Equazione di una circonferenza con il centro appartenente ad una retta e passante per due punti

In questo appunto vediamo in che modo è possibile calcolare l’equazione di una circonferenza con il centro appartenente ad una retta e passante per due punti. In particolare vedremo:

• Casi possibili di esercizi
• Metodo I: imporre le generiche coordinate del centro come soluzione dell’equazione della retta (più breve)
• Metodo II: calcolo delle coordinate del centro come intersezione tra la retta data e l’asse del segmento dei punti dati
• Esempi di esercizi

Casi possibili di esercizi

Mostreremo nel seguito due possibili metodi per la risoluzione di esercizi nei quali è richiesto il calcolo dell’equazione della circonferenza con il centro appartenente ad una retta data e passante per due punti. Nella risoluzione degli esercizi possiamo avere 3 possibili casi:

• L’esercizio ha una soluzione unica. Esiste una ed una sola circonferenza con le caratteristiche richieste
• Esistono infinite circonferenze che risolvono il problema. Questo accade quando l’asse del segmento AB coincide con la retta data
• Non esistono soluzioni. Questo è il caso in cui l’asse del segmento AB è parallelo e non coincide con la retta data.

Adesso che sappiamo i possibili casi andiamo avanti con la spiegazione dei metodi e con gli esempi di esercizi.

Metodo I: calcolo delle coordinate del centro in funzione dell’equazione della retta

Il primo metodo che qui presentiamo per calcolare l’equazione della circonferenza con il centro appartenente ad una retta consiste nell’imporre le generiche coordinate del centro come soluzione dell’equazione di quest’ultima. Sia data dunque una generica retta di equazione:

y=mx+q

consideriamo anche l’equazione generica di una circonferenza in forma canonica:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

dire che il generico centro C di una circonferenza di coordinate:

C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)

appartiene alla retta, significa che sostituendo le coordinate del centro all’equazione della retta, l’uguaglianza è soddisfatta:

-\frac{b}{2}=-m\frac{a}{2}+q

Sapere che il centro appartiene ad una retta chiaramente non basta per determinare univocamente una circonferenza. Esistono infatti infinite circonferenze con centro appartenente ad una retta:

la relazione sopra individuata ci consente infatti di determinare il valore del coefficiente b in funzione di a (o viceversa):

b=ma-2q

che sostituito all’equazione generale di una circonferenza ci da:

x^{2}+y^{2}+ax+(ma-2q)y+c=0

l’equazione dipende ancora dai due parametri a e c e questo è il motivo per cui risulta essere ancora indeterminata. Conoscere il raggio r non sarebbe sufficiente. Esistono infatti infinite circonferenze con lo stesso raggio con centro sulla retta. Il problema però ci fornisce le coordinate di due punti. E’ assolutamente necessario le coordinate di due punti per definire univocamente una circonferenza. Conoscere un solo punto non basta. Esistono infatti infinite rette con centro sulla retta data e passanti per un punto A dato:

nella figura sopra si possono ricavare due informazioni. La prima è che dato un punto A esistono sempre infinite circonferenze con centro appartenente ad una retta che si incontrano in tal punto. La seconda è che dato un punto A, le infinite circonferenze si incontrano anche nel punto A’ simmetrico ad A rispetto alla retta a cui appartiene il centro che risulta dunque anche asse del segmento AA’. Ne risulta dunque che:

Sapendo che il centro appartiene ad una retta, per poter definire univocamente una circonferenza è necessario conoscere le coordinate di due punti A e B appartenenti ad essa ma tali che l’asse del segmento AB non coincida con la retta a cui appartiene il centro.

Si può inoltre dimostrare che:

se l’asse del segmento AB è parallelo ma non coincidente alla retta su cui dovrebbe poggiare la circonferenza, non è possibile identificare alcuna circonferenza.

Dunque se A e B rispettano le condizioni di sopra (il suo asse non è parallelo o coincidente con la retta) , sarà possibile calcolare l’equazione della circonferenza risolvendo il sistema:

\left\{\begin{matrix}
-\frac{b}{2}=-m\frac{a}{2}+q \Rightarrow b=ma-2q\\\,\\
x_{A}^{2} +y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0 \\\,\\
x_{B}^{2} +y_{B}^{2}+ax_{B}+by_{B}+c=0
\end{matrix}\right.

dove con la prima equazione imponiamo che il centro appartenga alla retta, con la seconda e la terza imponiamo il passaggio nei punti A e B. Risolvendo il sistema sarà possibile individuare i coefficienti a,b e c dell’equazione della circonferenza.

