L’equazione della retta scritta in forma esplicita è caratterizzata da due coefficienti detti rispettivamente coefficiente angolare ed intercetta della retta. Vediamo cosa rappresentano questi due coefficienti ed in che modo essi aiutano ad identificare univocamente una retta nel piano cartesiano. Consideriamo l’equazione della retta in forma esplicita
m è detto coefficiente angolare e q intercetta della retta o ordinata all’origine. Vediamo nei seguenti paragrafi i significati di questi due coefficienti
Coefficiente angolare di una retta
Il coefficiente angolare di una retta esprime l’angolo che la retta forma con l’asse x delle ascisse. Consideriamo ad esempio una retta del tipo y = mx, ovvero una retta con intercetta q= 0 (e quindi come vedremo in seguito, passante per l’origine degli assi) e formante con l’asse delle ascisse un angolo generico alfa. Consideriamo al contempo la circonferenza goniometrica (circonferenza di raggio 1 e centro nell’origine degli assi x e y). La retta intercetterà la circonferenza goniometrica nel punto A. Ricordiamo dai nostri appunti di goniometria, che la proiezione del segmento OA sull’asse delle ascisse è il coseno dell’angolo alfa mentre la proiezione sull’asse delle ordinate è il seno dell’angolo alfa:
Il punto A della retta che interseca la circonferenza goniometrica, avrà coordinate x = cosα e y= sinα). Poiché tale punto appartiene alla retta abbiamo che:
sostituendo a x e y i valori delle coordinate del punto A abbiamo:
da cui:
Il coefficiente angolare altro non è che la tangente dell’angolo compreso tra la retta e l’asse delle ascisse. Ricordiamo che la tangente di un angolo può assumere qualsiasi valore tra -infinito e più infinito. Vediamo in cosa consiste geometricamente la tangente di un angolo rispetto alla circonferenza goniometrica:
Nel caso della retta, a coefficienti angolari positivi (da 0 a +infinito) corrispondono rette che formano un angolo da 0 a 90° con l’asse delle ascisse. A coefficienti angolari negativi invece corrispondono rette che formano un angolo da 90° a 180° con l’asse delle ascisse. Più l’angolo tende verso 90° più m tende verso infinito. A 90° m non ha un valore e per tali valori non esiste una equazione esplicita della retta. Vediamo adesso come varia la retta al variare del valore m per valori positivi di m considerando ancora il caso di rette avente intercetta q=0:
Vediamo adesso come varia la retta al variare del malore di m per valori negativi di m:
Coefficiente angolare: retta non passante per l’origine
Abbiamo visto nel paragrafo precedente l’interpretazione del coefficiente angolare rappresentando con la circonferenza goniometrica il caso di una retta passante per l’origine. Ma cosa succede se la retta non passa per l’origine? In realtà nulla, valgono le stesse considerazioni fatte nel paragrafo precedente. Il coefficiente angolare continua ad esprimere la pendenza della retta e da informazioni sull’angolo che la retta forma con l’asse delle x. E’ importante però mostrare la seguente relazione che deriva proprio da come abbiamo definito m usando la circonferenza goniometrica.
Consideriamo una retta che non passa per l’origine ma che incontra l’asse delle ascisse nel punto x=xA. Se adesso consideriamo il punto B della retta con ascissa xA+1, il coefficiente angolare altro non è che l’ordinata di tale punto:
Così facendo, ogni volta che l’ascissa incrementa di 1 allora l’ordinata incrementerà di un fattore m (vedere punto c)
Intercetta q
L’intercetta q esprime invece il punto di intersezione della retta con l’asse delle ordinate. Infatti, all’asse delle ordinate appartengono tutti i punti del piano cartesiano per cui l’ascissa ha valore nullo. Partiamo nuovamente dalla equazione della retta in forma esplicita:
se x=0 allora y=q. Qualsiasi retta esprimibile in forma esplicita interseca l’asse delle ordinate in un punto A aventi ordinate (0,q).
