In questo appunto vediamo alcuni casi particolari di circonferenze a seconda dei valori assunti dai coefficienti a, b e c dell’equazione di una circonferenza. In particolare vedremo cosa succede nei seguenti casi:
Coefficiente a = 0
La circonferenza ha equazione del tipo:
x^{2} + y^{2}+by+c=0
Il coefficiente a ha impatto sull’ascissa del centro della circonferenza oltre che sulla dimensione del raggio di quest’ultima. L’aspetto che più ci interessa è però il primo. Ricordiamo che l’ascissa del centro è:
p=-\frac{a}{2}
per cui per valori positivi di a, il centro C sarà posizionato nel lato negativo dell’asse delle ascisse. Quando a=0 il centro della circonferenza è posizionato sull’asse delle ordinate. Quando a assume valori negativi, il centro si sposta sul lato positivo dell’asse delle ascisse. Raffiguriamo i tre casi:
Il primo caso particolare interessante è quello che otteniamo se a=0. Ogni equazione di circonferenza espressa in forma canonica e con il coefficiente a = 0 rappresenta una circonferenza il cui centro è posizionato sull’asse delle ordinate.
Si precisa una cosa cosa sulla figura sopra. Nelle tre circonferenze equivalenti, non varia soltanto il coefficiente a. Per mantenere lo stesso raggio, varieranno di conseguenza anche b e c.
Coefficiente b=0
In questo caso l’equazione della circonferenza è del tipo:
x^{2} + y^{2}+ax+c=0
Abbiamo una situazione molto simile a quella del paragrafo precedente. Ricordiamo infatti che l’ordinata del centro dipende dal coefficiente b:
q= -\frac{b}{2}
Otteniamo dunque la seguente situazione al variare di b.
Si noti che, se b=0 allora q=0. Possiamo dunque affermare che ogni qualvolta l’equazione della circonferenza espressa in forma canonica ha il coefficiente b nullo, essa rappresenta una circonferenza il cui centro è posizionato sull’asse delle ascisse!
Coefficiente c=0
Questo è il caso in cui la circonferenza si presenta nella forma:
x^{2} + y^{2}+ax+by=0
Si noti che in questo caso il punto O(0,0) origine degli assi è un punto sempre appartenente alla circonferenza, per qualsiasi valore di a e b. Si noti che rispetto alla parabola e alla retta, il termine noto c non rappresenta l’intersezione con l’asse delle y. Questo è dovuto al fatto che l’equazione della circonferenza non è espressa in una forma esplicita per la variabile y.
Possiamo dunque concludere che qualsiasi equazione di circonferenza in cui il termine c è nullo rappresenta un’equazione passante per l’origine degli assi.
Coefficiente a=0 e b=0
Adesso verifichiamo cosa succede combinando a due a due i casi visti sopra. Cosa accade se contemporaneamente abbiamo a e b nulli?. L’equazione della circonferenza diventa del tipo:
x^{2} + y^{2} + c=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ x^{2} + y^{2} =- c
La circonferenza deve soddisfare entrambi i casi visti prima. Il suo centro deve contemporaneamente essere sull’asse delle ordinate e sull’asse delle ascisse. L’unico punto che soddisfa questa caratteristica è l’origine degli assi. Possiamo dunque concludere che quando a e b sono contemporaneamente nulli abbiamo a che fare con una circonferenza il cui centro è nell’origine degli assi. Si noti inoltre che il raggio di una tale circonferenza sarà:
r=\sqrt{-c}
se c=-1 abbiamo il caso particolare di una circonferenza avente raggio unitario.
Coefficiente a=0 e c=0
Questo è il caso di una circonferenza la cui equazione è del tipo:
x^{2}+y^{2}+by=0
questa situazione deve soddisfare entrambi i casi che si verificano quando i singoli coefficienti sono nulli. Per cui le circonferenze dovranno avere il centro posizionato sull’asse delle ordinate e contemporaneamente esse devono passare per l’origine degli assi:
Coefficiente b=0 e c=0
In questo caso l’equazione della circonferenza è del tipo:
x^{2}+y^{2} +ax=0
devono essere soddisfatte entrambe le situazioni viste in precedenza. Le circonferenze rappresentate da questo tipo di equazione avranno dunque centro sull’asse delle ascisse e passeranno per l’origine degli assi:
Coefficienti a=0, b=0 e c=0
L’equazione assume la forma:
x^{2}+y^{2}=0
questa equazione possiede un’unica soluzione, ovvero il punto O(0,0) origine degli assi. La circonferenza infatti, degenera in un punto che è l’origine degli assi. Il suo raggio infatti è nulllo:
r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \frac{1}{2}\sqrt{0^{2}+0^{2}-4(0)} = 0
Osserviamo l’equazione. Essa ci dice che la somma di due quadrati deve essere nulla. Sappiamo dall’algebra che nell’insieme dei numeri reali due quadrati possono essere o positivi o nulli. Poiché la somma di due numeri positivi non può essere zero, non ci rimane come unica soluzione del sistema il caso in cui entrambe le incognite siano pari a 0.
Le circonferenze possono degenerare in punto che sia diverso dall’origine? La risposta è si. Questo accade ogni qualvolta il raggio è pari a zero, quindi quanto:
a^{2}+b^{2}-4c = 0\Rightarrow a^{2}+b^{2} = 4c
Esempi di casi particolari di circonferenze
E’ assolutamente importante saper riconoscere i diversi casi particolari di circonferenze per poter risolvere alcuni problemi di geometria analitica. Vediamo nel seguito una lista di circonferenze per le quali individueremo se essa rappresenta un caso particolare oppure no:
x2+y2-6x-6=0
In questo caso abbiamo che il coefficiente b=0. Per cui possiamo dire che la circonferenza è tale da avere il centro sull’asse delle ascisse
x2+y2-4y-6=0
Il coefficiente a =0, per cui il centro della circonferenza è situato sull’asse delle ordinate
x2+y2-9=0
I coefficienti a e b sono entrami nulli. La circonferenza ha centro nell’origine degli assi. Il suo raggio è pari a 3
x2+y2-4y=0
I coefficienti a e c sono entrambi zero. La circonferenza allora ha centro sull’asse delle ordinate e al contempo è passante per l’origine degli assi..
x2+y2-3x=0
I coefficienti b e c sono nulli. La circonferenza allora ha centro sull’asse delle ascisse e passa per l’origine degli assi.
