In questo appunto daremo una definizione di circocentro di un triangolo e vedremo quali sono le sue proprietà. Per capire il contenuto di questo appunto sarà necessario avere familiarità con i concetti di asse di un segmento e la definizione di triangolo. In particolare in questo appunto vedremo:
- Cosa si intende per asse di un segmento
- Definizione di circocentro di un triangolo
- Proprietà del circocentro di un triangolo
- Dimostrazione circocentro di un triangolo
- Circocentro come centro della circonferenza circoscritta al triangolo
- Come calcolare il circocentro di un triangolo in geometria analitica
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Cosa si intende per asse di un segmento
Prima di definire il circocentro di un triangolo è assolutamente necessario introdurre il concetto di asse di un segmento. L’asse di un segmento è una retta perpendicolare al segmento stesso e passante per il suo punto medio. Consideriamo dunque un generico segmento AB ed il suo punto medio in M e rappresentiamo l’asse del segmento mediante una retta tratteggiata che forma con il segmento un angolo retto:
poiché il segmento è tagliato esattamente a metà, l’asse del segmento è un asse di simmetria. Ad ogni punto del segmento AM corrisponderà un punto del segmento BM di uguale distanza dal punto medio M. Secondo questa logica, i due estremi A e B del segmento, si corrispondono per simmetria assiale. Di conseguenza, qualsiasi punto dell’asse sarà equidistante dai vertici A e B del segmento. Per una definizione di asse di un segmento come luogo geometrico di punti ti rimandiamo al relativo appunto.
Definizione di circocentro di un triangolo
Una proprietà importante dei triangoli è che
Gli assi dei tre lati di un triangolo si incontrano in un punto che è detto circocentro del triangolo
questa proprietà è valida per qualsiasi tipo di triangolo
Proprietà del circocentro di un triangolo
La posizione del circocentro dipende dal tipo di triangolo:
- Se il triangolo è acutangolo il circocentro è un punto interno al triangolo
- In caso di triangolo ottusangolo il circocentro è un punto esterno al triangolo
- Se il triangolo è un triangolo rettangolo il circocentro si trova sull’ipotenusa e coincide con il punto medio dell’ipotenusa
Altre proprietà di questo punto del triangolo sono:
- Se il triangolo è equilatero il circocentro coincide con il baricentro, l’ortocentro e l’incentro del triangolo. Questa proprietà deriva dal fatto che in un triangolo equilatero gli assi coincidono con le mediane, le altezze e le bisettrici.
- Coincide con il centro della circonferenza che circoscrive il triangolo. In quanto tale esso è equidistante dai vertici. Quest’ultima proprietà spiega perché in un triangolo rettangolo esso è il punto medio dell’ipotenusa. Si ricordi che in un triangolo rettangolo l’ipotenusa coincide con la diagonale della circonferenza che circoscrive il triangolo
Vediamo nel prossimo paragrafo la dimostrazione che il circocentro sia un punto comune a tutti e tre gli assi
Dimostrazione circocentro di un triangolo
Dimostriamo adesso che i tre assi di un triangolo si incontrano in uno stesso punto. Consideriamo un generico triangolo ABC:
Procediamo nel seguente modo:
- Tracciamo l’asse del lato AB. Per definizione ciascun punto dell’asse sarà equidistante dai vertici del lato A e B
- Tracciamo adesso l’asse del lato AC. Per definizione ciascun punto dell’asse sarà equidistante dai vertici del lato A e C. L’asse del lato AC incontrerà l’asse del lato AB nel punto O. Poiché tale punto appartiene ad entrambi gli assi, ne consegue che:
\overline{OA} \cong \overline{OB} \,\,\,in\,\,\,quanto\,\,\,O\,\,\,appartiene\,\,\,all'asse\,\,\,del\,\,\,lato\,\,\,AB\\\,\\\overline{OA} \cong \overline{OC} \,\,\,in\,\,\,quanto\,\,\,O\,\,\,appartiene\,\,\,all'asse\,\,\,del\,\,\,lato\,\,\,AC \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \overline{OB} \cong\overline{OC}
Abbiamo dimostrato dunque che O è equidistante dai vertici del lato BC. Ciò significa che O appartiene anche all’asse di BC. Dunque, come volevasi, abbiamo dimostrato che il circocentro è il punto di incontro dei tre assi.
Circocentro come centro della circonferenza circoscritta al triangolo
Nel precedente paragrafo abbiamo dimostrato che il circocentro è equidistante dai tre vertici del triangolo. In quanto tale esso coincide con la circonferenza circoscritta al triangolo. Il raggio di tale circonferenza avrà infatti una lunghezza che coinciderà con la distanza del circocentro dai tre vertici del triangolo:
Ciò è valido per qualsiasi triangolo. Una menzione speciale va fatta per il triangolo rettangolo. Una proprietà di tale triangolo è che l’ipotenusa è un diametro della circonferenza circoscritta al triangolo stesso. Ne risulta, come già spiegato precedentemente che il circocentro sia il punto medio dell’ipotenusa stessa:
Come calcolare il circocentro di un triangolo in geometria analitica
Vediamo adesso come calcolare le coordinate del circocentro di un triangolo note le coordinate dei suoi tre vertici A, B e C:
A(x_{A},y_{A}) \\\,\\ B(x_{B},y_{B})\\\,\\ C(x_{C},y_{C})
la strategia è calcolare il circocentro come punto di incontro degli assi di due lati. I passaggi sono i seguenti:
- Calcolare il punto medio di due dei tre lati. Ad esempio AB e AC:
x_{M_{AB}}= \frac{x_{A}+x_{B}}{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y_{M_{AB}}= \frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\\,\\\\\,\\ x_{M_{AC}}= \frac{x_{A}+x_{C}}{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y_{M_{AC}}= \frac{y_{A}+y_{C}}{2}
- Calcolare le equazioni degli assi dei due lati. Per entrambi bisogna prima calcolare il coefficiente angolare. Il coefficiente angolare sarà l’antireciproco del coefficiente angolare della retta passante per i due punti del lato. Vediamo l’esempio per l’asse del lato AB:
m_{asse_{AB}}= -\frac{1}{m_{AB}}=-\frac{x_{B}-x_{A}}{y_{B}-y_{A}}
- Calcolare l’equazione dell’asse utilizzando il coefficiente angolare dell’asse ed il punto medio del lato (metodo descritto al seguente link). Vediamo l’esempio per l’asse del lato AB:
y-y_{M_{AB}}=m_{asse_{AB}}(x-x_{M_{AB}})
- Definire il punto di incontro degli assi dei due lati. Ciò si ottiene mettendo a sistema le equazioni dei due assi:
\left\{\begin{matrix}
y-y_{M_{AB}}=m_{asse_{AB}}(x-x_{M_{AB}})\\ \,\\ y-y_{M_{AC}}=m_{asse_{AC}}(x-x_{M_{AC}})
\end{matrix}\right.