Metodo II: calcolo delle coordinate del centro come intersezione tra la retta data e l’asse del segmento dei punti dati

Il secondo metodo che proponiamo consiste nell’intersecare l’equazione della retta data con l’equazione dell’asse del segmento AB per calcolare le coordinate del centro. Ricordiamo infatti che l’asse di qualsiasi corda AB di una circonferenza passa per il centro di questa:

Ricordiamo che dati due punti A e B, di coordinate A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) l’equazione dell’asse del segmento è data da:

y-y_{M} = -\frac{1}{m_{AB}}(x-x_{M})

con M inteso come punto medio del segmento AB e di coordinate:

x_{M} = \frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\\,\\y_{M} = \frac{y_{A}+y_{B}}{2}

una volta nota l’equazione dell’asse del segmento, otteniamo le coordinate del centro della circonferenza risolvendo il sistema di equazioni dato dalla retta data e dall’equazione dell’asse:

\left\{\begin{matrix}
y=mx+q\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ 
y-y_{M} = -\frac{1}{m_{AB}}(x-x_{M})
\end{matrix}\right.

Attenzione, se i punti A e B sono simmetrici rispetto alla retta data allora l’asse coinciderà con la retta e avremo infinite soluzioni del sistema e quindi infiniti possibili centri.

Se invece il segmento AB ha un asse parallelo alla retta data, non esiste alcuna circonferenza che risolva il problema. Infatti il centro non può contemporaneamente appartenere ad una retta e ad una sua parallela.

Adesso calcoliamo il raggio della circonferenza come distanza del centro C appena calcolato con uno dei punti A o B:

r = \sqrt{\left(x_{A}-x_{C}\right)^{2}+\left(y_{A}-y_{C}\right)^{2}}

Calcolato il raggio, ricaviamo l’equazione della circonferenza applicando la definizione di circonferenza:

\sqrt{\left(x-x_{C}\right)^{2}+\left(y-y_{C}\right)^{2}}=r 

Riepilogo:

1. Calcolare l’equazione dell’asse del segmento
2. Ricavare le coordinate del centro come intersezione dell’asse calcolata e della retta data
3. Calcolare il raggio della circonferenza.
4. Applicare la definizione di circonferenza

In alternativa una volta calcolare le coordinate del centro si potrebbero subito ricavare i valori dei coefficienti a e b. Il coefficiente c si potrebbe ricavare imponendo la circonferenza passare per A o per B (come fatto per la seconda e terza equazione del sistema proposto nel primo metodo.

Esempi di esercizi

Esempio 1

Calcolare l’equazione della circonferenza il cui centro appartiene alla retta di equazione y=2x+1 e passate per i punti A(3,3) e B(1,-4)

Metodo I

Risolviamo il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
-\frac{b}{2}=-m\frac{a}{2}+q \Rightarrow b=ma-2q\\\,\\
x_{A}^{2} +y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0 \\\,\\
x_{B}^{2} +y_{B}^{2}+ax_{B}+by_{B}+c=0
\end{matrix}\right.\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, \left\{\begin{matrix}
 b=2a-2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
3^{2} +3^{2}+3a+3b+c=0 \\\,\\
1^{2} +(-4)^{2}+a-4b+c=0
\end{matrix}\right. \\\,\\

riorganizzando otteniamo:

\left\{\begin{matrix}
 b=2a-2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
18+3a+3b+c=0 \\\,\\
17+a-4b+c=0
\end{matrix}\right. \\\,\\

sottraiamo la terza equazione alla seconda e otteniamo:

1+2a+7b=0

sostituiamo a questa equazione il valore di b della prima equazione del sistema e otteniamo:

1+2a+7(2a-2)=0 \\\,\\1+2a+14a-14=0 \\\,\\ a=\frac{13}{16}

da cui possiamo ricavare il valore di b:

b=2a-2 \Rightarrow b=2\frac{13}{16}-2 \Rightarrow b=-\frac{3}{8}

sostituiamo adesso il valore di a e di b alla terza equazione del sistema:

17+a-4b+c=0 \,\,\Rightarrow \,\, 17+\frac{13}{16}+4\frac{3}{8}+c=0 \,\,\Rightarrow \,\, c=-\frac{309}{16}

l’equazione della circonferenza sarà allora:

\mathbf{x^{2}+y^{2}+\frac{13}{16}x-\frac{3}{8}y-\frac{309}{16}=0}

che può anche essere riscritta come:

16x^{2}+16y^{2}+13x-6y-309=0

Metodo II

Calcoliamo l’equazione dell’asse del segmento AB. Partiamo calcolando il punto medio M del segmento AB:

x_{M} = \frac{x_{A}+x_{B}}{2} =  \frac{3+1}{2}=2 \\\,\\ y_{M} = \frac{y_{A}+y_{B}}{2} =  \frac{3-4}{2}=-\frac{1}{2}

Adesso calcoliamo il coefficiente angolare del segmento AB:

m_{AB}=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}} = \frac{3-(-4)}{3-1} = \frac{7}{2}

adesso calcoliamo l’asse del segmento AB:

y-y_{M} = -\frac{1}{m_{AB}}(x-x_{M}) \\\,\\\Rightarrow  \\\,\\ y+\frac{1}{2} = -\frac{2}{7}(x-2) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \mathbf{y= -\frac{2}{7}x+\frac{1}{14}}

