In questo breve appunto vediamo come calcolare il centro di una circonferenza a partire dall’equazione della stessa. In particolare vedremo:
Centro della circonferenza definizione e formule
Il centro di una circonferenza è un punto interno alla stessa e rispetto al quale tutti i punti della circonferenza sono equidistanti. Tale distanza è detta raggio della circonferenza. Abbiamo visto nel seguente appunto che si può ottenere l’equazione di una circonferenza applicando algebricamente la sua definizione come luogo geometrico di punti. Dato infatti un centro di coordinate C(p,q) ed un raggio r, la circonferenza associata avrà equazione:
(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}
sviluppando i quadrati otteniamo:
x^{2}+y^{2}-2px-2qy+p^{2}+q^{2}-r^{2}=0
L’equazione di una circonferenza in generale è però presentata nella forma canonica:
x^{2} +y^{2} +ax+by+c=0
Come possiamo da questa forma calcolare le coordinate di C? Confrontiamo le due equazioni e otteniamo che:
p=-\frac{a}{2} \\ \, \\q=-\frac{b}{2}
Ne risulta dunque che le coordinate del centro possono essere riscritte nella forma:
\mathbf{C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)}
Quest’ultima forma consente di calcolare le coordinate del centro dall’equazione di una circonferenza la cui equazione è espressa in forma canonica. Ricorda che data un’equazione di secondo grado in x e in y è necessario assicurarsi che essa rappresenti una circonferenza prima di calcolare C ed r.
Esempi di esercizi
Calcolare il centro delle seguenti circonferenze:
Esempio 1
x2 + y2 +6x-2y=0
Applichiamo le formule delle coordinate di C. In questo caso a=6 e b=-2. Ne risulta che:
C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \Rightarrow C\left(-3,1\right)
le coordinate di C sono dunque C(-3,1)
Esempio 2
(x-3)2+(y-2)2=4
In questo caso l’equazione della circonferenza è scritta secondo la definizione di luogo geometrico della circonferenza:
(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}
dove p e q sono le coordinate di C. Dunque abbiamo C(3,2). Se avessimo sviluppato l’equazione avremmo ottenuto:
x^{2}+ y^{2} -6x-4y+9=0
Applicando le formule delle coordinate di C:
C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \Rightarrow C\left(3,2\right)
Otteniamo dunque lo stesso risultato.
Esempio 3
2x2+2y2+6x-4y+3=0
In questo caso nell’equazione della circonferenza, i termini al quadrato hanno un coefficiente diverso da uno. E’ necessario riportare l’equazione della circonferenza nella sua forma canonica del tipo:
x^{2} +y^{2} +ax+by+c=0
dividiamo quindi tutto per 2:
x^{2} + y^{2}+3x-2y+\frac{3}{2}=0
Applichiamo adesso le formule delle coordinate di C:
C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \Rightarrow C\left(-\frac{3}{2},1\right)
