In questo appunto vediamo in cosa consistono alcuni elementi fondamentali di un’iperbole: il centro, i vertici e i semiassi di un’iperbole. A quest’elenco dovremmo aggiungere anche i fuochi che abbiamo però trattato in un appunto dedicato. La lettura di questo appunto presuppone di conoscere la definizione di iperbole e la sua equazione. In questo appunto non approfondiremo il caso dell’iperbole equilatera che troverai ad un altro link. In particolare qui vedremo:
- Centro dell’iperbole, definizione e simmetria centrale
- Vertici e semiassi di un’iperbole
- Tabella riepilogativa
Per ulteriori argomenti di geometria analitica di rimandiamo al relativo indice degli argomenti.
Centro dell’iperbole, definizione e simmetria centrale
Il centro dell’iperbole è un punto che non appartiene all’iperbole ed è posizionato tra i suoi due rami:
Il centro dell’iperbole ha le seguenti importanti caratteristiche:
- E’ il punto medio del segmento che unisce i due fuochi dell’iperbole. Dunque è equidistante dai due fuochi
- L’iperbole gode di una simmetria centrale rispetto al centro dell’iperbole. Ciò significa che esistono due assi perpendicolari tra loro e passanti per il centro dell’iperbole verso i quali l’iperbole gode di simmetria assiale.
Approfondiamo un attimo la proprietà di simmetria centrale e consideriamo il caso di un’iperbole con il centro nell’origine degli assi e con i fuochi allineati orizzontalmente. Essa avrà equazione:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
dire che l’iperbole gode di simmetria centrale significa dire che ad ogni punto P(x,y) dell’iperbole corrisponde un punto di coordinate P'(-x,-y) appartenente anch’esso all’iperbole. Sostituendo infatti le coordinate di P’ all’equazione dell’iperbole abbiamo:
\frac{(-x)^{2}}{a^{2}} - \frac{(-y)^{2}}{b^{2}}=-1
risolviamo le parentesi e otteniamo:
\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}=-1
che altro non è che l’equazione iniziale dell’iperbole. Nel caso di un’iperbole traslata di vettore v[p,q], il centro dell’iperbole non è più l’origine degli assi ma è il punto C(p,q). In questo caso la simmetria è meno intuibile. Ricordiamo la generica equazione di un’iperbole traslata:
\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1
Ad ogni punto P(x,y) è infatti associato un punto P(x,y) corrisponde un punto P'(-x+2p, -y+2q). Infatti sostituendo le coordinate di P’ all’equazione otteniamo:
\frac{(-x+2p-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(-y+2q-q)^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{(-x+p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(-y+q)^{2}}{b^{2}}=1
ma:
(-x+p)^{2}=(x-p)^{2}\,\,\, \\ \,\,\,\\(-y+q)^{2}=(y-q)^{2}
per cui otteniamo l’equazione iniziale:
\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1
Dunque possiamo concludere che la simmetria centrale è una proprietà anche dell’iperbole traslata.
Vertici e semiassi di un’iperbole
Altri elementi molto importanti di un’iperbole sono i suoi vertici. Ne abbiamo in tutto 4:
- 2 vertici reali: si tratta di due punti appartenenti all’iperbole e nei quali l’iperbole interseca la retta passante per i due fuochi che è anche asse di simmetria dell’iperbole. Il segmento che congiunge tali due vertici è detto asse trasverso dell’iperbole.
- 2 vertici non reali: si tratta di due punti che non appartengono all’iperbole e che giacciono sul secondo asse di simmetria dell’iperbole. Il segmento che congiunge tali due vertici è detto asse non trasverso
La distanza di ciascun vertice dal centro dell’iperbole definisce un semiasse che può essere trasverso o non trasverso a seconda delle definizioni date sopra. Vediamo nel seguente esempio di iperbole quali sono i vertici e semiassi:
Per un’iperbole canonica di questo tipo, i vertici hanno le seguenti coordinate:
V_{1} (-a,0) \\\,\\ V_{2}(a,0) \\\,\\ V_{3} (0,-b) \\\,\\ V_{4}(0,b)
dove V1 e V2 sono i vertici reali dell’iperbole, mentre V3 e V4 sono i vertici non reali. Poiché la lunghezza dei semiassi sono pari alle distanze dei vertici possiamo dire che la lunghezza del semiasse trasverso è pari a:
\overline{V_{1}V_{2}} = 2a \\\,\\
mentre la lunghezza del semiasse non trasverso è pari a:
\overline{V_{3}V_{4}} = 2b
Tabella riassuntiva
Proponiamo adesso una tabella riassuntiva delle coordinate del centro, dei vertici e delle lunghezze dei semiassi a seconda del tipo di iperbole (l’iperbole equilatera è esclusa da questa tabella):
Si noti che, per come sono stati definiti i coefficienti nelle varie equazioni, il coefficiente a è sempre associata alle coordinate dei vertici reali ed il coefficiente b alle coordinate dei coefficienti non reali.