Mettiamo dunque a sistema l’equazione dell’asse del segmento con l’equazione della retta data:

\left\{\begin{matrix}
y = 2x+1\\\,\\ 
y= -\frac{2}{7}x+\frac{1}{14}
\end{matrix}\right.

sottraiamo la seconda equazione alla prima e otteniamo:

2x+\frac{2}{7}x+1-\frac{1}{14}=0

dalla cui risoluzione otteniamo:

x=-\frac{13}{32}

sostituiamo questo valore alla prima equazione del sistema e otteniamo:

y=2x+1 \,\,\,\Rightarrow \,\,\, y= 2\left(-\frac{13}{32}\right) +1 

e dunque:

y=\frac{3}{16}

quindi le coordinate del centro della circonferenza sono:

C(x_{C},y_{C} ) \Rightarrow C\left(-\frac{13}{32},\frac{3}{16}\right)

adesso calcoliamo il raggio della circonferenza come distanza del centro C dal punto A:

r= \sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}} = \sqrt{\left(-\frac{13}{32}-3\right)^{2}+\left(\frac{3}{16}-3\right)^{2}}  =\sqrt{\frac{11881}{1024}+\frac{2025}{256}}= \sqrt{\frac{19981}{1024}}

applicando la definizione di circonferenza otteniamo:

\sqrt{\left(x-x_{C}\right)^{2}+\left(y-y_{C}\right)^{2}}=r \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\left(x-x_{C}\right)^{2}+\left(y-y_{C}\right)^{2}= r^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\left(x+\frac{13}{32}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{16}\right)^{2}= \frac{19981}{1024} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2}+\frac{13}{16}x+\frac{169}{1024} + y^{2}-\frac{3}{8}y+\frac{9}{256}=\frac{19981}{1024} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2}+y^{2}+\frac{13}{16}x-\frac{3}{8}y-\frac{19981-169-36}{1024}=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2}+y^{2}+\frac{13}{16}x-\frac{3}{8}y-\frac{19776}{1024}=0\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2}+y^{2}+\frac{13}{16}x-\frac{3}{8}y-\frac{309}{16}=0

Abbiamo ottenuto dunque la stessa soluzione del primo metodo ma con qualche passaggio in più

Esempio 2

Calcolare la circonferenza avente il centro appartenente alla retta y=x+3 e passante per i punti A(2,2) e B(-1,5)

Utilizziamo il primo metodo per cui risolviamo il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
-\frac{b}{2}=-m\frac{a}{2}+q \Rightarrow b=ma-2q\\\,\\
x_{A}^{2} +y_{A}^{2}+ax_{A}+by_{A}+c=0 \\\,\\
x_{B}^{2} +y_{B}^{2}+ax_{B}+by_{B}+c=0
\end{matrix}\right.\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, \left\{\begin{matrix}
 b=a-6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
2^{2} +2^{2}+2a+2b+c=0 \\\,\\
(-1)^{2} +5^{2}-2a+6b+c=0
\end{matrix}\right. \\\,\\

semplificando diventa:

\Rightarrow \,\,\,\,\,\, \left\{\begin{matrix}
 b=a-6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\
8+2a+2b+c=0 \\\,\\
26-a+5b+c=0
\end{matrix}\right. \\\,\\

sottraiamo la seconda equazione alla terza. Otteniamo:

18-3a+3b=0

adesso sostituiamo qui il valore di b della prima equazione del sistema:

18-3a+3(a-6)=0

si ottiene dunque:

0=0

esistono dunque infinite circonferenze aventi il centro sulla retta y=x+3 e passanti per A e B. Perchè? La motivazione sta nel fatto che l’asse del segmento AB coincide con la retta data. A voi la dimostrazione.

Esempio 3

Calcolare l’equazione della circonferenza avente il centro sulla retta y=-x+2 e passante per i punti A(1,-1) e B(5,3)

Applichiamo il secondo metodo. Calcoliamo le coordinate del punto medio del segmento AB:

x_{M} = \frac{1+5}{2}=3 \\\,\\y_{M} = \frac{-1+3}{2}=1

calcoliamo adesso il coefficiente angolare della retta passante per AB:

m_{AB} = \frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}} = \frac{-1-3}{1-5}=1

l’equazione dell’asse del segmento sarà allora:

y-y_{M} = -\frac{1}{m_{AB}}(x-x_{M}) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\y-1=-1(x-3) \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ y= -x+4

Attenzione l’asse del segmento è parallelo alla retta data e non coincide con esso. Poiché due rette parallele non si incontrano mai, allora possiamo concludere che non esiste alcuna soluzione al problema.