione relativa. Il fuoco adesso è sotto la direttrice e la concavità è rivolta verso il basso

Infine, dal grafico sopra mostrato, le parabole mostrano una simmetria rispetto all’asse delle x. Questo accade solo ed esclusivamente quando b e c sono nulli. Stesse considerazioni possono essere fatte se la parabola ha asse di simmetria parallelo all’asse delle x. In questo caso però la concavità è rivolta verso destra (segno positivo dei valori di x) se a>0. In caso di a<0 la concavità della parabola è rivolta verso sinistra.

Coefficiente b

Il coefficiente b è il secondo coefficiente della parabola. Per capire il suo effetto sull’equazione della parabola, consideriamo l’equazione di una parabola, facciamo variare b e lasciamo a e c costanti. Consideriamo ad esempio la parabola di equazione:

vediamo in che modo varia la parabola al variare del coefficiente b.

Possiamo fare alcune osservazioni dalla figura. All’aumentare del coefficiente b la parabola si muove verso sinistra nel piano cartesiano senza cambiare la sua concavità (che dipende dal coefficiente a) e senza cambiare la sua intersezione con l’asse delle ordinate (che dipende dal coefficiente c).

Simmetria rispetto all’asse delle ordinate

Le parabole sono simmetriche rispetto all’asse delle ordinate. Vediamo ad esempio le due parabole:

e riportiamo in figura i loro grafici

dall’immagine è evidente la simmetria delle parabole rispetto all’asse delle ordinate. Ricordiamo che due figure sono simmetriche rispetto all’asse delle ordinate se ad ogni punto P(x,y) è associato un punto P(-x,y). Consideriamo le due parabole riportate nel grafico e verifichiamo il loro comportamento in un generico punto x e nel suo corrispettivo -x e con le equazioni delle due parabole calcoliamo i valori delle ordinate:

In sostanza, ciò che accade per valori positivi di x ad una parabola, accade all’altra per valori negativi di x. Questo comportamento diventa limite nel caso in cui b=0 dove la parabola è unica ed ha il suo asse di simmetria coincidente con l’asse delle ordinate.

Movimento di fuoco e vertice

Un’altra caratteristica che si può notare dal movimento delle parabole è il movimento del fuoco e del vertice delle parabole. Riportiamo nel seguente grafico il movimento dei vertici:

i vertici si muovono formando un’altra parabola. Si dimostrerà in seguito che le coordinate del vertice di una parabola sono:

ricavando la b da x_V e sostituendolo nell’equazione di y_V otteniamo:

stessa cosa si può dimostrare per i fuochi delle parabole che avranno invece equazione:

dove vedremo che x_V e x_F sono identici. Ne consegue dunque che fuoco e vertice si muovono al variare di b seguendo la traiettoria di due parabole aventi coefficiente a uguale ed opposto a quello della parabola originaria.

b come coefficiente angolare della retta tangente al punto di incontro della parabola con asse y

Un’ultima caratteristica è che il coefficiente b determina il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola nel punto di intersezione della parabola con l’asse delle ordinate. Questo concetto può essere dimostrato o con le derivate (e qui non lo faremo) oppure calcolando la retta tangente alla parabola nel punto x=0 (lo vedremo quando parleremo della posizione relativa di una retta e di una parabola).

Coefficiente c

L’ultimo, ed il più semplice da comprendere dei coefficienti di una parabola è il coefficiente c. Esso è il termine noto dell’equazione di una parabola ed esprime il punto di intersezione della parabola con l’asse delle ordinate (x=0). Infatti, se poniamo la condizione x=0, dall’equazione della parabola ricaviamo y=c. Il punto P(0,c) è il punto di intersezione della parabola con l’asse delle ordinate. Nel grafico che segue mostriamo come varia una parabola mantenendo a e b costanti e variando il solo coefficiente c:

La parabola mantiene la sua concavità ed il suo asse di simmetria non cambia. Varia solo l’intersezione della parabola con l’asse delle ordinate. Importante notare che se c=0 (parabola in grigio), la parabola intersecherà l’asse delle ordinate nell’origine degli assi O(0,0). Se abbiamo a che fare con una parabola orizzontale di equazione x=ay²+by+c, allora c rappresenta il punto di intersezione della parabola con l’asse delle ascisse.